基于Golay互補序列的壓縮感知稀疏信道估計算法

姚志強　　李廣龍　　王仕果　　游志宏(湘潭大學智能計算與信息處理教育部重點實驗室 湘潭 411105)

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基于Golay互補序列的壓縮感知稀疏信道估計算法

姚志強*李廣龍王仕果游志宏
(湘潭大學智能計算與信息處理教育部重點實驗室 湘潭 411105)

摘要：該文針對現有基于壓縮感知的信道估計方法峰均功率比高、計算量大等問題，使用確定性格雷(Golay)序列作為訓練序列對稀疏信道進行信道估計，在接收端實現了對信道沖激響應的估計，給出了估計模型和具體的算法推演，推導了該方法的峰均功率比，并與基于隨機高斯序列的壓縮感知信道估計方法的性能、峰均功率比和計算量進行了比較。仿真實驗表明：格雷序列以及隨機高斯序列兩種序列都可以重構出稀疏信道非零抽頭系數，但是格雷序列對稀疏信道沖激響應的確定性觀測估計值的均方誤差(MSE)和匹配度性能(Match Rate，MR)均優于隨機高斯序列，計算量降低了許多，且在OFDM系統中峰均功率比大大降低。

關鍵詞：信道估計；壓縮感知；Golay互補序列；稀疏信道

1　引言

在無線通信系統中，接收端需要利用信道狀態信息進行信道均衡與相干檢測，準確的信道估計是其他許多信號處理的前提，其性能直接影響整個系統的信道容量和誤碼率等，因此信道估計是無線通信系統中最重要的技術之一。按照是否在發射端需要發送輔助導頻，信道估計技術可以分成兩大類，即盲估計和非盲估計。使用盲估計的系統由于不發送導頻從而節省了系統的頻帶開銷和功率開銷，它利用接收端收到數據的統計信息來估計信道的響應，為了準確地估計信道，接收端需要收集大量的傳輸數據用于獲得統計信息。而基于訓練信號的非盲信道估計由于實現簡單，實時性強可以跟蹤快速的信道變化，廣泛應用于現代通信系統中，但訓練信號不攜帶有用數據卻占據一定的通信帶寬，如何利用較少的訓練信號獲得更好的信道估計性能一直是一個研究熱點。壓縮感知理論的提出，為解決上述問題提供了有效的途徑，相對于傳統估計方法，該方法能夠有效減少訓練序列導頻信號的數目[1，2]。

2004年，由DONOHO[3，4]與CANDES[5]等人以及文獻[6，7]提出壓縮感知(Compressed Sensing，CS)，到目前為止壓縮感知技術已經廣泛應用于圖像處理、數據壓縮、雷達、信道估計、數據獲取等等。近些年來，已有一些將壓縮感知框架應用到無線信道估計的報道。利用壓縮感知方法的訓練序列信道估計方法在2008年由BAJWA等人[8]首次提出，由于傳統的信道估計方法，例如最小二乘法(LS)沒有考慮到信道的先驗信息即信道具有稀疏性，在進行信道估計時需要較長的的訓練序列，其占據通信帶寬，消耗發射功率，而利用壓縮感知技術有效地減少了訓練序列的長度。

在最新的研究進展中，文獻[9，10]利用壓縮感知理論，在接收端以低于奈奎斯采樣速率對超寬帶信號進行采樣，然后進行信道估計，并且實驗仿真驗證出該方法能夠較好地估計出超寬帶的信道沖激響應。在文獻[11]中提出基于壓縮感知理論的確定性導頻序列的選擇方法，仿真表明其可以使用少量導頻獲得可靠的信道估計性能。文獻[12]將壓縮感知框架運用到頻率選擇性衰落信道中，提出了一些加強稀疏性基。文獻[13]提出一種高速移動環境下基于壓縮感知的OFDM系統信道估計方法。文獻[14]提出一種基于壓縮感知的稀疏增強MIMO-OFDM信道估計算法。

