機電集成壓電諧波電機傳動系統非線性自由振動分析

李　沖， 許立忠， 高立超

(燕山大學 機械工程學院，河北 秦皇島　066004)

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機電集成壓電諧波電機傳動系統非線性自由振動分析

李沖， 許立忠， 高立超

(燕山大學 機械工程學院，河北 秦皇島066004)

摘要：設計集壓電驅動、諧波傳動及活齒傳動為一體的機電集成壓電諧波電機，并分析其工作機理。借鑒行星齒輪傳動理論，建立傳動系統動力學模型。利用Linz Ted-Poincaré法推導傳動系統非線性頻率特性方程及位移響應方程，分析傳動系統的非線性頻率變化規律及時域響應特點；通過ANSYS有限元軟件對頻率進行驗證。結果表明，傳動系統非線性由嚙合齒數變化引起，嚙合齒數越少系統非線性越顯著；系統位移響應受非線性影響最明顯、微弱的分別為波發生器x及u向；利用有限元仿真驗證動力學模型的正確性。

關鍵詞：壓電諧波電機；傳動系統；非線性；自由振動；Linz Ted-Poincaré法

近年來，以形狀記憶合金、電致伸縮材料、磁致伸縮材料及壓電材料主導的智能材料獲得迅速發展，而其中的壓電材料成為研究焦點[1]。適應各場合各類微型壓電驅動裝置層出不窮，Toyama[2]將設計的球形壓電超聲電機作為相機作動器用于管狀探測機器人；Jeong等[3]設計、制造出用于微型移動設備的三足式薄狀旋轉壓電超聲電機；趙淳生[4]研發的壓電超聲電機首次用于“嫦娥三號”探測器，實現月球完美著陸。

傳統壓電電機主要靠定轉子間摩擦傳遞轉矩，存在接觸面磨損嚴重、壽命短等缺點[5]。非接觸式壓電電機雖避免摩擦，但承載能力較低[6]。壓電諧波電機能克服此缺陷，Oliver[7]設計出利用諧波齒輪及壓電堆傳動、堵轉轉矩為0.75 Nm的諧波壓電電機；辛洪兵等[8]利用位移放大機構設計出壓電諧波電機。以上電機均采用諧波齒輪傳動方式，因而對柔輪材料的抗疲勞強度、加工等要求較高，且該齒輪存在傳動比下限值較高等缺陷[9]。基于此，本文提出既能降低摩擦損耗、增加電機壽命、又能增大電機輸出力矩的機電集成壓電諧波電機[10]。該電機集壓電驅動、活齒傳動及諧波傳動于一體，通過活齒嚙合取代定、轉子間摩擦力驅動轉子。

活齒傳動系統非線性動力學對電機工作性能產生重要影響，目前對活齒系統動力學研究主要集中于擺動活齒建模、固有頻率分析及參數振動分析等[11-13]，而對活齒系統非線性振動研究較少。本文對機電集成壓電諧波電機傳動系統進行非線性動力學建模，對非線性與線性頻率關系及位移響應方程進行推導。

1機電集成壓電諧波電機工作原理

機電集成壓電諧波電機見圖1，電機由驅動、傳動系統構成，其中驅動系統包括2個壓電堆1、2個彈性體2及擺動體3等，傳動系統包括波發生器7、中心輪5、活齒架6、30個活齒4等。電機利用位置互成90°方向的兩壓電堆作驅動源。給兩方向壓電堆分別接入峰峰值為150 V相位差π/2且帶正偏置的余弦信號后，兩壓電堆產生具有相位差的往復伸縮變形，通過彈性體及擺動體位移的放大作用，波發生器7邊緣處形成連續諧波，并產生徑向推力推動活齒沿中心輪齒廓滑動，帶動活齒架轉動，進而使與活齒架固連轉軸旋轉，輸出轉矩。

1.壓電堆　2. 彈性體　3. 擺動體　4. 活齒　5. 中心輪　6. 活齒架　7. 波發生器　8. 彈簧圖1　機電集成壓電諧波電機圖Fig.1 An electromechanical integrated harmonic piezo-motor

2傳動系統動力學模型

傳動系統動力學模型見圖2，其中圖2(a)為活齒與各構件相對位移，圖2(b)為系統各構件受力。OXY為定坐標系，oxy為活齒架坐標系，oixiyi為各活齒坐標系(i=1,2,…,Z)，角標s,c,r,p分別代表波發生器、中心輪、活齒架及活齒。xj,yj,uj分別為x,y向線位移及圓周向線位移(j=s,c,r,p1,…,pZ)。

圖2　傳動系統動力學模型Fig.2 Dynamic model of drive system

由圖2(a)知，系統各主構件(波發生器、中心輪、活齒架)相對活齒位移沿嚙合線方向投影為

式中：φ1i=φi+φ3i，φθi=φi-θi；θi為各構件因系統振動產生的角位移；φi為第i個活齒中心及活齒架中心連線與固定坐標系X正向夾角；φ3i為波發生器中心與第i個活齒中心連線與第i活齒中心與活齒架中心連線夾角。

