基于等效轉化關系的一維非均勻介質波動問題解析方法研究

楊在林， 王　耀， 黑寶平， 李志東

(哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，哈爾濱　150001)

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基于等效轉化關系的一維非均勻介質波動問題解析方法研究

楊在林， 王耀， 黑寶平， 李志東

(哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，哈爾濱150001)

摘要：基于波動方程與位移場解答等效思路，獲得非均勻介質波動問題與均勻介質柱面波等效轉化關系。分析發現兩類問題模型間可相互轉化，問題解答可相互等效。等效轉化實質為幾何形狀與材料參數的等效關系。利用等效轉化關系獲得兩個一維非均勻介質波動問題算例的解析解。

關鍵詞：非均勻介質；波動；等效轉化

生產實踐中均勻介質的柱面波較常見，一般由直線源引起，如受時變均布內壓作用的直孔結構[1]。對常見的標量波如線性淺水波[2]在一定條件下也可視為類似情形。均勻線彈性介質中波速是恒定的，即單位時間內波傳播距離不變。均勻介質中傳播的平面波波速、波幅均為恒定的，而柱面波波幅則隨傳播距離增加逐漸遞減。非均勻介質則有所不同[3-4]。由于材料參數分布不均勻，傳播過程中波幅一般隨時間變化，且波速也會隨波的位置不同而不斷變化。

Virieux[5-6]采用速度-應力有限差分法分別模擬、研究SH波、P波及SV波在非均勻介質中的傳播規律；Wesoloski[7]研究兩彈性層間夾有彈性模量服從二次多項式分布的過渡層的波傳播規律，過渡層模量分布是以坐標為變量的拋物線，在研究域內模量分布函數完全連續；Manolis[8]研究波速豎向漸變的非均勻半無限空間中波動問題，并引入材料參數的隨機性用Green函數法進行分析；Chaix等[9]通過均勻化方法對混凝土中熱損傷的超聲特性進行理論分析，并實驗驗證。

非均勻介質波動問題解析求解存在較大困難，多采用數值求解方法[10-13]。由于目前缺乏問題的解析解，數值解法結果驗證較困難。

本文給出波速恒定(模量與密度非均勻)而波幅在傳播過程中會發生改變、且波幅變化規律與柱面波相同的一維非均勻介質等效模型及材料參數等效轉化關系,并利用此關系直接獲得非均勻介質波動問題的解析解。

1方程等效

本文核心思想為利用問題模型等效轉化關系求解非均勻介質波動問題的解析解。為此，建立均勻介質中柱面波問題與非均勻介質中平面波問題之間等效轉化關系，建立波動方程。

1.1柱面波波動方程

各向同性均勻介質的無阻尼波動方程為

(1)

式中：D為介質彈性系數；ρ為介質密度。

柱坐標系下式(1)可表示為通式，即

(2)

1.2變截面桿波動方程

一維變截面勻質桿件波動方程為

(3)

式中：A為與坐標相關的桿截面積函數；c為桿中彈性波傳播速度。

單位高度圓柱形波陣面面積A關于波陣面半徑r的變化關系為

A=2πr

(4)

將式(3)中變量x用r代替，并將式(4)代入該式，有

(5)

整理得

(6)

桿中波速公式為

(7)

式中：D為拉壓彈性模量(P波時)或剪切彈性模量(S波時)。

式(6)為式(2)的另一種形式。由此可知，一維變截面均質桿件波動方程與柱面波問題波動方程完全等效。

1.3向一維非均勻介質轉化

一維非均勻介質波動方程為

(8)

令

D′=x

(9)

(10)

得

(11)

將式(11)中變量x用r代替，可知材料參數分布滿足式(9)、(10)形式的一維非均勻介質與一維變截面均質桿件等效，即與均勻介質中柱面波式(2)等效。或視為半無限非均勻介質中平面波問題與均勻介質中柱面波問題的等效。

2等效解答

由式(7)可知，式(9)、(10)對應的非均勻介質波速為cb，與等效均勻介質中柱面波速對應且相同。可見，均勻介質中柱面波問題向非均勻介質波動問題的轉化在等波速剖面條件下進行，故兩者解答也可直接相互移植。因此，以SH波為例進行說明。

2.1非均勻介質等效剛度

令長度為L的一維非均勻介質沿長度方向剪切彈性模量滿足關系

G′=αx

(12)

式中：α為待定系數。

則在單位截面積下該介質軸向等效柔度系數為

(13)

即軸向等效剛度系數為

(14)

2.2均勻介質等效剛度

令半徑為L的均勻介質剪切彈性模量為

G=μ

(15)

該介質徑向等效柔度系數為

(16)

徑向等效剛度系數為

(17)

2.3點源SH波位移場

設波源是簡諧的，則柱面波波動方程可寫為

(18)

點源SH波位移場[14]為

(19)

