對于初中生數學解題后反思品質的研究

朱進紅

[摘 要] 數學解題是數學知識應用的重要環節，數學解題后即時進行反思可以提升學生的數學思維水平. 反思品質是衡量學生反思能力與效益的重要指標.研究表明，反思品質與學生原有的數學認知結構、數學思維能力（建模能力）以及數學概括能力有關. 提升學生的反思品質，可以從這三個維度進行：注意時效性，加強引導，注重方法的運用.

[關鍵詞] 初中數學；數學解題；反思品質

初中數學教學中最為常規的知識應用就是數學解題，作為當前衡量教學質量的最直接的手段，學生的解題能力得到了所有教師的關注，提升學生的解題能力也成為初中數學教學的重中之重. 通常情況下，教師關注得更多的是自身的教學，即都會思考如何通過改善自身的教學來實現學生解題能力的提高，這一思路顯然是正確的；但與此同時也要看到，這并非唯一的思路，甚至不是最重要的思路. 要真正提高學生的解題能力，還得從學生自身入手. 美國著名的教育學者波斯納曾經給教師的成長提出過一個途徑，即實踐加反思，就可以實現專業成長. 事實上，在筆者看來，對于學生而言，解題能力的提升也可以遵循這一路徑. 也就是說，如果把學生的解題看作一種實踐的話，那學生的反思對于提升學生的解題能力就十分重要了. 也因為這個原因，培養學生解題后的反思品質就成為一個重要的研究對象.

初中數學解題后反思品質之簡述

反思是發生在學生解題之后的，此時學生已經經過了一個綜合運用數學知識去分析并解決數學問題的過程. 一般情況下，解題后的反思有兩個階段：一是解題后的即時反思，此時學生雖然說已經完成了解題過程，但是還沒有經過他人的提醒或者是點撥，完全是基于原有的解題思路進行深入的思考. 此時思考的重點一般是原有解題過程是否存在不足的地方，是否有著其他的解題方法等；另一種情況是教師講解后的反思，這個時候學生的反思更多的帶有他人（主要是教師）的解題觀點，此反思過程中學生的思路與教師的講授思路并進，高效的反思常常能夠讓學生在兩種思路的碰撞中有所收獲. 當然，如果不是教師講解而是小組合作，則學生的反思心理過程與此也是類似的.

這里可以先舉一個簡單的例子，在教授方程的時候給學生展示了這樣的一個等式：（x+y+5）（x+y-4）=0，求（x+y）的值. 在初中學生第一次遇此問題的時候，相當一部分學生往往會將這一等式轉換成x+y+5=0與x+y-4=0組成的方程組，然后通過二元一次方程組的加減消元法去分別求出x和y的值，然后再進一步求出x+y的值. 在學生順利得出結果之后，筆者并沒有急著去給出更好的方法，而是讓學生就著原有的解題思路進行反思. 也許是學生看出了題目較簡單但教師還給出這么長時間思考的“怪異”，他們開始反思自己的解題過程. 其中，有部分學生認為自己的解題過程完美而放棄了繼續思考；也有學生有一種深究的心理，最后他們發現原來本題還有更好的解法，那就是將x+y視作一個整體，可以直接求出最終的結果為-5或者4.

顯然，在此過程中可以看得出學生的反思品質有所不同，而作為數學教學語境之下的反思品質，實際上就是根據學生的反思結果來得到反饋與驗證的. 從這個角度講，初中學生在數學解題之后的反思品質一般與這樣的幾個因素有關：一個是學生原有的認知結構. 認知結構不同于知識結構，后者是客觀的，而前者是主觀的. 認知結構能夠反映一個學生的知識建構情況，而知識建構的過程與運用知識解題的過程往往有相通的地方，因此認知結構常常直接影響著解題后的反思品質. 二是學生的數學思維. 數學解題歸根到底是數學思維的產物，數學思維的水平高低往往對反思品質也有著直接的影響. 其中發散性思維對于反思品質的影響最為直接. 三是學生的概括能力. 概括能力是反思品質的關鍵因素，基于分析去進行概括，也是學生經過反思之后有沒有質的提高的關鍵所在.

下面分別就這幾個影響因素，談談如何提高學生解題后的反思品質.

提升解題后反思品質的有效途徑

一個基本的邏輯關系是，在解題之后即時引導學生進行反思，是最為有效的提升學生反思品質的關鍵. 通常的數學新授課上需要有這樣的過程，而階段性考試或者期末、期終考試之后，也應當在第一時間進行試題的講評，以充分利用學生記憶中的解題思路，進而培養學生的反思品質.

