由一次預習輔導引發(fā)的思考

摘 " 要

預習是一種學習方式，對于提高學生自主學習能力、培養(yǎng)學生終身學習習慣具有重要的意義。那么，在初中數學學習中，學生預習什么？什么內容適宜預習？怎么預習更有效？學生自主預習與教師相機引導有何關系？這是每一位教師都必須思考的問題。本文擬結合一次課外預習輔導的實錄，談談筆者的一些思考。

關鍵詞

預習輔導 "數學教學

一、輔導實錄

暑假的一天，筆者來到學校辦公室，看到一位教師正在給同事的孩子個別輔導。孩子是七年級升八年級，輔導的內容是學校編印的八年級暑期預習作業(yè)，其中有這樣一道填空題：

Rt△ABC中，AC=3，BC=4，則AB2= " " " " 。

孩子習題本上，這道題還空在那里。那位老師畫出圖形，正準備講解，我立即擺了擺手示意停下，然后和孩子進行了如下對話：

師：知道這道題已知什么、求什么嗎？

生：知道，已知直角三角形兩邊求第三邊。

師：知道用什么方法嗎？

生：知道，勾股定理。

師：你自己嘗試一下，行嗎？

生：好的。

等了一分鐘，孩子在橫線上填上7或25。

師：為什么是兩個答案？

生：沒有交代哪個角是直角，要分∠C是直角和∠A是直角兩種情況。

師：還有∠B呢？

生：不可能，因為AC=3，BC=4，說明AC邊不是最大邊，所以∠B不可能是直角。

師：你怎么知道∠B不可能是直角的？

生：如果∠B是直角，那么∠A應該大于直角，三角形的三個角的和就大于180o，不行。

師：你很聰明，那你為什么空著不做？

生：我在想：為什么題目是求AB2，而不是直接求AB呢？我不敢往下做。

師：如果AB2=25，那么AB等于多少？

生：5。

師：如果AB2=7，那么AB等于多少？

生： 。

師：不錯，說明你已經預習了二次根式，知道老師為什么只要求AB2了嗎？

……

二、問題思考

這次對預習作業(yè)的個別輔導，不禁讓筆者思考數學教學中的一些現(xiàn)象與問題：我們鼓勵學生預習，那么學生如何進行有效預習？通過預習，學生能知道數學知識產生的過程、緣由和背后的數學價值與數學文化嗎？當教師喋喋不休地“講解”時，學生愿意聽你講嗎？你了解學生已知道了什么、最需要什么嗎？當學生面臨思維障礙時，是教師直接“講”給他聽還是有更好的方法呢？筆者結合自身教學實踐，就以上問題談談個人的幾點想法。

1.了解學生是有效預習與教學的前提。

奧蘇貝爾認為：“影響學習的唯一重要的因素，就是學習者已經知道了什么。”所謂了解學生，就是“了解學生，把握學生的心理需求、認知基礎和結構，選擇合適的教學內容、教學方法和教學手段”。

上述案例是勾股定理的簡單運用問題。筆者的最初判斷是：孩子通過自主預習，應該知道直接用勾股定理求解，問題的難點（也是學生最容易犯的錯誤）應該是理解題意：學生容易將“已知直角三角形的兩邊求第三邊”誤判為“已知直角三角形兩直角邊求斜邊”導致解錯。這并不是知識（定理的掌握）的問題，而是思維品質問題。那位教師看到預習作業(yè)本上題目空在那里便準備“講”，筆者就想：你講的內容學生會感興趣嗎？或許他已經掌握了呢？因此，講什么、怎么講取決于學生知道或掌握了什么、有什么心理需要。筆者通過師生對話，對這位學生認知基礎與認知心理有了具體的了解。

從認知基礎上看，該生至少具備5個方面的認知：①知道了勾股定理的條件、結論;②能清醒地意識到“條件沒有明確哪個角是直角，要分情況討論”;③已經自學了二次根式內容;④知道∠B不是最大角;⑤在說明“∠B不是最大角”時，不僅知道“三角形中大角對大邊”（盡管這是教材選學內容），潛意識里還運用了反證法的思想。說明這位學生不僅掌握了相關知識，而且思維縝密性強。如果教者僅僅停留在知識層面的“講解”上，顯然不能滿足這位學生的認知需要。

從認知心理上說，由于該生已經自主學習了二次根式，他知道AB2=25時AB=5、AB2=7時AB=，學生的困惑是：為什么預習作業(yè)還要求AB2？筆者為什么要分別追問“如果AB2=25，那么AB等于多少？”“如果AB2 =7，那么AB等于多少？”，就是要進一步了解學生的認知與心理。學生提出“為什么題目要求AB2，而不直接求AB”，通過進一步追問，發(fā)現(xiàn)學生因對題目產生懷疑而“不敢往下做”，竟放棄了題目的解答。這是數學學習中最典型的“有‘疑’無‘質’”，顯然屬于認知心理問題。

