擺線針輪傳動接觸熱彈流潤滑特性

孫章棟， 朱才朝， 劉懷舉， 宋超省

(重慶大學 機械傳動國家重點實驗室,重慶　400044)

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擺線針輪傳動接觸熱彈流潤滑特性

孫章棟， 朱才朝， 劉懷舉， 宋超省

(重慶大學 機械傳動國家重點實驗室,重慶400044)

摘要：針對擺線針輪行星傳動嚙合過程中嚙合齒面摩擦行為影響系統動態特性、傳動效率及接觸疲勞特性等問題，基于牛頓流體及指數率、Ree-Eyring模型建立擺線針輪線接觸時變熱彈流潤滑數值分析模型，獲得理想安裝的擺線針輪副完整嚙合周期內摩擦力、摩擦因數及摩擦損失功率變動。結果表明，基于牛頓流體及指數率流體模型所得摩擦因數與工程實際不符；基于Ree-Eyring模型純滾動嚙合產生的熱效應在重載下對嚙合過程中膜厚、摩擦損失功率影響較大，對壓力、摩擦因數影響較小。研究非牛頓流體特征參數與擺線針輪傳動設計參數對嚙合中摩擦因數、摩擦損失功率影響規律表明，流體特征應力增加摩擦因數及損失功率均減小；短幅系數取較大值時大部分嚙合區間摩擦因數增加、摩擦損失功率減小。

關鍵詞：擺線輪；熱彈流潤滑；Eyring 流體；摩擦損失功率；摩擦因數

擺線針輪行星傳動以傳動精度高、傳動比大、結構緊湊、使用周期長等優點廣泛用于微型器械、機器人及測試儀器等設備。嚙合過程中摩擦力及摩擦產生的熱量易造成齒面磨損、膠合等失效形式，不僅影響齒輪的傳遞精度及接觸疲勞[1-3]，且會影響傳動系統動態特性及傳動效率[4]。 Dyson等[5-6]通過彈流潤滑數值計算求得嚙合中摩擦力及損失效率。 Goksem等[7]利用彈流潤滑數值分析推導出光滑等溫線接觸摩擦力公式。 Jacod等[8]利用 Ree-Eyring流體擬合出光滑等溫點接觸彈流潤滑摩擦因數公式。 Chang等[9]基于光滑接觸表面，通過簡化能量、壓力及膜厚方程計算漸開線齒輪摩擦功率損失。Wu等[10]利用Ree-Eyring流體建立混合彈流潤滑數值模型，并求得漸開線齒輪嚙合的摩擦功率損失。 Li等[11-12]在文獻[10]基礎上建立漸開線時變混合彈流潤滑數值模型，表明滾動引起的摩擦功率損失占總摩擦功率損失30%以上，并利用線性回歸方法擬合出摩擦因數、損失功率公式。

以上研究均針對漸開線齒輪潤滑問題，對擺線針輪彈流潤滑特性研究較少。而兩者傳動存在明顯區別，即擺線輪與針輪同時嚙合齒數多于漸開線齒輪，理論上可達一半擺線輪；擺線輪與針輪嚙合理論上為純滾動線接觸，漸開線齒輪嚙合相位在節點處為純滾動線接觸，其它嚙合相位為滑動線接觸。本文基于牛頓流體、指數率流體及Ree-Eyring流體建立擺線針輪光滑接觸的時變熱彈流潤滑數值模型，研究擺線針輪純滾動嚙合中摩擦因數、損失功率變化規律。

1幾何與運動學分析

表1 擺線針輪傳動副及潤滑相關參數

圖1　擺線輪與針齒嚙合示意圖Fig.1 Diagram of the meshing between the cycloid gear and the rollers

嚙合中擺線輪曲率半徑ρ變化，針齒半徑rz為定值，得當量曲率半徑及載荷[13]分別為

R=ρrz/(ρ±rz)

(1)

(2)

(3)

