構(gòu)造輔助函數(shù)巧解導數(shù)問題

根據(jù)已知的條件和結(jié)論構(gòu)造輔助函數(shù)，并通過研究新構(gòu)造函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來解題是高中數(shù)學中一種常用的方法，近年來也一直是高考考查的一大熱點。現(xiàn)從以下幾個方面進行分析，希望對大家的研究和學習有所幫助。

一、依據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點構(gòu)造輔助函數(shù)

題1：【2015福建理10】若定義在 上的函數(shù) 滿足 ，其導函數(shù) 滿足 ，則下列結(jié)論中一定錯誤的是（ ）

A. B. C. D.

試題解析：觀察已知條件和選項的結(jié)構(gòu)特點，我們可以構(gòu)造函數(shù) ，則 ，故函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，且 ，故 ，所以 ， ，所以結(jié)論中一定錯誤的是C，選項D無法判斷；另外，我們還可以構(gòu)造函數(shù) ，則 ，所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，且 ，所以 ，即 ， ，選項A，B無法判斷，故選C.

總結(jié)提升：聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，常可使問題變得明了，屬于難題。

二、證明部分不等式時，可通過直接做差來構(gòu)造輔助函數(shù)求解

題2：已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f（x）=12x2+2ax，g（x）=3a2ln x+b，其中a>0.設(shè)兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在該點處的切線相同.①用a表示b，并求b的最大值；（2）求證：f（x）≥g（x）（x>0）.試題解析：（1）即有b=52a2-3a2ln a且b的最大值為32 .（過程略）；②證明 設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=12x2+2ax-3a2ln x-b（x>0），③則F′（x）=x+2a-3a2x=x-ax+3ax（x>0）.

故F（x）在（0，a）上為減函數(shù)，在（a，+∞）上為增函數(shù).于是F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=F（x0）=f（x0）-g（x0）=0.故當x>0時，有f（x）-g（x）≥0，即當x>0時，f（x）≥g（x）.

總結(jié)提升：利用導數(shù)證明不等式的步驟：（1）構(gòu)造新函數(shù)，并求其單調(diào)區(qū)間；如：本題構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），進而轉(zhuǎn)化為求F（x）的最值問題.（2）判斷區(qū)間端點函數(shù)值與0的關(guān)系；（3）判斷定義域內(nèi)函數(shù)值與0的大小關(guān)系，證不等式。

三、當問題無法直接求解時，可通過對所求證的結(jié)論做適當變形，建立題目條件與結(jié)論之間的聯(lián)系

題3：已知f（x）=xln x.①求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t>0）上的最小值；（2）證明：對一切x∈（0，+∞），都有l(wèi)n x>1ex-2ex成立。試題解析：（1）f（x）min= （過程略）。②證明：問題等價于證明xlnx>xex-2e（x∈（0，+∞））.③由（1）可知f（x）=xln x（x∈（0，+∞））的最小值是-1e，當且僅當x=1e時取到，設(shè)m（x）=xex-2e（x∈（0，+∞）），則m′（x）=1-xex，易知m（x）max=m（1）=-1e，當且僅當x=1時取到。從而對一切x∈（0，+∞），都有l(wèi)n x>1ex-2ex成立。

總結(jié)提升：本題第（2）問證明不等式時，看似與條件中f（x）=xln x關(guān)系不大，但直接求解時無法進行，此時我們必須思考條件與所求解問題有無聯(lián)系，如何建立起條件與問題之間的聯(lián)系，此時如果嘗試將所證不等式兩邊同乘以正數(shù)x便可得到本題解法。

四、巧化“雙變量”問題為單變量函數(shù)問題求解

題4：已知函數(shù) .①求函數(shù) 的圖象在點 處的切線方程；②設(shè)斜率為 的直線與函數(shù) 的圖象交于兩點 ，證明： 。試題解析：① ，∴ ， ，∴切線方程為 ；② 要證原不等式成立只需證 ，∵ 即證 ，令 ，只需證 ， ，∴ ，∴ 在 上單調(diào)遞減， 成立；令 ，∴ 在 上單調(diào)遞增， 成立；綜上所述： 。

總結(jié)提升：在求解含有 雙變量問題時，需要根據(jù)題目條件消掉一個變量，進而轉(zhuǎn)化成一個單變量問題來求解。如“題4”中把 的證明，轉(zhuǎn)化為直線的斜率，構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究新函數(shù)的極值與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想及推理與運算能力；“題5”中將原不等式分離可得 ，利用 構(gòu)造函數(shù) ，求出最小值，可得 的取值范圍。需要注意的是必須關(guān)注 之間的大小關(guān)系，或等量關(guān)系，如題4中 ，題5中 。