分類討論要訣

很多數(shù)學(xué)問題存在一些不確定的因素，不能用統(tǒng)一的方法去研究、解決，這時(shí)，我們就需要將研究的對象或過程進(jìn)行分類，即將一個(gè)母項(xiàng)分成若干子項(xiàng)，然后，對每一類子項(xiàng)分別加以研究，得出相應(yīng)的結(jié)論，最后綜合各類的結(jié)果得到整個(gè)問題的解答，這種解決問題的思想叫做分類討論.

引發(fā)分類討論的因素有：（1）有些概念本身就包含多種情況，比如絕對值、直線與平面所成的角、直線的傾斜角等；（2）有些性質(zhì)、公式在不同條件下有不同的結(jié)論，或者定理、公式、法則有范圍、條件的限制，如等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式；指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等；（3）含有參數(shù)的問題，參數(shù)不同范圍的取值導(dǎo)致不同的結(jié)果；（4）有些問題比較復(fù)雜，它包含了多種情況，如題目的條件、結(jié)論不確定，圖形位置、數(shù)量大小不確定等.

解決分類討論的一般方法是：（1）確定分類討論的對象；（2）對所討論的對象進(jìn)行合理分類（分類時(shí)要做到不漏不重、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、分層不越級）；（3）逐類討論，即對各類問題進(jìn)行討論，逐步解決，各個(gè)擊破；（4）歸納總結(jié)，即將各類情況歸類、整合，得出綜合結(jié)論.

下面我們通過幾個(gè)典型例題來剖析如何求解分類討論問題.

例1已知函數(shù)f（x）=（x-a）2ex在x=2時(shí)取得極小值.

（1）求實(shí)數(shù)a的值；

（2）是否存在區(qū)間[m，n]，使得f（x）在該區(qū)間上的值域?yàn)閇e4m，e4n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由.

解：（1）f′（x）=ex（x-a）（x-a+2），

由題意知f′（2）=0，解得a=2或a=4.

當(dāng)a=2時(shí)，f′（x）=exx（x-2），

易知f（x）在（0，2）上為減函數(shù)，在（2，+∞）上為增函數(shù)，符合題意；

當(dāng)a=4時(shí)，f′（x）=ex（x-2）（x-4），

易知f（x）在（0，2）上為增函數(shù)，在（2，4）上為減函數(shù)，不符合題意.

所以，滿足……