在觀測矩陣的設計方面，文獻[15，16]中指出如果觀測矩陣中的變量服從零均值的高斯隨機分布，可以使用這個觀測矩陣對任意稀疏信號進行采樣，然后通過凸優化算法完整地恢復出原始信號。文獻[15]中，使用高斯隨機序列構造一個隨機觀測矩陣，進行信道估計。在文獻[16]中，每個訓練信號服從拉德馬赫分布，變量值為與以1/2概率出現。文獻[17]采用隨機高斯序列構造一個具有托普利茲結構的觀測矩陣，使用CoSaMP算法估計信道沖激響應值。文獻[18]中提出卷積壓縮感知理論使用確定性序列構造確定性觀測矩陣對原始圖像進行重構，實驗仿真驗證了該方法能夠很好地重構出原始圖像，并使用這種方法對信道估計進行初探。文獻[19]中使用聯合稀疏基去代替傅里葉稀疏基，仿真表明這種方法可以降低系統的計算復雜度。

由于隨機矩陣在硬件上難以產生，并且在重構原始信號時計算量較大，在OFDM系統中隨機序列會產生較大的峰均功率比(PAPR)，其值接近10lgN。該文的目標是使用確定性格雷序列作為訓練序列對稀疏信道進行信道估計，給出詳細的算法推導，在保證重構信道沖激響應的性能情況下，將峰均功率比控制在較小的范圍內，并對比格雷序列以及其他隨機觀測序列對信道沖激響應估計的性能和計算復雜度。

2　系統模型

2.1 壓縮感知信道估計

在寬帶無線通信系統，系統的實際帶寬通常大于系統的相干帶寬，信道衰落具有頻率選擇性，而且很多研究發現這時的多徑衰落信道還呈現稀疏性，因此對其進行觀測與估計可以引入壓縮感知方法。

在式中，若M≥ KlgN，且觀測矩陣Φ滿足有限等距特性(Restricted Isometry Property，RIP)，則可以通過尋找式(1)的最稀疏解來恢復信號h。但是由于式(1)中的未知數數目多于方程組的個數，未知解的個數并不唯一，無法直接從y重構出原始信號h，因此，需要根據一定的準則找出最佳的h解。目前為解決上述問題是通過求解最小的l1范數解決。

當滿足條件時，同樣可以高概率恢復出原始信號。目前比較有代表性的重構算法有基追蹤(BP)算法和貪婪追蹤算法?；粉櫵惴ㄖ貥嬀容^高，但復雜度大，不適合實時場合的應用。貪婪追蹤算法的運算量小且更易實現，常見的包括匹配追蹤(MP)，正交匹配追蹤(OMP)，正則正交匹配追蹤(ROMP)和子空間追蹤(SP)算法，采樣匹配追蹤(CoSaMP)。

2.2 格雷互補序列

格雷互補序列由Golay提出[20]，其具有良好的非周期自相關性，被廣泛應用于光譜學，超聲波測量，雷達脈沖壓縮，無線局域網以及OFDM系統。假設和。那么a與b的非周期互相關函數(ACCF)定義為

3　基于格雷序列的壓縮感知信道估計

考慮一個時變無線信道，它的脈沖響應為

圖1　序列a與序列b的值以及兩個序列良好的互補自相關特性圖

如果一個OFDM符號持續的時間遠遠小于信道的相干時間，那么信道的沖激響應在一個OFDM符號所在周期內是不隨時間改變的，則有，信道僅受到多徑時延的影響，表現為頻率選擇性信道，因此式(5)的離散時間信道模型簡化為

發送端發送格雷互補訓練序列a，在經過信道的沖激響應和高斯白噪聲的作用之后，接收信號其時域形式可以表示為

由于OFDM系統為了對抗碼間干擾(ISI)，在發射端對每個OFDM符號加入了循環前綴，為了克服由于多徑傳輸造成的ISI，一般將循環前綴設計為不小于信道的最大多徑時延，又在接收端將循環前綴丟棄，實際接收到的時域OFDM符號可寫成式(8)的卷積形式：

為了壓縮感知公式書寫方便，將式(8)改寫成

對式(10)左乘上F后，系統模型可以轉換為

式(11)已經將信道估計轉換為壓縮感知對稀疏信號的重構，其中h為需要重構的稀疏信道沖激響應，觀測矩陣為，它是由格雷互補序列產生具有托普利茲結構的觀測矩陣，對于接收端和發射端都是已知的，Y為接收端獲得的觀測采樣值。為了能夠重構出稀疏信號，觀測矩陣必須滿足RIP特性，