等效曲率半徑、卷吸速度、單位嚙合力隨嚙合相位變化曲線見圖2。由圖2看出，標準齒廓單位嚙合力F、等效曲率半徑R及卷吸速度ur經θ=arccosK1時趨勢發生突變，故應考慮Reynolds方程的時變項對潤滑特性影響。

圖2　等效曲率半徑、卷吸速度、單位嚙合力隨嚙合相位變化Fig.2 The variation of equivalent radius, rolling speed and contact force with meshing process

2擺線針輪時變熱彈流潤滑模型

由潤滑力學觀點，將擺線輪輪齒與針輪接觸簡化為一當量半圓柱與一平面接觸，使其構成的間隙形狀相同，見圖3。

圖3　簡化的線接觸模型Fig.3 Simplification of a line contact problem

不同潤滑油會呈現不同的流變特性，三種流體本構方程[14]如下：

(1)牛頓流體本構方程

(4)

式中：η為黏度函數。

若用Roelands方程，則黏度方程為

(5)

式中：z0=α/[5.1×10-9g(lnη0+9.67)]，η0為環境黏度；s=β(T0-138)/(lnη0+9.67)，T0為環境溫度；α為黏壓系數；β為黏溫系數。

(2)Ostwald-de Waele流體本構方程

(6)

式中：n為流變指數；m為關于壓力、溫度黏性函數，即

(7)

(3) Ree-Eyring流體本構方程

(8)

式中：τ0為流體特征剪應力。

用廣義Reynolds方程，引入等效黏度η*，將非牛頓流體轉成牛頓流體求解。三種流體對應的等效黏度計算式為

利用Hertz接觸參數對潤滑模型無量綱化，各參考量為

式中：x為流動方向；z為膜厚方向；b為Hertz接觸半寬，h為油膜厚度；p為油膜壓力；PH為最大Hertz壓力；R為等效曲率半徑；E為等效彈性模量；t為時間；T為溫度。

無量綱Reynolds方程為

(9)

油膜無量綱能量方程為

(10)

固體無量綱能量方程為

(11)

無量綱化膜厚方程、Dowson-Higginson密度方程、載荷方程，無量綱Reynolds方程、油膜無量綱能量方程及固體無量綱能量方程邊界條件見文獻[15-16]。離散無量綱Reynolds方程形式[17]為

αipi-1+βipi+γipi+1=δi

(12)

式中：αi，βi，γi，δi為Poiseuille流、Couette流及Squeeze流差分系數和。

離散成該形式可方便壓力迭代中利用追趕法求解壓力。本文用二階中心差分離散Poiseuille流、一階向后差分離散格式Couette流及一階向后差分離散格式Squeeze流。

彈流潤滑分析中計算接觸副摩擦因數采用兩接觸線的剪切力均值與載荷比值，即

(13)

計算接觸副摩擦功率損失為該接觸點沿膜厚方向剪力與膜厚層間滑動速度乘積并沿膜厚積分，即

(14)

式(14)進一步化簡為

Pr(X)=

(15)

純滾動時U2-U1=0，故式(15)中第二項可略去，摩擦損失功率大小主要取決于dP/dX，光滑接觸副Hertz接觸區域dP/dX變化小，該區域摩擦損失功率亦小，而入、出口接觸區域dP/dX變化大，該區域摩擦損失功率亦大。整個接觸區域滾動摩擦損失功率損失為

(16)

3結果與討論

標準齒廓單位嚙合力、等效曲率半徑及卷吸速度變化曲線拐點均發生于相位角θ=arccosK1處。標準齒廓三種流體在該相位處的壓力、膜厚、剪切力及摩擦損失功率變化曲線見圖4～圖6。

圖4　θ=arccos K1處牛頓流體壓力、膜厚、剪力及滾動摩擦損失功率曲線Fig.4 Thecurves of the pressure, film thickness, shear stress and rolling power lossat the phase θ=arccos K1 with the newtonian fluid

