函數與方程的思想方法在解題中的應用

周金華

【摘要】 函數與方程的思想是中學數學的基本思想，也是歷年高考的重點。筆者在本文中就函數與方程的思想方法在解題中的應用展開了一些論述。

【關鍵詞】 函數 方程 思想方法 解題 應用

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2016）03-079-01

函數的思想，是用運動和變化的觀點、集合與對應的思想，去分析和研究數學問題中的數量關系，建立函數關系或構造函數，再利用函數的圖像和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決。函數思想的精髓就是構造函數。

方程的思想，是分析數學問題中變量間的等量關系，從而建立方程或方程組，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決。

方程的思想與函數的思想密切相關，函數與方程的思想方法，幾乎滲透到中學數學的各個領域，在解題中有著廣泛的運用。對于函數y=f（x），當y=0時，就轉化為方程f（x）=0，也可以把函數式y=f（x）看做二元方程y-f（x）=0，函數與方程這種相互轉化的關系十分重要。

函數與表達式也可以相互轉化，對于函數y=f（x），當y>0時，就轉化為不等式f（x）>0，借助與函數的圖像與性質可以解決不等式的有關問題，而研究函數的性質，也離不開解不等式。

數列的通項或前n項和時自變量為自然數的函數，用函數觀點去處理數列問題也是十分重要。

函數f（x）=（a+bx）n（n∈N*）與二項式定理密切相關，利用這個函數，用賦值法和比較系數法可以解決很多有關二項式定理的問題。

縱觀中學數學，可謂是以函數為中心，以函數為綱，“綱舉目張”，抓住了函數這個“綱”就帶動起了中學數學的“目”。即使對函數極限、導數的研究，也完全是以函數為對象、為中心的。熟練掌握基本初等函數的圖像和性質，是應用函數與方程思想解題的基礎。善于根據題意構造、抽象出函數關系式是用函數思想解題的關鍵。

經典例題：

一、函數思想

1. 構造函數，運用函數的性質

點評：本解的巧妙之處是“反客為主”，求x反而以a為主變元對x進行討論，這才是真正切中要害。若以x為主元對a進行討論，則問題的解決就繁就難多了。

3.選取變元，確定函數關系（例略）

4. 用函數的思想方法解數列題（例略）

二、方程的思想

方程與函數密切相關，在解題中，方程的思想占有重要的地位，也是近年來高考所重點考查的數學思想方法之一。

1. 解方程或分析方程的解

例5.已知實數a，b，c成等差數列，a+1，b+1，c+4成等比數列，且a+b+c=15，求a，b，c.

分析：利用數列的有關公式，列出方程組求解。

由1、2兩式，解得b=5，將c=10-a帶入③式，整理得a2-13a+22=0，解得a=2或a=11.

故a=2，b=5，c=8或a=11，b=5，c=-11.經驗算，上述兩組數符合題意。

點評：本題的列方程組和求解的過程，體現出的就是方程的思想。

2. 通過換元構成新的方程（例略）

三、函數與方程相互轉化的思想

解題時，不能局限于函數思想或方程思想，而應該根據實際情況把握兩者之間的相互關系，使其能相互轉化，以達到快速解題之目的。