其結構為

式(11)的模型可以表示為

4　仿真結果與分析

假設稀疏信道h的非零抽頭系數滿足隨機高斯分布，其長度L=256，其中非零系數個數為K=16，即信道稀疏度為K。根據壓縮感知理論，觀測矩陣的維數大致為M =4 K =64。現在發射端分別發送一個長度S=256的隨機高斯序列和格雷序列作為訓練序列，對比兩種訓練序列對稀疏信道沖激響應的重構MSE性能影響。在OFDM系統中，采用BPSK調制，子載波個數為16，分別利用壓縮感知的OMP算法和CoSaMP算法，去重構稀疏信道的沖激響應，利用Monte Carlo方法評估信道估計量性能，運行1000次。

4.1 峰均功率比

(1)理論計算值：在OFDM系統中對于式(4)兩邊取傅里葉變換，其中可得：

這樣，用格雷互補序列作為輸入產生的OFDM信號，其PAPR值將不會超過3 dB。

(2)數值仿真結果：從圖2中我們可以看出，在OFDM系統中，采用隨機高斯序列作為訓練序列，當仿真次數增大時，在某一時刻當N個子載波都以相同的相位求和時，OFDM信號的峰均功率比接近理論上的最大值10lg16=12，采用格雷序列作為訓練序列可以將峰均功率比嚴格的控制在3 dB以內，通過實驗仿真可以得到，最大值為PAPR=2.98 dB，最小值為PAPR=2.36 dB。

4.2 歸一化的均方誤差（MSE）

歸一化的MSE定義為

匹配度(MR)定義如下：

圖3，圖4分別采用隨機高斯序列和格雷確定性序列作為訓練序列，使用OMP算法，觀測矩陣的大小為80×256去重構稀疏信道的沖激響應，從圖中可以看出，兩種序列都可以重構出稀疏信道的非零位置的系數，但是格雷序列的重構精確度要優于隨機高斯序列。

圖5對比了隨機高斯序列和格雷序列在觀測矩陣分別為64×256與80×256的時候重構出稀疏信道沖激響應時的MSE值大小，實驗仿真重復1000次取其平均值。圖中顯示，隨著觀測矩陣的增大，其MSE略有減少但是變化不大，尤其是格雷序列，這是因為壓縮感知是利用信道本身的稀疏特性來估計信道，也就是說當式(11)是欠定的情況下，壓縮感知信道估計能發揮更大的效果，當訓練序列逐漸增加，即觀測矩陣變大時，式(11)組逐漸不再是欠定的，估計性能也就不再提高。但是在相同的觀測維數和相同的信噪比下格雷序列的MSE值要低于隨機高斯序列。

圖6對比了使用格雷序列作為訓練序列，在觀測值為64×256與80×256下OMP算法與CoSaMP算法對稀疏信道沖激響應重構時MSE值得大小的影響，通過實驗仿真可知，OMP算法和CoSaMP算法對信道估計的MSE值估計性能接近，OMP算法稍小于CoSaMP算法。

圖7對比了兩種序列在不同測量維數以及不同信噪比下采用OMP算法重構的信道沖激響應與實際信道沖激響應之間的匹配度。從圖中可以看出，隨著測量維數M值的增大，以及SNR增大，估計出的響應越來越逼近實際的信道響應，當測量維數以及SNR達到某一數值時，信道沖激響應可以高概率重構出來。在相同條件格雷序列得到的匹配度要高于隨機高斯序列。

圖2　隨機高斯序列和Golay序列的峰均功率比

圖3　隨機高斯序列在12 dB　下重構出的信道沖激響應

圖4　格雷序列在12 dB下 重構出的信道沖激響應

圖5　對比不同觀測矩陣的維數下高斯隨機序列和格雷序列的MSE值與SNR的關系

圖6 使用格雷序列采用OMP算法與 CoSaMP算法重構信道沖激響應MSE值

圖7 觀測大小以及信噪比 對信道估計匹配度的影響

4.3計算復雜度以及仿真對比

采用確定性格雷序列構造的托普利茲矩陣，在實現矩陣相乘的時候可以采用快速傅里葉變換實現矩陣的相乘，運算的時候只需要個獨立元，確定性序列在硬件上容易產生，需要的存儲空間也較少。而隨機高斯序列其需要O(MN)個獨立元，在重構原始信號的時候矩陣相乘需要計算O(MN)，由于隨機序列具有較強的不確定性，在硬件上更難產生，存儲的同時占用較大的空間。