圖5　θ=arccos K1處Ree-Eyring流體壓力、膜厚、剪力及滾動摩擦損失功率曲線Fig.5 Thecurves of the pressure, film thickness, shear stress and rolling power lossat the phase θ=arccos K1 with an Eyring fluid

由3圖看出，純滾動條件下，三種流體熱彈流解的壓力、膜厚仍具有等溫彈流潤滑特征。滑動下的接觸面剪力分布與所得壓力分布相似，而純滾下的Hertz接觸區域值較小，二次壓力峰對應位置存在正負峰值，且與膜厚頸縮有關。牛頓流體計算的剪力較Ree-Eyring流體大，摩擦因數也會偏大。Ostwald (指數率)流體所得剪力遠大于前兩種流體且為正值，與工程實際不符。三種流體所得摩擦損失功率共同點為：在Hertz接觸區域接近零，在接觸入、出口區域較大，與摩擦損失功率公式分析結果一致。而指數率流體摩擦損失功率較大，與工程實際不符。Ree-Eyring流體及牛頓流體所得值符合工程實際，前者常用于熱彈流解可獲得合理摩擦因數[18]，利用該模型所得剪力及滾動摩擦損失功率大小與文獻[12]一致，Ostwald-de Waele及牛頓流體模型雖可求得合理的膜厚、壓力曲線，但剪力、滾動摩擦損失功率與工程實際不符。本文用Ree-Eyring流體模型研究擺線針輪接觸潤滑特性。

圖6　相位角θ=arccos K1處指數率流體壓力、膜厚、剪力及滾動摩擦損失功率曲線Fig.6 Thecurves of the pressure, film thickness, shear stress and rolling power lossat the phase θ=arccos K1 with an Ostwald fluid

利用牛頓流體所得擺線針輪純滾動嚙合中最小膜厚穩態及瞬態數值解，并與Dowson-Higginson潤滑油膜厚經驗公式[19]比較，見圖7。由圖7看出，數值解與經驗公式解變化趨勢基本吻合，經驗公式值偏大，因此可驗證數值模型的正確性及數值分析的必要性。而最小膜厚瞬態數值解與穩態數值解存在差別，隨嚙合相位增加瞬態數值解先大于穩態數值解，在某一瞬嚙合相位處與穩態解結果相等，嚙合相位結束階段小于穩態解，表明Reynolds方程中需考慮時變項對擺線針輪嚙合的潤滑狀態影響。

圖7　最小膜厚數值解與Dowson-Higginson經驗公式比較Fig.7 Compare film thickness numerical solution with the empirical Dowson-Higginson formula

3.1純滾動時熱效應對潤滑特性影響

Ree-Eyring流體高速重載下擺線針輪純滾動嚙合中熱解及等溫解的中心壓力、最小膜厚、摩擦因數及摩擦損失功率變化曲線見圖8，可見嚙合的中心壓力與摩擦因數基本無差別，熱解所得最小膜厚較等溫解小，滾動摩擦損失功率熱解與等溫解存在較大差別。表明重載下純滾動產生的熱效應對潤滑特性影響不可忽略。

3.2流體特征對潤滑特性影響

擺線針輪嚙合的中心壓力、最小膜厚、摩擦因數及摩擦損失功率隨Ree-Eyring流體特征應力τ0變化曲線見圖9、圖10。由2圖看出，隨特征應力增加整個嚙合過程中心壓力略有減小，最小膜厚略增加；特征應力進一步增加時中心壓力及最小膜厚變化幅度減小，整個嚙合過程的摩擦因數減小，滾動摩擦損失功率也減小。

3.3短幅系數k1對潤滑特性影響

擺線針輪嚙合過程中心壓力、最小膜厚、摩擦因數及滾動摩擦損失功率隨短幅系數k1變化曲線見圖11、圖12。由2圖看出，擺線針輪傳動設計允許范圍內，隨短幅系數增加嚙合中最大中心壓力變增大，整個嚙合區間內最小膜厚減小，大部分嚙合區間內摩擦因數增加，而整個嚙合區間滾動摩擦損失功率減小。