2.4非均勻介質中平面波位移場

基于本文等效方法思路，對等效非均勻介質中對應問題，其位移場的解應滿足

(20)

式中：λ為待定比例系數。

由KI=KH，即

(21)

得

α=2πμ

(22)

有

(23)

將式(12)、(23)代入式(20)，得位移場的解為

(24)

3算例

本文等效關系能用于一維非均勻介質波動問題解析解。

3.1算例1

一維半無限長非均勻直桿，在O端入射頻率為ω的諧波，設波在研究域外傳播時不產生回波。見圖1。

圖1　模型Fig.1 Model

研究域內桿的彈性模量與質量密度均呈線性變化，分布函數分別為

E(x)=a1x+b1

(25)

ρ(x)=a2x+b2

(26)

且滿足關系

a1b2=a2b1

(27)

(1)ai=0、bi>0時，桿為均勻介質，可直接給出位移場，即

(28)

(2)ai>0、bi≥0時，用坐標變換關系為

(29)

則材料參數的分布函數變為

E(x′)=a1x′

(30)

ρ(x′)=a2x′

(31)

在此情形下，問題模型與均勻介質中柱面波問題等效，等效模型彈性模量為a1/(2π)，密度為a2/(2π)。見圖2。

圖2　等效模型(ai>0,bi≥0)Fig.2 Equivalent model when ai>0,bi≥0

據式(19)或式(24)得位移場結果為

(32)

(3)ai<0、bi>0時，用坐標變換關系為

(33)

則材料參數的分布函數變為

E(x′)=-a1x′

(34)

ρ(x′)=-a2x′

(35)

等效模型見圖3，其彈性模量為-a1/(2π)，密度為-a2/(2π)。

圖3　等效模型(ai<0，bi>0)Fig.3 Equivalent model when ai<0，bi>0

位移場結果為

(36)

3.2算例2

一維無限長非均勻介質由材料參數不同的4段組成，見圖4。其中，第1、4段分別向無限遠處延伸，且材料均勻，兩者性狀相同；第2段長L，材料非均勻，彈性模量與質量密度的分布函數分別滿足式(25)～式(27)；第3段長L，材料非均勻，彈性模量與質量密度的分布函數沿x軸方向線性遞減。

圖4　模型Fig.4 Model

由x=-∞傳來頻率為ω的高頻諧波，設在x=0處觀測到

u(0,t)=e-i(ωt+φ0)

(37)

則左段(x≤0)位移場為

(38)

參考算例1結果(式(28)、(32)、(36))知

(1)ai=0時第2～4段(x>0)位移場結果為

(39)

(2)當ai>0時第2段(0

(40)

則x=L處位移為

(41)

故第3段(L

(42)

則x=2L處的位移為

(43)

故第4段(x>2L)的位移場結果為

(44)

(3)當ai<0時第2段(0

(45)

取x=L處位移uL=u(L,t)，則第3段(L

(46)

取x=2L處位移u2L=u(2L,t)，則第4段(x>2L)的位移場結果為

(47)

4結論

基于方程與解答的等效方法給出均勻介質中柱面波問題與一維非均勻介質波動問題間等效轉化關系；利用該關系獲得材料參數及彈性模量服從線性分布的一維非均勻介質波動問題的算例解析解，結論如下：

(1)二維柱面波問題解答可與對應的一維波動問題解答相互等效。所得轉化關系本質是幾何形狀與材料參數間的等效關系。

(2)所得解析解為數值解法研究提供可供對比的精確結果；所得等效轉化關系顯示幾種不同類型問題間內在聯系。本文結果對非均勻介質波動問題的研究具有積極意義。

參 考 文 獻

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Analytical solutions to wave motion in a one-dimensional inhomogeneous medium based on an equivalent transformation relationship

YANGZai-lin,WANGYao,HEIBao-ping,LIZhi-dong

(College of Aerospace and Civil Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Abstract:Based on the idea of the equivalent wave motion equation and the equivalent displacement field solution, the equivalent transformation relationship was obtained between the wave in the 1D inhomogeneous medium and the cylindrical wave in the homogeneous medium. Each model can be transformed equivalently into the other. The solutions of these two problems are equivalent to each other. The nature of the equivalent transformation is the equivalent relationship between geometry and material parameters. According to the relationship, analytic solutions were obtained for two examples of the wave motion problems in the 1D inhomogeneous medium in this work.

Key words:inhomogeneous medium; wave motion; equivalent transformation

中圖分類號:O343.7

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.06.028

收稿日期：2014-09-09修改稿收到日期：2015-03-25

基金項目：國家科技支撐計劃課題(2015BAK17B06)；2015年地震行業科研專項經費項目(201508026-02)；黑龍江省自然科學基金(A201310)；黑龍江省博士后科研啟動金(LBH-Q13040)；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(HEUCF150203)

第一作者 楊在林 男，博士，教授，1971年5月生