接著上面一點的分析，首先來談談如何基于認知結構提升學生的反思品質. 同樣來看一個例子，有人曾經設計過這樣一道題目：已知x2+x=1，求x3+2x2+999的值. 筆者在將本題提供給學生之后，學生的第一反應是先根據x2+x=1求出x的值，然后將x的值代入x3+2x2+999中求結果. 筆者沒有阻止學生的這一思維，而是給時間讓他們去進行嘗試. 結果并不出乎意料，很多學生發現兩步求解時都有計算上的困難. 由于是習題課，因此學生相對還是比較自由的，在有學生抬頭看到筆者似笑非笑的時候，他們心中有所悟，于是低頭重新進行思考；而有的學生則鍥而不舍，終于花大力氣求出了最后的結果；當然，也有的學生害怕計算困難，同時又想不出新的辦法，坐在那兒束手無策. 思考這樣的過程會發現，其實不同類型的學生背后都有著不同的認知結構. 第一類學生的認知結構豐富，因而可以迅速、順利地實現不同結構之間的轉換，在他們的眼中，解方程時的未知數并不局限于某個具體的未知數，也有可能是x2+x這樣的整體；相比較而言，第二類學生的認知結構就比較單一，而第三類學生不僅認知結構單一，思維方式和解題態度還存在問題. 因此，教師要提升學生的反思品質，首先就是要豐富學生的認知結構，尤其是在新授課的教學中，要特別強調知識的廣泛性與多元性，要通過多樣的例題來拓展學生的解題視角.

就數學思維這一因素而言，基于其來提高學生的反思品質，關鍵還在于數學思想的顯性化教學與數學模型的建立. 比如上面所舉的例子當中，實際上關鍵在于將x3+2x2+999轉換成x3+x2+x2+x-x+999，進而轉換成x3+x2-x+x2+x +999，于是就可以得到x[x2+x-1]+（x2+x）+999，轉換至此，答案就基本上出來了. 這樣的轉換需要的是什么？在引導學生進行反思的過程，學生會自然將這一思路與原有的思路進行比較，學生會發現如果大腦中的未知數只有x這一個形象，那解題時自然就會想著去解x；而如果大腦中的未知數的形象是多樣的，那就有可能將x2+x視作一個整體. 問題在于，這樣的認識如何形成？如果由教師來講授，效果不會好，因為學生沒有經過內化的心路歷程. 因此，反思是最好的方法，教師在其中應當引導學生去發現：原來所建立的關于方程的認識中的未知數可有著多重表現！同樣，這也是一個數學建模的過程，只有建立了廣泛且有效的未知數模型之后，學生在遇到類似問題的時候，才會更順利地實現解題.

至于數學概括能力. 有專家指出，概括能力是最能夠反映學生學習能力的一個因素，反思的過程與概括的過程幾乎是同步的，只有在反思的過程中不斷地概括，反思品質才會真正得到提高. 比如說，在中考數學中復習二次函數，自然就會提到二元一次方程組，通常情況下教師都會主動地給學生辨析兩者之間的關系；而在一次復習過程中，筆者做了這樣的一個嘗試：分別給出二次函數和二元一次方程組的例題，讓學生分別去求解. 這兩道題目不需要復雜，關鍵在于讓大多數學生在解題過程中能夠復習到兩者的基本知識. 在解完之后，筆者讓學生對兩題進行對比，然后反思如何有效地分辨這兩種類型的題目，這是一段反思的過程. 反思的具體方法就是比較，比較是初中學生最常見的思維方法，也正是在比較的過程中，學生概括出了二次函數與二元一次方程的異同點，從而很好地將兩個知識點聯系在一起，這對于鞏固學生的認知結構又起到了好處，也就是說從幾個角度提升了反思的品質.

解題后反思品質提升的三點注意

提升解題后的思維品質，作為類似于專業成長的過程，其對學生的數學解題能力的提升意義不言而喻. 而根據筆者的研究發現，要提升學生的反思品質，還需要注意以下三個方面：

一是要趁熱打鐵. 解題結束之后是學生的思維最為活躍的時期，也是學生解題思路最為清晰的時期，利用這個時間引導學生積極反思而不是急著做下一道題目，可以很好地在學生熱絡思維的基礎上實現反思.

二是要注意反思方法的運用. 事實證明，很多初中學生不知道如何有效地進行反思，很多時候給出思路，他們也一無所獲，關鍵原因在于他們缺少反思的具體方法. 像上面第二點給出的比較的方法，就是很好的反思途徑. 如果教師能夠同時提供可比較的試題，以讓學生在解題過程中發現兩者似乎有相似之處，然后通過反思再去自主發現相似之處，進而尋找出不同之處，那對于提升學生的數學解題能力來說，極為有益.

三是教師注意引導. 反思固然是學生自己的事情，但是學生畢竟是學生，他們的思維能力有時還不是很強，這個時候就需要教師去引導. 反思過程中的引導只要做到不越俎代皰，就能夠保證學生自主性的發揮，就能夠提升學生的反思品質. 反思品質說白了就是學生的反思能力，只不過這種能力的提升與時間之比必須能夠跟得上數學教學的節奏，如是，則認為反思品質為佳.

初中數學是培養思維的學科，反思品質是衡量學生數學思維的重要維度，在解題之后培養學生的思維品質，可謂是抓住了數學教學的要害，值得堅持.