圖8　高速重載下純滾動產生熱效應對壓力、膜厚、剪力及滾動摩擦損失功率影響Fig.8 Influence of the thermal effect produced by pure rolling on the pressure, film thickness, friction coefficient and rolling power loss at high load and speed

圖9　嚙合過程中心壓力及最小膜厚隨特征應力變化Fig.9 Influence of the Eyring stress on the center pressure and minimum film thickness

圖10　嚙合過程摩擦因數及滾動損失功率隨特征應力變化Fig.10 Influence of the Eyring stress on the friction coefficient and rolling power loss

圖11　嚙合過程中心壓力及最小膜厚隨短幅系數K1變化Fig.11 Influence of short width coefficient on the center pressure and minimum film thickness

圖12　嚙合過程剪力及滾動損失功率隨幅系數K1變化Fig.12 Influence of Short width coefficient on the friction coefficient and rolling power loss

4結論

采用廣義Reynolds方程，求得Newton、指數率及Ree-Eyring流體等效黏度，建立擺線針輪線接觸時變熱彈流潤滑數值模型，計算完整嚙合周期內不同潤滑流體類型的摩擦因數及損失功率變動。用追趕法求解壓力及溫度場，用DC-FFT算法[20]快速求解彈性變形，結論如下：

(1)基于牛頓及指數率流體模型可獲得合理的膜厚、接觸壓力曲線，剪力及摩擦損失功率與工程實際不符。

(2)基于Ree-Eyring模型純滾動嚙合的熱效應重載下對嚙合中膜厚及滾動摩擦損失功率影響較大，對接觸壓力及摩擦因數影響較小。

(3)特征應力增加膜厚增加，摩擦因數及滾動摩擦損失功率均減小；在擺線輪設計允許范圍內短幅系數取較大值時最小膜厚減小，大部分嚙合區間內摩擦因數增加，整個嚙合區間滾動摩擦損失功率減小。

參 考 文 獻

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TEHL characteristics of a cycloid drive

SUNZhang-dong,ZHUCai-chao,LIUHuai-ju,SONGChao-sheng

(The State Key Laboratory of Mechanical Transmission, Chongqing University, Chongqing 400030, China)

Abstract:A cycloid drive belongs to precision drives and its meshing friction influences the dynamic characteristics of the system, the transmission efficiency, and the contact fatigue. A time-varying thermal elastohydrodynamic lubrication line contact model was developed for the cycloid drives with Newtonian fluid, Ree-Eyring fluid, or Ostwald-de Waele fluid in order to investigate rolling contact friction, friction coefficient, and frictional power loss in the meshing period. Studies show that shear stress and rolling power loss calculated with Ostwald-de Waele fluid and Newton fluid do not agree with the engineering practice. The thermal effect produced by pure rolling with Ree-Eyring fluid affects the film thickness and the frictional power loss, and its influence on the pressure and friction coefficient is small. At the end of the paper, the effect of Ree-Eyring stress and design parameters on the friction coefficient and rolling power loss are discussed. As the Eyring stress increases, the friction coefficient and rolling power loss decreases; As the short width coefficient goes up, the friction coefficient at most engaging moments increases and rolling power loss decreases.

Key words:cycloid drive; TEHL; Eyring fluids; frictional power loss;friction coefficient

中圖分類號:TH117

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.06.032

通信作者朱才朝 男，教授，博士生導師，1966年生

收稿日期：2014-10-08修改稿收到日期：2015-03-20

基金項目：國家自然科學基金(51175523;51405042;51405043)；國家科技支撐計劃(2012BAA01B05)

第一作者 孫章棟 男，博士生，1984年11月生

E-mail：cczhu@cqu.edu.cn