例說“轉化思想”在初中數學教學中的運用

所謂“轉化思想”，就是在處理問題時，把待解決或難解決的問題，通過某種轉化，變為一類已經解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決。轉化思想是最重要的數學思想之一，在數學教學中如何正確引導及指導學生利用轉化思想，對提高學生學習數學的興趣、拓展學生的思維空間、培養學生的思維發散能力起著十分重要的作用。下面通過舉例說明轉化思想在數學教學和解題中的運用。

一、化舊知為新知

“溫故而知新”，新知識的獲得，離不開原有的認知基礎。很多新知識都是學生在已有的知識基礎上發展起來的。因此，對于學生來講，學會怎樣在已有知識的基礎上掌握新知識的方法是非常必要的。

例如，在學習二次根式時，可向學生提出：我們已經學習了平方根和算術平方根，那么你能根據已學的知識完成今天的學習內容“二次根式”嗎？這樣簡單、明了的一句話就溝通了新舊知識間的內在聯系。問題的提出，激發了學生學習的興趣，促使了學生思維的展開，提供了回答問題的機會，創造了活躍的教學氣氛，學生會迅速而準確地回答出二次根式的定義。

二、化不規則為規則，化零散為整體

初中幾何教學，經常涉及到求幾何圖形的面積，尤其是求不規則圖形的面積或求幾個不規則圖形的面積之和時，難度往往較大。這時，就要進行圖形變換。把不規則圖形轉化為規則圖形，或把幾個不規則圖形拼接成規則圖形。圖形變換的目的就是化繁為簡，化難為易，化笨為巧，尋找解題捷徑，通過轉化思想來開拓學生的解題思路。

例：如圖，菱形ABCD的邊長是2cm，∠A=60°，以點A為圓心，AB長為半徑，畫弧BD，以點B為圓心，BC長為半徑，畫弧CD。則陰影部分的面積為 cm2

分析：所求陰影部分面積為不規則圖形，連接BD，由菱形的性質知AB=BC=CD=AD，又∠A=60°，所以△ABD和△BCD都是等邊三角形，故陰影部分的面積等于△BCD的面積。

例：如圖，在一塊長為35米，寬26米的矩形綠地上有寬度相同的兩條小路，小路開口處均為1米，則綠地面積（圖中陰影部分）為 平方米。

分析：綠地由四塊不規則的四邊形組成，如果逐一求出每個四邊形的面積，再相加，是不可能的；若把四個不規則的四邊形通過平移，重新拼成一個新矩形，則新矩形的面積等于所求綠地的面積。新矩形的長和寬容易求得。

三、化抽象為直觀

初中數學是以“數”與“形”這兩個基本概念為基礎而展開的。“數”是抽象的，“形”是直觀的；教學中，將“數”轉化為“形”，數形結合，可使學生更好地理解復雜的知識，可使解題過程變得更簡單。如運用平面直角坐標系來解決有關函數方面的問題，可以通過圖象將復雜或抽象的數量關系直觀形象地表示出來，探索出一條合理而巧妙的解題途徑，從而達到解決學生心中存在的困惑，培養學生的數學解題能力的目的。

例：把一次函數y=-x+3的圖象向上平移m個單位長度后，與一次函數y=2x+4的圖象的交點在第一象限，求m的取值范圍。

分析：如果按一般的方法，先寫出直線y=-x+3平移后的解析式為y=-x+3+m，然后與y=2x+4組成方程組，求出交點坐標；再根據x>0，y>0組成不等式組，解不等式組，得到m的取值范圍。這樣做，步驟多，過程繁瑣。如果我們在同一坐標系內畫出這兩個函數的圖象，通過觀察圖象的平移，就能直接得出結果。解題過程簡單明了。

四、化實際問題為數學問題

數學來源于生活，也服務于生活，用貼近學生生活的實際問題為背景，構建函數類的試題，利用函數模型解決實際問題的考法是歷年中考的熱點之一，也是十分常見的解決實際問題的思考方法。

例：（1）某市政府大力扶持大學生創業.小明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈。銷售過程中發現，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系可近似的看作一次函數：y=-10x+500。①設李明每月獲得利潤為w（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？②如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？③根據物價部門規定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=進價銷×售量）

分析：（1）要解決“銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？”問題，也就是把實際問題轉化求二次函數的最大值（或最小值）問題：即每月利潤=每件產品利潤×銷售產品件數，得：w = （x-20）·y=（x-20）·（-10x+500），通過整理轉化為二次函數w =-10x2+700x-10000，再由x= ，解得：x=35，即當銷售單價定為35元時，每月可獲得最大利潤。

（2）要解決“每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？”問題，即轉化為列一元二次方程解應用題問題，由題意得：（x-20）·（-10x+500）=2000，解這個方程得：x1 = 30，x2 = 40，所以要每月獲得2000元的利潤，銷售單價應定為30元或40元。

（3）要解決售價、獲利的在一定范圍內的所需成本最低這一實際問題，則需將本題轉化一次函數、二次函數有關性質來完成。∵二次函數w =-10x2+700x-10000，a=-10<0，拋物線開口向下，∴當30≤x≤40時，w≥2000；又∵銷售單價不得高于32元，∴當30≤x≤32時，w≥2000；設成本為P（元），由題意得：P=20（-10x+500）=-200x+10000，由一次函數性質k=-200<0時，P隨x的增大而減小，∵30≤x≤32，∴x = 32時，P最小=3600， ∴ 要實現銷售單價不得高于32元，每月獲得的利潤不低于2000元，每月的成本最少為3600元。

五、化動態為靜態

動態問題在初中數學中占有重要的位置，滲透運動變化的觀點，集多個知識點于一體，集多種解題思路于一題。這類題靈活性強，能力要求高，它能全面地考查學生的實際操作能力，空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力。解這類題目要“以靜制動”，即把動態問題變為靜態問題來求解。

例：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，BC=10，AD與BC之間的距離為4，動點M從B點出發沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從C點出發沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動，設運動時間為t（秒）。①當MN∥AB時，求t的值；②試探究，t為何值時，△MNC是等腰三角形。

分析：本題中出現了兩個動點，很多同學可能會無從下手。但是解決動點問題，首先就是要找誰在動，誰沒在動，通過分析動態條件和靜態條件之間的關系求解。對于大多數題目來說，都有一個由動轉靜的瞬間，就本題而言，M、N是在動，意味著BM、MC以及DN、NC都是變化的。但我們發現，和這些動態條件密切相關的條件DC、BC的長度都是給定的，而且動態條件之間也是有關系的，所以但題中設定的MN∥AB時，就變成了一個靜止問題了。由此，從這些條件出發，列出方程，自然得出結果。

以上只是從有限的幾個方面，闡述了轉化思想在初中數學解題中的運用。轉化思想貫穿在數學解題的始終，它具有靈活性和多樣性的特點，沒有固定的模式可遵循；需要依據問題提供的信息，利用動態思維去尋求有利于問題解決的變換途徑和方法。所以學習和熟悉轉化思想，有意識地運用數學的變換方法，去靈活解決有關的數學問題，將利于提高學生解題的應變能力和技巧。