可視化表征在工程問題中的應用

王寬明

一、 問題提出

美國數學教師協會在“學校數學的原則與標準”中提到，使用表征來模式化及詮釋物理、社會或數學現象，可以有效增進學生對學習內容的理解。表征可以幫助學生理解問題、呈現解題方法及形成思路，它有助于“與別人溝通想法，或幫助學生重組相關概念間的關系連結，并應用數學解決客觀世界的現實問題”[1]。在教學實踐中，教師運用表征來幫助學生理解數學概念，學生通過表征來傳達其所內化的數學概念，而且教師也可以“從學生的表征來檢查其數學理解的程度”[2]。

“問題解決”能力是數學學科的關鍵能力，從“問題解決”的層面來看，形成表征是解題的初始階段，在表征過程中可形成解題的線索。尤其外在表征更是解題的重要輔助；如果解題者對問題所形成的表征不正確或不恰當，將會影響其找到正確解題的思路與方法，故問題表征對解題成敗有關鍵性的影響。Lesh提出與數學學習有關的五種表征，即“實物、教具模型、圖形、語言與符號，其中前三個表征較為具體，后二個表征較為抽象”[3]。圖形表征不但能幫助學生記憶知識，還能強化他們對內容的理解。“當教師幫助學生以圖形表征方式呈現新知識時，學生能深入思考并記住相關知識，學習成就會提高。”[4]這里所謂的圖像表征其實是一種可視化表征的方法，當個體面臨解決數學問題時，會在腦海中或在紙上呈現與問題有關的圖像，以幫助個體進行解題思路的可視化表征。

從教學實踐來看，傳統的教學往往要學生熟記公式，忽視公式的理解是否超過學生的認知，未能善用可視化的方法幫助學生理解問題。恰當的可視化表征能幫助學生理解數學問題，可避免抽象的符號運算帶來的思維困惑。而對問題采用可視化表征，是減弱采用的邏輯推理的抽象符號表征的一種有效手段。基于此，本文以可視化表征在工程問題中的應用為例，以期使一線教師充分認識到使用可視化表征在發展學生解決問題能力上的優勢，進而提高教學質量。

二、 “工程問題”的可視化表征

本文根據小學工程問題條件的呈現方式，將工程問題分為實—實對比、虛—實對比、虛—虛對比三類，其中“實”是指具體的量，“虛”是指相對的數值，通常情況表現為一種比例關系。Van Hiele 認為，利用可視化的表征方法有降低思考層次的效果。[5]研究運用可視化表征，通過不斷對比兩個量之間的關系來幫助學生理解問題，提高問題解決能力。

1.實—實對比

（1）工作量為整數

傳統解法：直接教21÷（1-）=33的算則，或者利用比例求解，這對于學生而言，只是記憶算則而已，因為此算則內含當量除的觀念，對學生來說似乎過于抽象。

可視化解法（圖3）：圖形代表的意義為的工作量需要21天，即將工作量分為11個單位，其中的7個單位是21天，那么1個單位（）的工作量需要3天（21÷7=3）。這樣的解題策略是先畫出工作總量有幾個子單位，再從子單位的數據回頭推算1個單位的量值。也就是說，透過圖像表征出題意所給定的條件，繼而求出的工作量需要3天，學生可能因此較容易看出整體1 （工作總量）需要33天。

3.虛—虛對比

例4，甲一天的工作量是乙的1倍，甲、乙兩人合作需4天，如果甲、乙單獨做分別需要幾天完成？

解此題策略是利用基準化的觀點，把基準量視為1，把比較量視為基準化后的比值，但站在學生的立場，甲、乙工作量之間，該定位何者為“基準量”、何者為“比較量”？常有混淆不清的困擾。若能引導學生使用可視化表征來增進題意的了解，進而找到解題的線索與理解算式的意義，則更能協助學生成功解題，建構數學知識。

可視化解法（圖4）：

第一次對比：取乙為基準量，甲為對比量。甲、乙合作需要四天完成，甲為深色，乙為淺色。

第二次對比：四天以四行來表示，甲乙合作一天的工作量以一行來表示。每行：5+4=9個單位。

第三次對比：相對應甲乙合作一天而言，四天工作總量為9×4=36個單位

第四次對比：甲每天工作5個單位，相對于工作總量而言，需要36÷5=7天）

乙每天工作4個單位，相對于工作總量而言，需要36÷4=9（天）

以上工程問題，筆者皆提供了可視化表征的對照圖。希望能通過可視化表征來幫助學生理解題意和解題過程、重組相關概念之間的關系連結。尤其在表征過程中可形成解題的線索，輔助學生成功解題。此外，在解題過程中，可視化圖形既是輔助學生解題的素材，也是傳達想法給他人了解，幫助兩者相互溝通的表征工具。

三、 結論

由以上分析可知，就小學數學工程問題而言，可視化表征在解決問題過程中，需要結合三次表征，其主要思路如下：

但不管是透過語言或非語言的表征方式，教與學的互動就是師生不斷表征的過程。然而，表征并非人類與生俱來的能力，而是學習得來的，且表征方式也隨著年齡而漸次發展：從動作表征到圖像表征，再到符號表征。雖然符號表征能力實屬高階思維，但人類的思考卻是三種表征交替使用。也就是說，人類的思考其實是很有彈性的，有時用圖像思考，有時用符號思考，但總是以有利于理解問題和解決問題為考慮。所以，解決數學問題當下所顯現的思考也是如此，有時用具體表征，有時用圖像表征，有時用符號表征，須視問題的情境來決定。而在教學的互動過程中，教師要用何種表征來幫助學生理解數學概念，除了依據問題的情境以外，同時也要取決于學生的認知程度。研究發現，對于小學數學工程問題的可視化表征，當問題類型為實—實、虛—虛對比時，采用單位格表示較為恰當，而虛—實類型比較適宜用線性的單位表示。

因此，教師面對抽象的問題時，應幫助學生建立心像，以作為思考的憑借與溝通的媒介。可視化表征對學生而言是心智技能的運用，需要不斷的練習、反饋與修正，才能更為熟悉與精通。故教師平時就要指導學生練習視覺化表征，及時提供反饋，以幫助建立視覺化表征的解題策略，增進學生對數學概念的理解。

參考文獻

[1] National Council of Teachers of Mathematics..Principles and standards for school mathematics. Reston， VA：Author.2000.

[2] English， L.D.，& Halford，G.S.Mathematics education：Models and processes. Mahwah， New Jersey：Lawrence Erlbaum Associates， Inc.1995.

[3] Grouws D A.Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning[M].New York：Macmillan Publish Company，1992.

[4] Marzano，R.，Pickering， D.，& Pollock，J.，Classroom instruction that works. Association for Supervision and Curriculum Development：Alexandria， VA： Association for Supervision and Curriculum Development.2001.

[5] Van Hiele，P.M. Structure and insight[M].New York：Academic Press.1986.

【責任編輯：陳國慶】