2.有效預習源于內容選擇與問題設計。

關于要不要預習的問題在教師中存在不少爭議。一方面，部分教師反對預習，甚至一些名師、專家不提倡預習。南師大教授涂榮豹就認為：“如果學生要學的東西，通過預習都知道了，謎底揭穿了成了已知的，還有什么可探究的？”北京第二十二中學已故著名數學特級教師孫維剛也認為學數學不需要預習。另一方面，在所謂的導學案中，許多預習作業(yè)就是讓學生“看書”：“概念”能記住，會填寫幾個關鍵詞;“定理（或法則）”知道條件、結論并會運用;例習題能看懂、會做。一句話，除了知識就是技能，忽視了對學生學習方法的指導、思維品質的提升、數學能力的發(fā)展，甚至忽視學生人生成長中極為重要的一些東西。筆者認為：問題不在于要不要預習，而在于如何有效預習，前提是如何進行基于學生認知的預習內容的選擇和預習問題的設計。

（1）預習要求因教學內容而定。

初中數學教材內容主要有數學概念、公理、公式、法則、定理及運用，數學例習題，數學活動，數學閱讀，章節(jié)小結等，要引導學生在掌握數學知識（這里指廣義的知識）的同時，了解其背后所蘊涵的數學價值、文化價值與情感價值。如何選擇預習內容與預習要求，要視學習內容而定。

數學中的形式性、程序性、識記性知識以學生自主預習為主。如冪、根號、三角形、平行四邊形、圓、平均數、概率等數學符號的表示，代數運算、幾何證明格式，幾何圖形中的標記……要求學生了解規(guī)范，做好識記，并在閱讀教材的基礎上，查閱資料了解符號（或形式）的形成與來源。

數學概念（如定義、規(guī)定）比較適宜學生自主預習基礎上的教師點撥。如《平面直角坐標系》一節(jié)，就要讓學生通過預習了解：必要性（為什么要引入坐標系，即平面直角坐標系的價值）;是什么（設計情境讓學生知道平面直角坐標系結構及外延與內涵）;合理性（為什么要這樣建立坐標系？有沒有其他方法和類型？為什么規(guī)定橫坐標在前面、縱坐標在后面）;與相關知識之間的邏輯關系（由一維到二維、坐標平面內的點與有序實數對之間一一對應的關系）;所體現(xiàn)的數學思想方法（數形結合、分類、模型）;背后的數學文化（笛卡爾與坐標系、坐標系的發(fā)明對數學發(fā)展的貢獻）等等。這些內容，有些可以通過學生“看書”解決，有些需要查閱資料（如閱讀課外書籍、上網搜索）解決，而有些則要通過課堂上教師的問題引導與啟發(fā)而實現(xiàn)。

教材中的定理、公式等探索性強的學習內容更適宜教師引導下的學生自主探究。教師應該精心設計問題鏈，逐步引導學生探究。如《勾股定理》的預習可設計如下問題鏈，為課堂探究與交流做準備：①回憶小學了解到的“勾三股四弦五”，這句話是什么意思？②對于一般直角三角形，通過測量三邊的長，并分別計算以這三邊為邊的3個正方形的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？得到什么猜想？③如何用語言表達你的猜想？④如何通過面積拼圖驗證三邊關系？⑤你還有哪些證明方法？⑥通過閱讀書籍或上網搜索，了解與勾股定理有關的數學故事和數學史……

（2）預習要根據學生情況設計。

預習要求的確定除了取決于學習內容外，還與學生的年齡結構、認知基礎等因素密切相關，同一學習內容，對不同認知能力的學生要提出不同的預習要求。學生年齡越小、年級越低，學生預習能力越弱，設計的問題鏈就越要細化;隨著學生知識與方法的積累、探究與思維能力的提高，不少問題學生能夠自主完成，預習問題的設置就要更具有開放性和挑戰(zhàn)性。

如蘇科版數學教材七年級上冊第二章第1節(jié)《正數與負數》，預習作業(yè)可設計如下問題鏈：①某日某地的氣溫最高溫度為10℃，如何用正號表示？最低溫度為零下5℃，如何用負號表示？②兩個地區(qū)的海拔高度分別為+200m和-50m，+200m和-50m分別表示什么意思？③-1怎么讀？④如果用+50m表示向南50m，則向北30m如何表示？-25m表示什么意思？⑤如果用-5000元表示支出5000元，則+3000元表示什么意思？⑥0是正數還是負數？⑦請你上網搜索：正負號是哪位數學家什么時候創(chuàng)造的？為什么要發(fā)明正負號？他對數學有何貢獻？……

