扁拱的面內非線性穩定與突變分析

朱曉蕾， 孫敦本

(南京林業大學 土木工程學院，南京　210037)

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扁拱的面內非線性穩定與突變分析

朱曉蕾， 孫敦本

(南京林業大學 土木工程學院，南京210037)

摘要：通過位移、應變能突變分析扁拱結構受簡諧荷載作用特性。采用諧波平衡法由扁拱非線性振動方程獲得位移、頻率關系尖點突變模型，據位移突變判別式分析扁拱非線性響應；用系統能量原理及有限元軟件，借助突變理論導出結構失穩的應變能突變準則，并比較位移與應變能突變判別方式差異。結果表明，扁拱受簡諧荷載作用的位移或應變能會發生突變，跨度、矢高及荷載對突變均有影響；用位移、應變能突變判別式計算結果基本一致，且各有優勢及不足。

關鍵詞：扁拱；突變理論；穩定；位移突變；應變能突變

扁拱作為特殊形式拱結構多用于廠房、體育館、車站等。扁拱的動力響應與普通拱存在差異，因此研究扁拱結構的非線性穩定特性具有重要意義。早期計算拱結構所得為線性穩定解[1]，而對非線性動力行為研究[2-7]逐漸增多，但關于扁拱突跳失穩尤其用突變理論及能量判斷扁拱結構突變研究較少[8-9]。

分析扁拱動力響應時僅考慮非線性因素無法闡明失穩的物理意義，微分方程建立的物理規律中不允許有突變及發散，因此可結合突變理論解決非線性問題。突變是系統對外部條件光滑變化的突然響應，突變理論為研究躍遷、不連續及突然質變的普遍適用方法[10]。由動荷載引起的扁拱非線性振動較復雜，類似“漸硬”彈簧振動。本文將位移、總應變能作為參考量判斷結構是否發生突變，并通過有限元模擬驗證其可行性。

1位移突變

1.1扁拱非線性振動方程及突變模型

扁拱指矢高較小的拱，其軸線長度較跨度不長多少，據文獻[11]，若矢跨比滿足式(1)可視為扁拱，即

(1)

式中：h為矢高；l為跨度；A為橫截面積；E為彈性模量；H0為拱名義軸向力(四分點處軸力)，按經典理論計算即略去撓度對軸力影響，但需考慮拱的軸向壓縮。

圖1　扁拱結構示意圖Fig.1 Structure diagram of shallow arch

設圖1鉸支扁拱滿足假設，即平面彎曲，平截面假定，材料為線彈性，扁拱全長軸壓力為常量且等于水平推力(矢跨比滿足式(1)時，假設成立)。微段隔離體見圖2。

圖2　拱軸微段隔離體Fig.2 Micro section isolation body of arch axis

設扁拱作用荷載為

(2)

式中：F為荷載幅值；ω為荷載頻率；t為時間。

扁拱偏微分運動方程為

(3)

式中：I為慣性矩；c為阻尼；ρ為密度；y0=y0(x)為初始拱軸線坐標；y=y(x,t)為變形后拱軸線坐標；w=w(x,t)=y(x,t)-y0(x)為位移方程。

設初始拱軸線y0(x)=hsin(πx/l)，雙鉸拱邊界條件為

(4)

式中：“′”為對位移x求導。

基于Galerkin原理，滿足式(4)的拱在任意時刻位移模式為

(5)

將式(5)代入式(3)并整理得(“·”表示對時間t求導)

βT3(t)=fcos(ωt)

(6)

式中：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

扁拱的非線性振動可視為“漸硬”彈簧特性系統振動，方程中三次非線性項在響應中起主要作用[12]，可忽略二次非線性項影響，因此式(6)變為

(12)

式中：ω0為結構廣義自振頻率。

式(12)即為正弦型扁拱的非線性振動方程，也稱為Duffing方程。

作用荷載、拱軸線及位移模式均設為正弦形式sin(πx/l)，目的為推導非線性振動方程過程中消去常數項便于理論計算及盡量減小公式誤差。由于討論的扁拱矢跨比較小，不同類型拱軸線形狀無明顯差別，荷載、拱軸線及位移模式形式對結果影響較小，故該假設合理。

由于外荷載fcos(ωt)按簡諧運動規律變化，故式(12)的解可假設為

T(t)=Dcos(ωt+φ)

(13)

并略去三次諧波項可得

2ηωDsin(ωt+φ)=fcos(ωt)

(14)

(Acosφ-Bsinφ)cos(ωt)-

(Asinφ+Bcosφ)sin(ωt)=fcos(ωt)

(15)

使式(14)成立，則需滿足

(16)

將式(16)等式兩邊分別平方相加得

(17)

(18)

將式(17)等效為尖點突變模型平衡曲面標準形式z3+az+b=0，z含B2項且與α/β有關，推算可知各變量表達式為

(19)

(20)

(21)

