利用“基本不等式”求最值時的常見錯誤剖析

利用基本不等式求最值是高中數學求最值的基本方法之一.在運用基本不等式求最值時應注意以下三個方面：（1）表達式中含變量的各項均為正；（2）表達式中含變量的各項之和（或積）應為定值；（3）表達式中含變量的各項可以相等.許多同學由于對基本不等式的使用條件理解不透徹，導致解題過程中出現錯誤.下面我們首先簡要回顧基本不等式的內容：

1.基本不等式：a+b2≥ab

（1）基本不等式成立的條件：a>0，b>0；

（2）等號成立的條件：當且僅當a=b時取等號.

2.利用基本不等式求最值問題：已知x>0，y>0，則

（1）如果積xy是定值p，那么當且僅當x=y時，x+y有最小值是2p.（簡記積定和最小）

（2）如果和x+y是定值q，那么當且僅當x=y時，xy有最大值是q24.（簡記和定積最大）

這三個條件簡稱為“一正，二定，三相等”.其次我們就以例題的形式指出同學們在使用基本不等式時常常出現的錯誤.

一、忽視取“正”條件

基本不等式的兩個變量都必須是正實數.如果兩個變量異號或同為負實數，不等式要么不成立，要么不等號的方向會改變.

例1已知實數x≠0，求y=x+4x的取值范圍.

錯解：由基本不等式得，y=x+4x≥2x·4x=4，故y=x+4x的最小值是4，即取值范圍是[4，+∞）.

錯因分析：因為x，4x未必是正數，故不能直接用基本不等式來解題.

正解：當x>0時，y=x+4x≥2x·4x=4，當且僅當x=4x，即x=2時取等號；

當x<0時，-x>0，-4x>0，則-x+（-4x）≥2（-x）·（-4x）=4，當且僅當-x=-4x，即x=-2時取等號，即y=x+4x=-[（-x）+（-4x）]≤-4.

故y=x+4x的取值范圍為（-∞，-4]∪[4，+∞）.

二、忽視“定值”情況

用基本不等式求最值時必須滿足和為定值或積為定值.如果不具備“定值”條件時，需進行適當的“配湊”將其構造成定值.

例2求y=4x+2x-1（x>1）的最小值.

錯解：∵x>1，∴4x>0，2x-1>0，∴y=4x+2x-1≥24x·2x-1=42xx-1，

當且僅當4x=2x-1，即x=1+32（x=1-32舍……