數列高考交匯題深度透視

在高考中，對數列的綜合應用的考查主要體現在交匯題中，涉及兩類問題：一類是以小題形式出現的是等差數列與等比數列交匯，難度中等；另一類通常結合函數、不等式、方程、幾何等知識，綜合考查數列和式的相關性質，如和式的最值、單調性、不等關系式的證明等，多以解答題的形式出現，難度較大.那么，在高考中數列交匯題主要有哪些？讓我們從2015年的高考真題中看分明.

一、等差數列與等比數列的交匯

例1（2015·浙江）已知{an}是等差數列，公差d不為零，前n項和是Sn.若a3，a4，a8成等比數列，則（）

A. a1d>0，dS4>0B. a1d<0，dS4<0

C. a1d>0，dS4<0D. a1d<0，dS4>0

分析：由a3，a4，a8成等比數列得，a24=a3a8（a1+3d）2=（a1+2d）（a1+7d）3a1d+5d2=0，因公差d≠0，故a1=-53d，a1d=-53d2<0，dS4=d（4a1+4×32d）=-23d2<0.

答案：B.

例2（2015·福建）若a，b是函數f（x）=x2-px+q（p>0，q>0）的兩個不同的零點，且a，b，-2這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則p+q的值等于（）

A. 6B. 7C. 8D. 9

分析：不妨設a>b，由韋達定理得a+b=p>0，ab=q>0，則a>b>0，所以-2，b，a成等差數列，a，-2，b成等比數列，所以2b=a-2，ab=4，解得a=4，b=1或a=-2，b=-2（舍去），所以p=5，q=4，所以p+q=9.

答案：D.

解題策略：解決等差數列與等比數列的交匯性問題，關鍵是理清兩個數列的關系.如果同一數列中部分項成等差數列，部分項成等比數列，要把成等差數列或等比數列的項抽出來，研究這些項與序號之間的關系；如果兩個數列通過運算綜合在一起，要從分析運算入手，把兩個數列分割開，弄清兩個數列各自的特征，再進行求解.

二、數列與函數的交匯

例3（2015·陜西）設fn（x）是等比數列1，x，x2，…，xn的各項和，其中x>0，n∈N，n≥2.

（1）證明：函數Fn（x）=fn（x）-2在（12，1）內有且僅有一個零點（記為xn），且xn=12+12xn+1n；

（2）設有一個與上述等比數列的首項、末項、項數分別相同的等差數列，其各項和為gn（x），比較fn（x）和gn（x）的大小，并加以證明.