平衡曲面反應位移最大值D與荷載頻率ω的關系，故扁拱突變位移判別式為ΔD=4a3+27b2，ΔD>0結構穩定，ΔD<0結構失穩，ΔD=0為突變臨界狀態。

1.2位移突變分析

設跨度30 m、矢高0.5 m的正弦形鉸支扁拱，拱軸材料為Q235的H型鋼(H800×300×14×26)，橫截面積0.026 74 m2，慣性矩0.002 92 m4，彈性模量206×109N/m2，密度7 850 kg/m3。施加形如式(2)且幅值為3 kN/m的簡諧荷載，據式(19)～式(21)，只要已知阻尼比及荷載頻率，即可通過ΔD判斷結構的穩定性。由式(8)可知廣義自振頻率ω0=27.17 s-1，計算該頻率附近的控制變量及位移判別式大小，結果見表1。由表1看出，ω=29 s-1時ΔD<0，說明扁拱在該頻率簡諧荷載作用下會失穩；ω小于或大于該頻率時ΔD<0，扁拱穩定；結構突變臨界點處于(28 s-1,29 s-1)及(29 s-1,30 s-1)兩區域。

表1　位移判別式判斷結果

分析ω在區間[20 s-1,36 s-1]時扁拱的突變情況與非線性響應特性。據式(19)～式(21)所得ω-D曲線見圖3，可見頻率與位移關系呈非線性，頻率逐漸增大時位移達到最大值時減小，直接從a點突跳至b點，a→b之間的曲線段實際上是不可達狀態；反之，若頻率逐漸減小，位移會發生由小到大突變，即c→d，a，c分別為扁拱兩失穩臨界點。

圖3　ω-D曲線Fig.3 ω-D curve

由于鋼結構的阻尼比為0.02，故在阻尼比不變條件下采用控制變量法改變扁拱跨度、矢高及荷載，該參數變化會引起ω0、β、f等改變從而導致判別式參數、大小改變，影響扁拱突變，見圖4～圖6。由3圖看出，扁拱的非線性響應隨跨度、荷載增大而增強，隨矢高增大而減弱，矢跨比越小在簡諧荷載作用下非線性特征越明顯，越易發生突變致結構失穩。

圖4　跨度對突變影響Fig.4 The influence of span to catastrophe

圖5　矢高對突變影響Fig.5 The influence of rise to catastrophe

圖6　荷載對突變影響Fig.6 The influence of load to catastrophe

2應變能突變

2.1應變能判別式建立

結構位移突變時其能量必會發生突變。若將扁拱視為系統，可據其應變能變化考察扁拱的穩定性。

若直接建立應變能Es與頻率參數υ關系的4次擬合多項式Es=a3υ4/4+a2υ3/3+a1υ2/2+a0υ(a3、a2、a1、a0為多項式系數)，再正則化為尖點突變模型勢函數形式Es=x4/4+ax2/2+bx+c(x為υ的函數，為狀態變量，a、b、c為隨υ變化的控制變量)，則x即頻率參數的突變才會導致應變能突變。而計算過程中頻率參數連續變化，表示系統勢函數大小的應變能不可能發生突變。突變模型的物理含義為控制變量連續變化時引起狀態變量突變，以應變能作為系統勢函數與實際物理含義相悖[13]，故應將頻率參數作為控制變量，應變能作為狀態變量，如位移突變判斷中，以連續變化頻率ω的函數a、b作為控制變量，以會發生突變的位移D的函數z作為狀態變量。

因此，考慮采用3次多項式擬合系統的平衡曲面，進行移項積分獲得系統的勢函數，進而對其正則化，再據突變特征值判定系統的穩定性。通過Abaqus進行數值模擬獲得系統在不同頻率下的應變能Es，通過最小二乘法準則進行擬合，使其化為3次多項式形式，以應變能為自變量、頻率參數為因變量(設頻率參數為υ，且υ=ω-20)。設該擬合多項式為

υ=a3Es3+a2Es2+a1Es+a0

(22)

式中：ai為多項式擬合系數。

移項并積分得

(23)

式中：C為常數項。

取系統勢函數為

(24)

4次多項式(24)正則化為尖點突變模型的標準形式過程[14]。令Es=p-q，其中q=a2/3a3，代入式(24)得

V(Es)=b4p4+b2p2+b1p+b0

(25)

b1=-a3q3+a2q2-a1q+(a0-υ)

考慮b4>0情況，令

(26)

將式(26)代入式(25)，化為尖點突變模型勢函數的正則形式為

(27)

