線性代數中行列式教學的問題驅動教學法

【摘 要】線性代數是高校理工與經管類必修的基礎課程，對培養學生的抽象思維能力、邏輯推理能力以及靈活運用知識解決實際問題的能力有重要意義。而行列式是線性代數中的重要教學內容，在其后續課程中有較為廣泛的應用。本文結合教學實踐，講述了行列式教學中的問題驅動教學法，從問題情境出發，提出問題，然后引導學生思考，最后解決問題，讓學生通過問題解決的過程來達到學習新知識的目的。

【關鍵詞】行列式教學；問題驅動；教學實例

1.引言

線性代數是高等院校開設的一門重要的基礎課程，它對培養學生的數學素質，訓練學生的抽象思維能力、邏輯推理能力以及靈活運用知識解決實際問題的能力有重要作用。但是，一直以來學生普遍認為這門課程的內容非常抽象，不易理解，從而導致學習效果不佳。針對這個問題，我們建議在這門課程的教學中采用問題驅動教學法。從問題情境出發，提出問題，然后引導學生思考，最后解決問題，讓學生通過問題解決的過程來達到學習新知識的目的。這種教學方法能夠讓學生充分參與到課堂教學當中，通過問題的解決過程來引導學生逐步地理解新知識的本質以及其核心思想。教師可以通過引導學生提出問題，思考得出結論，來推動課堂進度，這樣不僅能夠加強課堂教學中師生間的互動，而且能夠獲得良好的教學效果。

行列式是線性代數中較為重要的內容，在線性代數以后的教學內容以及其他后續課程中都有著廣泛的應用。因此，行列式理論在線性代數中是舉足輕重的一個重要內容。

2.行列式教學中采用問題驅動教學法的實例

2.1 n階行列式的定義講解

在引入n階行列式定義時，學生會提出這樣的問題（1）我們已經學習了二階、三階行列式的定義，那么n階行列式和二階、三階行列式的定義之間有什么樣的關系？（2）n階行列式是如何定義的？

教師告訴學生n階行列式可利用歸納的方法進行定義，然后引導學生總結二階行列式和三階行列式的共同點：

（1）二（三）階行列式是2！（3！）項代數和；

（2）代數和的每一項都由兩部分構成——乘積項和符號項；

（3）每個乘積項都是個元素的乘積，而這2（3）個元素分別取自行列式的不同行不同列；

（4）符號項取決于將這一項中的各元素按照行下標從小到大的順序排列后，列下標所形成的排列的奇偶性，如果為偶排列則是正號，如果為奇排列則是負號。

在此基礎上，我們通過歸納自然而然可以給出階行列式的定義，在這里要強調行列式是一個表達式或數值。

教師引導學生總結二階行列式和三階行列式的共同點，利用歸納的方法給出階行列式的定義，實現了由具體到抽象，再由抽象到具體的思維過程。使學生對數學歸納法的應用有了一個直觀的了解，提高了學習的積極性。

2.2行列式的性質講解

在引入行列式的性質時，學生會提出這樣的問題（1）為什么要學習行列式的性質？（2）如何運用行列式的性質求解行列式？

掌握n階行列式的定義后，我們知道n階行列式共有n！項，例如4階行列式有24項，5階行列式有120項，因此用定義來計算高階行列式計算量大，易出錯，得到正確結果較為困難。只有一類特殊的行列式——三角形行列式用定義計算比較方便，我們知道三角形行列式的結果等于主對角線上各元素的乘積，因此我們想能否把一般行列式化為三角形行列式來計算，這就需要研究行列式的性質。

行列式的性質共有5條，講解完這些性質后，學生可以運用它們來簡化行列式的計算，一般的處理方法是通過靈活運用行列式的性質，將一個普通的行列式化為上三角形行列式，然后根據上三角形行列式所表示的代數式等于主對角線各元素的乘積，這樣就能夠輕松地得到結果。

2.3克萊姆法則的講解

在引入克萊姆法則時，學生會提出這樣的問題：（1）我們引入二階、三階行列式是用來解決二元和三元一次線性方程組，那么引入n階行列式是否可以用來解決n元一次線性方程組？（2）如果可以用n階行列式來解決元一次線性方程組，那么對行列式有什么要求，結果用行列式如何表示？

我們引入行列式就是用來解決方程組的問題，自然引入階行列式是用來解決元一次線性方程組，也就是克萊姆法則，當方程組的系數行列式不為零時，方程組的解可以用行列式的商來表示。

3.結束語

運用問題驅動的方法進行教學應該從問題情境出發，提出問題，然后引導學生思考，最后解決問題，讓學生通過問題解決的過程來達到學習新知識的目的。這種教學方法能夠激發學生的好奇心和求知欲，通過提出問題，學生能夠了解新知識引入的背景和意義，而通過解決問題，學生不僅能夠獲得新知識，培養解決問題的能力，而且在無形中也培養了探索精神和創新能力。問題驅動教學法不僅能夠讓學生充分參與課堂教學，而且能夠促進教學中師生的互動，從而獲得良好的教學效果。

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