活齒系統動力學方程為

(2)

式中：mj，Ij為各構件質量及等效質量，kg；kj，kjz，kjt分別為活齒與各構件嚙合剛度、波發生器徑向支撐剛度及切向扭轉剛度，N/m；rj為各構件理論半徑，m；Ts為波發生器轉矩，N·m。

3傳動系統非線性動力學方程

機電集成壓電諧波電機系統輸出轉矩T隨活齒架轉角θ變化見圖3。每經過π/435則T出現一次突變。圖3(b)為一個周期τ=π/435內T隨θ變化值，由于T的表達式較復雜且為分段形式，故用多項式擬合，即

T1=τ1θ2+τ2θ+τ3, (0≤θ<π/435)

(3)

式中：τ1～τ3為多項式擬合系數。

為將全部周期轉矩T表達成一個方程，對式(3)進行傅里葉展開為

(4)

圖3　輸出轉矩T隨活齒架轉角θ變化Fig.3 Output torque T changes with corner of teeth carrier θ

設活齒架間相對旋轉角度為δθ，輸出轉矩增量為δTr，則轉矩Tr在θ=θ0處展開成θ的泰勒級數為

Tr=Tr0+δTr=T(θ0)+T′(θ0)δθ+

(5)

活齒架輸出轉矩增量為

(6)

活齒與活齒架間嚙合力Frj及嚙合力Frj與輸出轉矩T的關系為

(7)

式中：Sj為固定齒理論齒形向徑。

活齒與活齒架間非線性嚙合剛度為

(8)

(9)

將式(8)、(9)代入式(2)，得矩陣形式的傳動系統非線性動力學方程為

(10)

(11)

將式(11)正則化，得非線性自由振動正則方程為

(12)

利用Linz Ted-Poincaré法求解式(12)，設

ΔqN=qN0+εqN1+ε2qN2+…

(13)

(14)

u=u0+εu1+ε2u2+…

(15)

將式(13)、(14)代入式(12)，令ε同次冪項相等，得近似微分方程為

(16)

初始條件為

(17)

解零次方程，得滿足初始條件的解為

(18)

系統正則振型矩陣為AN，由Δq= ANΔqN可得原始坐標的ui為

(19)

將式(19)代入式(16)可得一次近似方程組為

(20)

將式(18)代入式(20)，為消除久期項，令cos(ωit)的系數為0，則有

(21)

將式(21)代入式(20)，得一次近似方程的解為

(22)

將式(19)代入式(16)，得二次近似方程組為

(23)

將式(18)、(21)、 (22)代入式(23)，消除久期項得

(24)

將式(24)代入式(23)，得二次非線性近似解為

(25)

將式(18)、(22)、(25)代入式(13)可得正則坐標系下活齒系統時域位移響應，代入q=ANqN可得常坐標下位移響應。將式(21)、(24)、(25)代入式(14)可得系統非線性自由振動頻率與派生系統固有頻率關系。

4結果分析

4.1頻率特性分析

取活齒數30，中心輪波齒數29，得系統傳動比為30。將表1的傳動系統參數代入非線性與線性頻率關系式得傳動系統非線性頻率見表2，編號按軟件計算結果順序而非從小到大排列。表2中ω0i及ωi分別為線性與非線性固有頻率；Δωi為非線性與線性頻率差的絕對值；(Δωi/ω0i×100)為頻率變化率。由于傳動中活齒由15齒、16齒交替嚙合，故表2為嚙合齒數不同時的頻率值。改變小參數ε、波發生器偏移量a、活齒半徑rp及波發生器半徑rs，得前兩階非線性與線性固有頻率變化量隨參數變化曲線，見圖4。由表2、圖4可知，①非線性存在使軟件計算順序所得到一、二階非線性固有頻率大于線性系統固有頻率，三階非線性固有頻率小于線性系統固有頻率；隨階次增加非線性與線性頻率間差值增大，非線性現象增強。16齒嚙合時非線性頻率與線性頻率間差值大于15齒的頻率差值，即嚙合齒數越少系統存在的非線性越強。②隨ε增加一、二階非線性與線性頻率變化量增大，系統非線性現象增強。③隨波發生器偏移量a增大非線性與線性頻率變化量增大，系統非線性增強。因a增加使活齒與各構件間嚙合力變大， 嚙合剛度增大， 使系統非線性增強。④各階非線性與線性頻率變化量隨rp及rs變化規律相同。增加rp或rs，非線性與線性頻率變化量減小?？梢娨弧⒍A非線性強弱與rp或rs變化成正比，此因活齒與各構件間嚙合剛度隨rp或rs增加而減小。