將式(27)對z′求導并令導數等于零，得平衡曲面方程z′3+a′z′+b′=0，且應變能突變判別式為ΔE=4a′3+27b′2，判別方式同位移判別式。

2.2應變能突變分析

以上節算例為例分析、比較兩種判別方式差別。由有限元軟件Abaqus計算可知該扁拱的一階自振頻率ω1=26.98 s-1，與式(8)所得廣義自振頻率相差不大。使簡諧荷載頻率ω從21 s-1開始遞增，即頻率參數υ從1開始遞增，通過數值模擬可得不同υ對應的應變能。若是線性振動則υ=υ1≈7(ω=ω1≈27 s-1)系統發生共振時應變能最大，但非線性振動共振會發生偏移，由于扁拱呈“漸硬”彈簧特性，失穩處在υ>υ1位置的應變能會突然增大。υ-Es曲線關系見圖7。由圖7看出，從第7組數據開始進行3次多項式擬合。

圖7　應變能的變化趨勢Fig.7 The change trend of strain energy

前8及13組數據擬合曲線見圖8。可見對擬合曲線進行積分獲得以4次多項式表達的勢函數，再正則化為式(27)形式，由判別式判斷結構是否失穩。結果見表2。由表2看出，突變位置在頻率為29 s-1附近區域，即頻率逐漸增大或減小、判別式ΔE由正到負穿越分叉集時能量突變。因尖點突變控制變量滿足條件，從而導致整個系統產生突變，即狀態變量(應變能)發生突跳，扁拱從失穩前某平衡位置跳躍到失穩后另一平衡位置。

圖8　前8及13組數據3次擬合曲線Fig.8 Three fitting curves of the first 8 and 13 dates

ωa'b'ΔE狀態2610.584.600>0穩定279.1583.478>0穩定289.454-5.747>0穩定29-6.154-5.051<0失穩30-6.317-16.65>0穩定

3兩種判別方式比較及可行性

比較表1、表2結果知，扁拱失穩的簡諧荷載頻率均為29 s-1，即采用位移、應變能判別式判斷結果幾乎相同。應變能大小可由有限元分析獲得，因此以應變能為判據無需獲知扁拱結構的非線性振動方程，但擬合多項式及正則化過程較繁瑣，若只需確定結構在某頻率下是否突變，用應變能突變判斷方式較簡便；若了解結構非線性振動特性及突變范圍，可據位移與頻率的突變關系。

圖9　理論計算與數值模擬的ω-D曲線Fig.9 ω-D curves of theoretical calculation and numerical simulation

由Abaqus計算[20 s-1,36 s-1]區間內各頻率位移值，所得ω-D曲線見圖9。由圖9看出，有限元數值模擬雖無法獲得位移突變結論，但頻率在29 s-1附近時位移有顯著增大或減小，與理論分析結果整體趨勢一致。位移在荷載頻率大于一階固有頻率(廣義自振頻率)時達最大值，說明位移突變的判斷方式具有可行性；應變能及位移突變的判斷結果相似，亦具有可行性。數值模擬可用于分析一般形式荷載、拱軸線及位移模式的扁拱。

4結論

(1)利用突變理論分析扁拱受簡諧荷載作用的非線性穩定與突變，分別由位移、應變能與荷載頻率尖點突變模型分析比較。在某些條件下荷載頻率大于(廣義)自振頻率時扁拱會發生突變。

(2)扁拱的動力響應為非線性的，且程度隨跨度、荷載增大及矢高減小而加強。非線性程度較明顯、簡諧荷載頻率達到一定值時位移或應變能突變，會對結構穩定產生較大影響，可能因突跳發生破壞。

(3)可利用突變理論分析扁拱的非線性響應，解釋面內失穩的突變現象。位移、應變能突變均可判斷扁拱是否失穩，兩種方法各有優勢及不足，但均具有可行性，可為實際工程提供理論參考。

參 考 文 獻

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Nonlinear in-plane stability and catastrophe analysis of shallow arches

ZHUXiao-lei,SUNDun-ben

(School of Civil Engineering, Nanjing Forestry University, Nanjing 210037, China)

Abstract:The catastrophe properties of shallow arches under harmonic load were analyzed by adopting the catastrophe criteria of displacement and strain energy respectively. A cusp catastrophe model that expresses the relationship between displacement and frequency was obtained from the nonlinear vibration equation by the harmonic balance method and the nonlinear responses of shallow arches were analyzed according to the criterion of displacement catastrophe. The strain energy catastrophe guideline of instability was obtained according to catastrophe theory by using the system energy principle and finite element software. The differences between the results by the two catastrophe criteria were discussed. The results show that the displacement or strain energy of shallow arches both can have a sudden change. Span, rise and load have impact on catastrophe. The results are almost the same, calculated according to either of the two catastrophe criteria, each has advantages and disadvantages.

Key words:shallow arch; catastrophe theory; stability; displacement catastrophe; strain energy catastrophe

中圖分類號:O322

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.06.008

通信作者孫敦本 男，高級工程師，1964年9月生

收稿日期：2014-10-28修改稿收到日期：2015-04-03

基金項目：江蘇高校優勢學科建設工程資助項目

第一作者 朱曉蕾 女，碩士生，1990年8月生