又如案例中的八年級學生，已經具有一定的知識與方法的積累，思維具有一定的深刻性與批判性，因此，預習目標應該確定在更高層次。一是梳理建構知識，讓學生研究教材的編排，從而讓學生認識到：題目之所以只要求AB2，是因為編者考慮到在教材安排上，二次根式在勾股定理之后，預習勾股定理時還沒有涉及二次根式，這是編者的有意而為;二是提出勾股定理的更多證明方法并加以歸納;三是上網搜索勾股定理背后的數學故事，以此激發(fā)數學興趣與探求真理的精神。這或許是學生最為迫切的認知需求與情感需求。

3.基于預習的教師引導與學生探究。

在預習的基礎上，教師引導與學生探究相結合是數學課堂學習的主要方式，如定理公式、法則的學習，應該在教師引導與啟發(fā)下，學生通過操作、觀察、猜想、驗證、計算和推理，發(fā)現(xiàn)、證明和應用結論，并在這個過程中掌握探究方法、積累活動經驗、揭示數學內涵、滲透數學思想、感受數學文化、激發(fā)數學情感。本案例中的《勾股定理》學習，可讓學生先預習問題鏈，再從六個方面引導他們學習。

（1）指導探究方法。針對八年級學生的認知結構和心理特征，在教學中選擇引導探索法：①由實際情境引入問題，通過拼圖、分析等自主探索活動獲得直觀感知，由特殊情形的直角三角形發(fā)現(xiàn)三邊關系;②由淺入深、由特殊到一般引導學生得出一般直角三角形三邊關系;③啟發(fā)學生在拼圖操作基礎上，“由圖形到等式”聯(lián)想“面積與代數恒等式”，通過計算驗證直角三角形的三邊關系;④進一步啟發(fā)證明方法的多樣性;⑤運用定理解決初始的現(xiàn)實問題，感受定理的作用。

（2）積累活動經驗。如這里的活動經驗包括方法經驗、策略經驗、思路經驗等。如研究圖形的方法經驗：圖形定義、判定、性質、運用和相互關系;分析問題的策略經驗：由形到數、由特殊到一般等;探究問題的路徑經驗：通過操作、觀察發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，通過計算、推理分析問題、解決問題。

（3）揭示數學內涵。勾股定理的數學本質有兩個：一是直角三角形中“變中不變”，直角三角形形狀（三邊大小）在變化，但“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”這個相等關系不變;二是圖形特征可以用相應的數量關系來描述。

（4）滲透數學思想。由圖形關系得到數量關系，滲透數形結合思想;由圖形的割、補、拼得到一般圖形到特殊圖形的轉化，滲透轉化思想;由勾三股四弦五到任意直角三角形三邊關系，滲透從特殊到一般思想等;通過拓展性問題滲透分類思想。

（5）感受數學文化。數學學習的意義不止于解題，也不只是一個定義、幾個公理、幾條定理、幾步運算的掌握。數學結論的發(fā)現(xiàn)和演變過程充滿了傳奇色彩：為什么將勾股定理稱為千古第一定理？為什么在國外稱為畢達哥拉斯定理，而中國稱為勾股定理或商高定理？定理迄今已有幾百種證明方法，為什么那么多人孜孜以求地探索其證法，甚至連美國總統(tǒng)也樂此不疲？你能用幾種方法證明？為什么2002年在我國召開的世界數學家大會將弦圖作為會徽？華羅庚提議送上太空與外星人交流的“青朱出入圖”是什么？勾股數的奇妙在哪里？這些問題其中大多數可以通過學生課前預習、課上交流的方式完成，也有部分可以通過延伸閱讀提出發(fā)展性問題。

（6）激發(fā)數學情感。學生在自主探究中猜想結論并證明了結論，從而體驗成功的快樂，定理的歸納與演繹中所體現(xiàn)出來的數學理性精神、定理的構造與發(fā)現(xiàn)的歷史中所浸潤的數學文化，無疑會讓學生在啟迪思維、提升能力的同時陶冶情操、豐富情感。

三、結語

預習作為一種學習習慣和終身學習能力，在數學學習中不可或缺。然而，預習的方式與要求要因數學教學內容和學生認知而選擇，應有所側重;預習不只是知識與技能，還要關注學生的思維與情感;預習必須和教師引導、學生探究有機結合。只有這樣，學習效果才能實現(xiàn)最大化。（作者為江蘇省泰州市教育局教研室教研員）