表1　傳動系統參數

表2　傳動系統非線性頻率

圖4　非線性頻率變化量隨參數變化Fig.4 Nonlinear frequency variation changes with parameters

4.2位移響應分析

將傳動系統參數代入q=ANqN所得非線性自由振動位移響應變化量，見圖5。圖5中選一個嚙合活齒進行分析，而動力學建模時僅考慮活齒平面運動忽略轉動，只求得Δxp1及Δyp1的響應；位移響應變化量指總響應減去零次響應所得。由圖5看出，①波發生器非線性自由振動位移響應變化量表現為Δxs及Δys值較大，轉動位移變化量Δus較??；中心輪三方向位移變化量Δxc、Δyc、Δuc均較??；活齒架Δur大于Δxr及Δyr；所選1號嚙合活齒Δxp1及Δyp1均較大，且Δyp1>Δxp1。②各位移變化量中波發生器及活齒架位移變化量隨時間變化較穩定，振幅變化周期性較強；中心輪、活齒位移變化量隨時間變化周期性較紊亂，振幅變化規律性不強，易使傳動系統出現隨機振動，致傳動系統運行不穩定。③系統位移變化量最大幅值出現在Δxs中，最小幅值出現在Δus中。原因為波發生器為活齒傳動系統動力輸入構件，且動力來自波發生器在兩相互垂直方向擺動形成的諧波，非波發生器轉動形成的諧波，故x,y方向力較大，u方向轉矩較小。

圖5　非線性自由振動位移響應變化量Fig.5 The displacement variation of nonlinear free vibration

5頻率仿真驗證

圖6　傳動系統有限元模型(mm)Fig.6 FEM model of drive system(mm)

用ANSYS有限元軟件對活齒傳動系統固有頻率進行仿真計算。系統有限元模型見圖6。建模時使活齒參與嚙合個數調整為16齒，網格尺寸1 mm，對中心輪施加固定約束。參與嚙合齒數不同時各構件所受嚙合力會變化，活齒系統始終在15、16齒間等時交替變化，固有頻率也會等時交替變化。本文選16齒嚙合瞬時求解與分析。將部分模態計算結果與表2中16齒時非線性頻率值對比，所得理論頻率與仿真頻率對比值見表3，有限元振型見圖7。由表3、圖7看出，表2中16齒嚙合的理論計算頻率在有限元仿真結果中均能找到對應值，且3階頻率中理論值與仿真值間最大誤差為3.92%，從而驗證本文動力學模型及動力學方程求解的正確性。由圖7知，固有頻率為57 724 Hz時對應的主振型為中心輪徑向癟曲振動；頻率為40 463 Hz時主振型為波發生器與活齒架彎曲振動；頻率為30 274 Hz時主振型為波發生器扭轉振動。

圖7　有限元仿真振型圖(mm)Fig.7 FEM vibration mode(mm)

ω1ω2ω3理論值/Hz555493966430427仿真值/Hz577244046330274誤差/%3.922.010.50

6結論

通過所建機電集成壓電諧波電機傳動系統動力學模型及系統非線性動力學方程，采用Linz Ted-Poincaré法對非線性自由振動固有頻率、位移響應進行求解，結論如下：

(1) 傳動系統非線性根源由嚙合齒數變化引起，嚙合齒數越少系統非線性越顯著；小參數ε及波發生器偏移量a對系統非線性頻率影響較大；系統位移響應受非線性影響最明顯、最微弱的分別為波發生器Δxs及Δus向。

(2) 由ANSYS有限元仿真驗證本文固有頻率求解的正確性。研究結果可為機電集成壓電諧波電機參數設計及提高性能奠定理論基礎。

參 考 文 獻

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Nonlinear free vibration of driving system of an electromechanical integrated harmonic piezoelectric motor

LIChong,XULi-zhong,GAOLi-chao

(School of Mechanical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China)

Abstract:An electromechanical integrated harmonic piezoelectric motor which integrates piezoelectric driving, harmonic driving and movable tooth driving was designed and the working principle of the motor was discussed. Referencing the theory of planetary gear transmission, a dynamic model for the driving system was set up. Utilizing Linz Ted-Poincaré method, the equations of frequency characteristic and displacement response were deduced. The frequency variation and the characteristic of time response were analyzed. The ANSYS finite element software was applied to verify the frequencies provided. The results show, the nonlinearity of the driving system is caused by the changing of meshing teeth number during running conditions, and the fewer the meshing teeth number, the more obvious the nonlinear phenomenon of the driving system. The displacement response in the x direction of harmonic generator is the most affected by nonlinear phenomenon and that in the u direction is the least affected. A finite element simulation verifies the correctness of the dynamic model.

Key words:harmonic piezoelectric motor; driving system; nonlinear; free vibration; Linz Ted-Poincaré method

中圖分類號:TH113.1

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.06.002

通信作者許立忠 男，博士，教授，博士生導師，1962年1月生

收稿日期：2015-01-23修改稿收到日期：2015-05-22

基金項目：國家自然科學基金項目(51275441);河北省研究生創新資助項目(00302-6370001)

第一作者 李沖 男，博士生，1988年6月生