明確復習重點探索有效途徑———2016 年高考數學第2 輪復習建議( 上)

?

明確復習重點探索有效途徑
———2016 年高考數學第2 輪復習建議( 上)

◇北京丁益祥(特級教師)

1第2輪數學復習重點

1.1夯實核心內容

數學高考考查的內容十分豐富,第2輪復習應在第1輪復習的基礎上,聚焦如下核心內容:導數與函數、不等式,三角函數、三角變換與解三角形,數列與函數、不等式,概率統計與計數原理,空間圖形與平面圖形,解析幾何與平面幾何、平面向量.

1.2突出數學思想

高考歷來重視對數學思想的考查,近年來的數學高考中著重考查7種數學思想:函數與方程思想、數形結合思想、分類與整合思想、化歸與轉化思想、特殊與一般思想、有限與無限思想、或然與必然思想.第2輪復習應更加突出數學思想的應用.

1.3發展理性思維

理性思維主要包括如下3個方面:從數和形的角度觀察事物,提出有數學特點的問題(如唯一性、存在性、不變性、充要性等);運用歸納抽象、邏輯推理、運算求解、演繹證明、空間想象、直覺猜想等思維方法思考和分析問題;利用數學語言(文字語言、圖形語言、符號語言等)準確地進行表述和交流.

歷年的數學高考考試大綱都明確指出:數學是一門思維科學,是發展學生理性思維的主要載體.高中數學課程標準也不止一次地強調:數學對于培養學生理性思維具有其他學科不可替代的重要作用.據此,中學數學教學必須十分重視學生理性思維的培養,而作為著重檢測學生思維水平和數學能力的數學高考,考查學生的理性思維是必然之舉.因此,第2輪復習必定要肩負起發展學生理性思維的重任.

1.4培養學科能力

“考查基礎知識的同時,注重考查能力”,歷來是數學高考的命題原則.這里的能力包括2個方面:1)基本能力,是指空間想象能力,抽象概括能力,推理論證能力,運算求解能力和數據處理能力;2)發展性能力,包括應用意識和創新意識，具體表現為分析和解決實際問題的能力,以及面對創新問題富有新意的思維過程與解法設計.作為第1輪復習的延伸,第2輪復習中理應把提高學生數學能力作為主要的復習任務.

2第2輪復習有效途徑

2.1通過重點專題復習夯實核心內容

全國各地的高三數學復習,大多是兩輪制.第1輪以落實雙基為主,適當關注能力的提高和思維的發展,因此第1輪復習通常按章節逐一過關.而第2輪復習的主要任務是聚焦核心考點,總結解題方略,發展思維水平,提高數學能力.因此,從知識、方法和能力的角度,精選幾個聚焦核心內容的專題進行復習,一定是有效的.

專題選題原則:專題復習主要講解具有一定代表性的歷年高考試題以及具有一定綜合性的高考模擬試題或其他典型習題,所選問題應突出本專題的重點知識、重要技能、重要思想、典型方法、常用策略,既要注意選擇一些章內知識的綜合問題,更要注意選擇那些在知識網絡交會點處設計的、注重發展思維、考查能力的試題或習題.

專題復習策略:重在解題思路的分析、知識要點的梳理、規范解法的展示、解題方略的總結、學科思想的提煉等.

可以選擇如下10個專題.

1) 選擇題、填空題的解法.

在所規劃的課時內,盡可能做到主要知識全覆蓋,量多面廣,小題綜合化.要選擇那些小巧靈活、解法多樣的問題,著重體現選擇、填空題的各種不同解法,如直接求解法、特值分析法、數形結合法、等價轉化法、變量替換法、巧用定義法、直覺判斷法、合理估值法、無限逼近法等.通過選擇題和填空題的求解,進一步夯實雙基,同時培養學生思維的靈活性和敏捷性.

2) 數學思想方法的應用.

數學思想是數學知識的精髓,是架設在知識和能力之間的一座橋梁.第2輪復習中,必須選擇相關的問題,通過對蘊含在問題本身中的數學思想的挖掘和提煉,實現對問題的解決.從歷年的高考試題看,數學思想在各種題型中都有所考查,因此,本專題中選擇題、填空題、解答題3種題型都應有所選擇,所選題目應蘊含7種數學思想.通過這些問題的求解,一方面應體現數學思想在解題中的價值,另一方面應提高學生利用數學思想求解問題的意識.

3) 三角函數與平面向量.