為了直接展現出它們的計算復雜度，現在用計算機運行重構出信道沖激響應所需要的時間來恒量計算復雜度，采用matlab2009a，仿真電腦使用聯想啟天M436E 4核3.3 GHz處理器，內存大小為4 G，操作系統為Windows 7。對比上訴兩種序列在重構時CPU運行計算出結果所需要的時間，如表1，表2所示，壓縮比為M/ N。

從表1以及2可以看出，格雷序列在重構信道沖激響應時所需時間比隨機高斯序列要少，這種表現隨著壓縮比例增大而增大，這種現象在重構高維信號時會變得更為突出。在OMP算法與CoSaMP對比中，由于OMP算法在選擇原子集后，需要對原子集進行正交變換，大大加大了重構算法在計算上的復雜度，而CoSaMP算法每次會選擇多個原子加入到新的原子集，所以在程序運行時會減少了算法的迭代次數，從而降低了計算機需要處理的時間。

5　結論

本文詳細研究了使用格雷序列對稀疏信道沖激響應的確定性觀測與估計，通過算法分析與數值仿真表明：采用格雷序列作為訓練序列構造的確定性托普利茲觀測矩陣，其對稀疏信道沖激響應重構后的歸一化均方誤差(MSE)和匹配度比隨機高斯序列要小，并且在OFDM系統中格雷序列產生的峰均功率比不隨著子載波的增加而變化，可以將峰均功率比嚴格控制在3 dB以內，大大低于采用高斯隨機序列的方法(在某一時刻當N個子載波都以相同的相位求和時，所得到的信號的峰值功率就會是平均功率的N倍，因而基帶信號的峰均功率比為10lgN)。同時在重構信道沖激響應時，基于格雷序列的方法計算復雜度比隨機高斯序列有了大幅降低。

表1　采用OMP算法使用格雷序列以及隨機高斯序列計算機運行時間（s）

表2　采用CoSaMP算法使用格雷序列以及隨機高斯序列計算機運行時間（s）

參考文獻

[1]葉新榮，朱衛平，張愛清，等.OFDM系統雙選擇性慢衰落信道的壓縮感知估計[J].電子與信息學報，2015，37(1):169-174.doi:10.11999/JEIT140247.YE Xinrong，ZHU Weiping，ZHANG Aiqing，et al.Compressed sensing based on doubly-selective slow-fading channel estimation in OFDM systems[J].Journal of Electronics ＆ Information Technology，2015，37(1):169-174.doi:10.11999/JEIT140247.

[2]TAUBOCK G and HLAWATSCH F.A compressed sensing technique for OFDM channel estimation in mobile environments:Exploiting channel sparsity for reducing pilots[C].IEEE International Conference on Acoustics Speech and Signal Processing，Las Vegas，NV，2008:2885-2888.

[3]DONOHO D L.Compressed sensing[J].IEEE Transactions on Information Theory，2006，52(4):1289-1306.

[4]TSAIG Y and DONOHO D L.Extensions of compressed sensing[J].Signal Processing，2006，86(3):549-571.

[5]CANDES E and ROMBERG J.Robust signal recovery from incomplete observations[C].IEEE International Conference on Image Processing，Atlanta，GA，2006:1281-1284.

[6]CANDES E，ROMBERG J，and TAO T.Robust uncertainty principles:Exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information[J].IEEE Transactions on Information Theory，2006，52(3):489-509.

[7]CANDES E and TAO T.Decoding by linear programming[J].IEEE Transactions on Information Theory，2005，51(12):4203-4215.

[8]BAJWA W U，HAUPT J，RAZ G，et al.Compressed channel sensing[C].CISS 42nd Annual Conference on Information Sciences and Systems，Princeton，NJ，2008:5-10.

[9]COHEN K M，ATTIAS C，and FARBMAN B.Channel estimation in UWB channels using compressed sensing[C].2014 IEEE International Conference on Acoustics，Speech and Signal Processing(ICASSP)，Florence，2014:1966-1970.

[10]WANG Weidong，YANG Junan，and ZHANG Chun.A novel compressed sensing ultra-wideband channel estimation method based on non-convex optimization[J].International Journal of Communication Systems，2015，28(3):472-482.

[11]SHAKERI Z，BAJWA W U，et al.Deterministic selection of pilot tones for compressive estimation of MIMO-OFDM channels[C].49th Annual Conference on Information Sciences and Systems(CISS)，Baltimore，MD，USA，2015:1-6.

