函數(shù)對稱性的探究

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。函數(shù)的性質(zhì)是競賽和高考的重點與熱點，函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個基本性質(zhì)，對稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對稱關(guān)系還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美。本文擬通過函數(shù)自身的對稱性和不同函數(shù)之間的對稱性這兩個方面來探討函數(shù)與對稱有關(guān)的性質(zhì)。

一、函數(shù)自身的對稱性探究

定理1：數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點A（a，b）對稱的充要條件是：f（x）+f（2a-x）=2b，明：（必要性）設(shè)點P（x，）是y=f（x）圖像上任一點，∵點P（x，y）關(guān)于點A（a，b）的對稱點P‘（2a-x，2b-y）也在y= f（x）圖像上，∴2b-y=f（2a-x）；即y+f（2a-x）=2b故f（x）+f（2a-x）=2b，必要性得證。（充分性）設(shè)點P（x0，y0）是y = f （x）圖像上任一點，則y0=f（x0）；∵f（x）+f（2a-x）=2b，∴f（x0）+ f（2a-x0）=2b，即2b-y0=f（2a-x0）。故點P‘（2a-x0，2b-y0）也在y=f（x）圖像上，而點P與點P‘關(guān)于點A（a，b）對稱，充分性得征。推論：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于原點O對稱的充要條件是f（x）+f（-x）=0

定理2：函數(shù)y= f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是：f（a+x）=f（a-x）即f（x）=f（2a-x）（證明留給讀者）。推論：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對稱的充要條件是f（x）=f（-x）

定理3：①若函數(shù)y=f（x）圖像同時關(guān)于點A（a，c）和點B（b，c）成中心對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個周期。②若函數(shù)y=f（x）圖像同時關(guān)于直線x=a和直線x=b成軸對稱（a≠b），則y =f（x）是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個周期。③若函數(shù)y=f（x）圖像既關(guān)于點A（a，c）成中心對稱又關(guān)于直線x =b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個周期。①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：∵函數(shù)y=f（x）圖像既關(guān)于點A（a，c）成中心對稱，∴f（x）+f（2a-x）=2c，用2b-x代x得：f（2b-x）+f[2a-（2b-x）]=2c

又∵函數(shù)y=f（x）圖像直線x=b成軸對稱，∴f（2b-x）=f（x）代入（*）得：f（x）=2c-f[2（a-b）+x]，用2（a-b）-x代x得f[2（a-b）+x]=2c-f[4（a-b）+x]代入（**）得：f（x）= f[4（a-b）+x]，故y=f（x）是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個周期。

二、不同函數(shù)對稱性的探究

定理4：函數(shù)y=f（x）與y=2b-f（2a-x）的圖像關(guān)于點A（a，b）成中心對稱。

定理5：①函數(shù)y=f（x）與y=f（2a-x）的圖像關(guān)于直線x=a成軸對稱。②函數(shù)y=f（x）與a-x=f（a-y）的圖像關(guān)于直線x+y=a成軸對稱。③函數(shù)y=f（x）與x-a=f（y+a）的圖像關(guān)于直線x-y=a成軸對稱。定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現(xiàn)證定理5中的③。設(shè)點P（x0，y0）是y=f（x）圖像上任一點，則y0 =f（x0）。記點P（x，y）關(guān)于直線x-y=a的軸對稱點為P‘（x1，y1），則x1 =a+y0 ，y1 =x0-a，∴x0 =a+y1 ，y0=x1-a代入y0=f（x0）之中得x1-a=f（a+y1），點P‘（x1，y1）在函數(shù)x-a=f（y+a）的圖像上。同理可證：函數(shù)x-a=f（y+a）的圖像上任一點關(guān)于直線x-y=a的軸對稱點也在函數(shù)y=f（x）的圖像上。故定理5中的③成立。

推論：函數(shù)y=f（x）的圖像與x=f（y）的圖像關(guān)于直線x=y成軸對稱。

三、三角函數(shù)圖像的對稱性列表

注：①上表中k∈Z；②y=tanx的所有對稱中心坐標(biāo)應(yīng)該是（kπ/2，0），而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的21世紀(jì)高中數(shù)學(xué)精編第一冊（下）及陳兆鎮(zhèn)主編的廣西師大出版社出版的高一數(shù)學(xué)新教案（修訂版）中都認(rèn)為y=tanx的所有對稱中心坐標(biāo)是（kπ，0），這明顯是錯的。

四、函數(shù)對稱性應(yīng)用舉例

例1：定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f（10+x）為偶函數(shù)，且f（5-x）=f（5+x），則f（x）一定是（ ）（第十二屆希望杯高二第二試題）

A：是偶函數(shù)，也是周期函數(shù) B：是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

C：是奇函數(shù)，也是周期函數(shù) D：是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

解：∵f（10+x）為偶函數(shù)，∴f（10+x）=f（10-x）.∴f（x）有兩條對稱軸x=5與x=10，因此f（x）是以10為其一個周期的周期函數(shù)，∴x =0即y軸也是f（x）的對稱軸，因此f（x）還是一個偶函數(shù)。故選（A）

例2：設(shè)定義域為R的函數(shù)y=f（x）、y =g（x）都有反函數(shù)，并且f（x-1）和g-1（x-2）函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱，若g（5）=1999，那么f（4）=（ ）。

A：1999； B：2000； C：2001； D：2002。

解：∵y=f（x-1）和y=g-1（x-2）函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱，∴y=g-1（x-2）反函數(shù)是y=f（x-1），而y=g-1（x-2）的反函數(shù)是：y=2+g（x），∴f（x-1）=2+g（x），∴有f（5-1）=2+g（5）=2001，故f（4）=2001，應(yīng)選（C）

例3：設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（1+x）= f（1-x），當(dāng)-1≤x≤0時，f（x）=- x，則f（8.6）=_________（第八屆希望杯高二第一試題）解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)∴x =0是y=f（x）對稱軸；又∵f（1+x）= f（1-x），∴x=1也是y =f（x）對稱軸。故y = f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，∴f（8.6）= f 、（8+0.6）=f（0.6）=f（-0.6）=0.3

例4：函數(shù) y = sin （2x + ）的圖像的一條對稱軸的方程是（ ）（92全國高考理）

A：x=- B：x=- C：x= D：x=

解：函數(shù)y=sin（2x+ ）的圖像的所有對稱軸的方程是2x+ =k + ，∴x= - ，顯然取k=1時的對稱軸方程是x=- ，故選（A）

例5：設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x+2）= -f（x），當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=x，則f（7.5）=（ ）

A：0.5 B：-0.5 C：1.5 D：-1.5

解：∵y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴點（0，0）是其對稱中心；又∵f（x+2）=-f（x）=f（-x），即f（1+ x）=f（1-x），∴直線x=1是y=f（x）對稱軸，故y=f（x）是周期為2的周期函數(shù)。∴f （7.5）=f（8-0.5）=f（-0.5）=-f（0.5）=-0.5故選（B）