三角函數是歷年高考必考的重要內容之一,這類問題有時還和平面向量結合考查.第2輪復習既要重視單一的三角問題,也要適當關注三角函數與平面向量的綜合問題.本專題所選題目應側重于考查三角函數的化簡和求值、三角函數的圖象和性質、三角變換公式、正余弦定理等核心內容,還應適當選擇1或2個三角函數與平面向量的綜合問題.

4) 數列與函數、不等式.

數列是高等數學和初等數學的一個重要銜接點,歷來是數學高考的重點之一.本專題所選的題目應側重于考查數列的通項與前n項和的關系、2類數列的通項與前n項和、數列運算的6大技能、函數的單調性與平均值不等式等核心知識,既要突出數列章內知識的綜合,又要突出數列與函數、不等式的綜合.

(1) 求數列{an}的通項公式;

(2) 記數列{1/an}的前n項和Tn,求使|Tn-1|<1/1000成立的n的最小值.

歸納與小結此題是數列與函數、不等式的簡單綜合,既考查了數列通項與前n項和的關系、等比數列的判定以及前n項和公式,又考查了指數函數的有關性質以及不等關系的處理方法.事實上,n≥10的獲得,依賴于指數函數y=2x的單調性,而不等式“29<512<1 000<1 024=210”的構造,體現了不等關系的放縮技能.

5) 概率統計與計數原理.

概率與統計是近年來應用問題考查的主要內容,對此,第2輪復習必須十分重視.本專題所選題目應側重于考查抽樣方法,用樣本估計總體(頻率分布直方圖、折線圖、莖葉圖、平均數、中位數、眾數、方差和標準差);古典概型和幾何概型; 4類事件的概率(等可能性事件的概率、互斥事件有一個發生的概率、對立事件的概率、相互獨立事件同時發生的概率),理科還應關注條件概率,重視n次獨立重復試驗中某事件恰好發生k次的概率及二項分布、離散型隨機變量的分布列、期望值與方差.復習中要重視圖表問題的精選與讀圖、識圖的方法指導.

(1) 完成頻率分布表.

(2) 作出頻率分布直方圖.

(3) 根據國家標準，污染指數在0～50時，空氣質量為優;在51～100時，為良；在101～150時，為輕微污染；在151～200時，為輕度污染.

請你依據所給數據和上述標準,對該市的空氣質量給出一個簡短評價.

歸納與小結本題涉及了頻數、頻率、頻率分布表及頻率分布直方圖的意義和制作方法,涉及了對空氣質量問題的評價.這類問題,大多是給出頻率分布表和頻率分布直方圖,然后要求根據圖表回答相應的問題.而此題給出的只是30個統計數據和國家關于空氣質量的標準,要求自己制作頻率分布表和頻率分布直方圖,再根據統計結果,結合國家空氣質量標準進行數據分析,最后對該市空氣質量給出簡短評價,既展現了加工數據的具體過程,考查了數據處理能力,又著重考查了運用統計知識解決簡單實際問題的能力,具有較強的應用價值.

6) 導數與函數、方程和不等式.

導數是歷年高考的重點,通常與函數、不等式、方程綜合考查.正因為試題是眾多知識的交會,因而往往是高考的把關試題之一,難度較大.這類試題的求解,對于推理論證能力和運算求解能力都具有較高的要求.因此,作為著重提高學生能力的第2輪復習,理應把導數與函數、方程和不等式作為重點專題強化落實.本專題應側重選擇考查導數及其幾何意義、導數公式以及求導法則(復合函數的求導法則)、導數與函數的單調性、導數與函數的極值和最值、導數與不等式的證明、導數與函數的零點等問題,進行求解訓練.

(1) 討論f(x)的導函數f′(x)的零點的個數;

(2) 證明:當a>0時f(x)≥2a+aln(2/a).

歸納與小結此題是導數與函數、方程和不等式等眾多知識的交會,考查了指數函數、對數函數的導數公式、多項式函數的求導法則以及復合函數的求導法則,考查了利用導數判斷函數的零點、利用導數判斷函數的單調性、利用導數證明不等式的方法.此題第(1)問原則上應借助于函數零點的存在定理,然而,由于當a>0時,使得f′(x)<0成立的具體的某個x值不易求出,因此,這里采用無限逼近的辦法,即有限與無限的思想,較好地解決了問題,值得關注.第(2)問本質上是不等式恒成立問題,這類問題,通常轉化為函數單調性的判斷與最值問題的求解.

此題綜合性較強,具有一定難度.第2輪復習中選擇這樣的導數問題,對于培養學生的推理論證能力和運算求解能力,都能起到重要的作用.

(未完待續)

(作者單位：北京陳經綸中學)