[12]KHOSRAVI M and MASHHADI S.Joint pilot power ＆pattern design for compressive OFDM channel estimation[J].IEEE Communications Letters，2015，19(1):50-53.

[13]CHEN Xin and FANG Yong.Compressed sensing based scattering channel estimation for OFDM system under the scenarios of High-speed Railway[C].2014 IEEE International Conference on Signal Processing，Communications and Computing(ICSPCC)，Guilin，2014，539-543.

[14]謝志斌，薛同思，田雨波，等.一種稀疏增強的壓縮感知MIMO-OFDM信道估計算法[J].電子與信息學報，2013，35(3):665-670.doi:10.3724/SP.J.1146.2012.00860.XIE Zhibin，XUE Tongsi，TIAN Yubo，et al.A sparsity enhanced channel estimation algorithm based on compressed sensing in MIMO-OFDM systems[J].Journal of Electronics ＆Information Technology，2013，35(3):665-670.doi:10.3724/ SP.J.1146.2012.00860.

[15]BAJWA W U，JARVIS H，SAYEED A M，et al.Compressed channel sensing:A new approach to estimating sparse multipath channels[J].Proceedings of the IEEE，2010，98(6):1058-1076.

[16]JARVIS H，BAJWA W U，and RAZ G.Toeplitz compressed sensing matrices with applications to sparse channel estimation[J].IEEE Transactions on Information Theory，2010，56(11):5862-5875.

[17]GUAN G，QUN W，and WEI P.Sparse multipath channel estimation using compressive sampling matching pursuit algorithm[C].IEEE Vehicular Technology Society Asia Pacific Wireless Communication Symposium，Piscataway，2010:19-22.

[18]LI K，GAN L，and LING C.Convolutional compressed sensing using deterministic sequences[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2012，61(3):740-752.

[19]EIWEN D，TAUBOCK G，HLAWATSCH F，et al.Multichannel channel group sparsity methods for compressive channel stimation in doubly selective multicarrier MIMO systems[OL].http//arxiv.org/abs/1407.3474，2014.

[20]GOLAY M J E.Complementary series[J].IRE Transactions on Information Theory,1961，7(2):82-87.

[21]GRAY R M.Toeplitz and cimulant matrices:A review[J].Communication and Information Theoy，2006，2(3):155-239.

姚志強：男，1975年生，博士，教授，研究方向為通信信號處理、無線定位技術及其凸優化方法.

李廣龍：男，1988年生，碩士生，研究方向為基于壓縮感知的信道估計技術.

王仕果：男，1975年生，博士，副教授，研究方向為通信信號處理、無線中繼協作通信、以及認知無線電技術.

游志宏：男，1989年生，碩士生，研究方向為基于壓縮感知的OFDM定時同步技術.

Compressed Sensing Channel Estimation Algorithm Based on Deterministic Sensing with Golay Complementary Sequences

YAO ZhiqiangLI GuanglongWANG ShiguoYOU Zhihong
(Key Laboratory of Intelligent Computing ＆ Information Processing(Xiangtan University)，Ministry of Education，Xiangtan 411105，China)

Abstract:To deal with problems of large Peak-to-Average Power Ratio(PAPR)and computation complexity in existing channel estimation algorithm based on compressed sensing，Golay complementary sequence is utilized to estimate sparse channel as a deterministic training sequence.Estimation model and algorithm are provided in detail.The PAPR of this method is deduced and its performance，PAPR and computation complexity are compared with Gaussian random sequence.The simulation result indicates that Golay sequence and Gaussian random sequence can reconstruct nonzero tap coefficients.But Golay sequence outperforms Gaussian random sequence both in the Mean Square Error(MSE)and Match Rate(MR)for estimating sparse channel impulse response.And the computation and PAPR are reduced significantly in the OFDM system.

Key words:Channel estimation; Compressed Sensing(CS); Golay complementary sequences; Sparse multipath

基金項目：國家自然科學基金(61372127)，湖南省自然科學基金(13JJ3065)

*通信作者：姚志強yaozhiqiang@xtu.edu.cn

收稿日期：2015-05-18；改回日期：2015-09-16；網絡出版：2015-11-19

DOI:10.11999/JEIT150594

中圖分類號：TN92

文獻標識碼：A

文章編號：1009-5896(2016)02-0282-06

Foundation Items:The National Natural Science Foundation of China(61372127)，The Natural Science Foundation of Hunan Province(13JJ3065)