一個絕對值不等式恒成立問題的錯解辨析

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一個絕對值不等式恒成立問題的錯解辨析

◇甘肅馬生蘭

絕對值不等式恒成立問題是高考的一個熱點,也是一個難點,這類題目要求考生有較強的邏輯推理的能力和對分類討論數學思想的正確認識和把握.近期一位學生遞交了一個絕對值不等式恒成立問題的解法,他的答案與原答案不一致,但是他認為解題過程是正確的,想請老師幫他確認一下.在看了他的解題過程之后,和他進行了一番辨析,最終幫他找到了錯解的原因.今天將這道題的錯解辨析呈現出來,以期對讀者有些啟發(fā),避免在該問題上重蹈覆轍.

錯解原不等式恒成立等價于

①

②

對于任意的x∈[1/6,1/3]恒成立.

解題理論依據:當D為某區(qū)間時,|f(x)-a|>g(x)對任意x∈D恒成立等價于不等式f(x)-a>g(x)或f(x)-a<-g(x)對任意x∈D恒成立.

剖析原理:該理論依據是錯誤的,錯在二者不是等價關系,原不等式恒成立的等價條件是“不等式f(x)-a>g(x),對任意x∈E恒成立或f(x)-a<-g(x),對任意x∈F恒成立(其中E∪F=D)”.

下面正確解答原命題.

分析1對不等式右邊的代數式的正、負討論,達到去絕對值的目的.

所以a∈{a|a∈R,a≠ln(1/3)}.

分析2將原不等式恒成立轉化為2個非負代數式的和為正數,原不等式恒成立,必須滿足2個代數式均不為0.

|a-lnx|≥0,ln[3/(2+3x)]≥0,

分析3利用“正難則反”的解題原則,先求原命題的否定命題的a的取值范圍,再利用補集的思想,求出原命題恒成立時實數a的取值范圍

以上對絕對值不等式|f(x)-a|>g(x)恒成立的錯解辨析,可以得出錯解的原因是:將該絕對值不等式恒成立的等價條件誤認為與絕對值不等式解集的等價條件一致，即“不等式|f(x)|>g(x)的解集”的等價條件是“不等式f(x)>g(x)的解集,或f(x)<-g(x)的解集”.所以解決絕對值不等式恒成立的問題的關鍵在于命題的等價轉化,或者利用分類討論,或者利用“正難則反”的原則,可以順利地解決問題,甚至找到解決問題的最簡捷的途徑.

(作者單位：甘肅省積石山縣積石中學)