偽碼-線性調頻復合信號參數估計理論性能分析

王　佩　　祝　俊　　唐　斌(電子科技大學電子工程學院　成都　611731)

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偽碼-線性調頻復合信號參數估計理論性能分析

王佩*祝俊唐斌
(電子科技大學電子工程學院成都611731)

摘要：針對偽碼-線性調頻復合信號參數估計的理論性能評價問題，該文分析了分步估計方法對參數估計的影響，給出了較高信噪比時分步估計方法的理論近似性能；推導了高斯白噪聲環境中偽碼-線性調頻信號參數無偏估計的修正克拉美-羅下限(MCRLB)的解析表達式。利用偽碼序列的統計特征推導出起始頻率、調制斜率、初始相位及碼元寬度參數聯合估計的修正Fisher信息矩陣，從而得到各參數估計的MCRLB。對結果進行了對比分析，并通過數值仿真實驗，證明了該理論下限的有效性。

關鍵詞：參數估計；偽碼-線性調頻復合信號；分步估計法；修正克拉美-羅限

1　引言

偽碼-線性調頻(PRBC-LFM)復合信號兼具偽碼信號和線性調頻信號兩種信號的優點[1]，在雷達、通信及引信等領域中均有應用[2-5]。研究非合作環境中PRBC-LFM復合信號的參數估計問題對電子偵察具有重要意義。

對PRBC-LFM復合信號的參數估計研究已有部分文獻提及[6-9]。該類復合信號參數估計常用一種分步估計方法：首先平方消除偽碼信息，進而估計線性調頻參數，然后解線性調頻得到相位編碼信號估計碼速率。不同算法之間的區別在于選取的常規信號參數估計算法不同[7-9]。然而在性能分析方面，現有文獻僅從仿真實驗的角度給出算法均方根誤差的大小以證明其算法的有效性，并未給出分步估計算法的理論性能，也未給出一種類似于克拉美-羅下限(CRLB)的理論評價工具。當信號中存在數字調制如二相編碼調制成分的時候，信號參數估計的CRLB難以解析推導，目前文獻中多使用均方根誤差來說明其性能[10，11]。

由于數字調制存在時，信號參數估計的CRLB難以解析推導。文獻[12]通過簡化CRLB推導過程中的一個條件概率密度計算，提出了單個參數估計的修正克拉美-羅下限(MCRLB)的概念，并將其用于合作通信中部分參數的估計；文獻[13]在此基礎上將MCRLB擴展為多個信號參數的聯合估計問題，通過Fisher信息矩陣的推導得到了各參數聯合估計的下限；文獻[14]給出了相位編碼信號在升余弦脈沖和矩形脈沖兩種情況下碼元寬度估計的MCRLB；文獻[15]討論了未知數字調制的連續相位調制信號參數估計的MCRLB，并對比了參數的單獨估計與聯合估計的區別；文獻[16]推導了基于全球移動通信系統的多基地被動雷達探測目標的參數誤差的MCRLB；文獻[17]將MCRLB用于PRBC-LFM復合調制雷達信號的參數估計，得到了各參數單獨估計時的MCRLB，但未考慮多調制參數的聯合估計問題。

本文針對高斯白噪聲環境中PRBC-LFM復合信號多參數聯合估計問題，首先分析了分步估計對信號參數估計的影響，然后通過合理假設推導了各參數估計的修正Fisher信息矩陣，從而得到參數聯合估計的MCRLB，并通過數值仿真與已有參數估計算法性能進行對比，驗證了理論下限的有效性。

2　PRBC-LFM分步估計方法性能

針對PRBC-LFM復合信號，文獻[7～9]選取的參數估計方法均基于一種分步估計方法。其框圖如圖1所示。

圖1　分步估計算法流程

從估計流程中可以看出，此類方法對起始頻率、調制斜率的估計受平方運算的影響，對碼速率的估計受到解線性調頻誤差的影響。

2.1 平方運算對參數估計的影響

設具有N點觀測樣本的離散數字信號模型為

其中，{w(n)}為方差σ2的獨立同分布復高斯白噪聲隨機變量；為待估計信號，A為信號幅度，φ(n)為n時刻的信號相位。信噪比為。對信號進行平方運算，得到

平方后的噪聲序列包含兩部分，分別設為v1(n)和v2(n)，則有

根據w(n)的性質可知：

其中v1(n)服從高斯分布；v2(n)實部為兩個相互獨立的高斯隨機變量的平方差構成的新隨機變量，虛部為這兩個獨立隨機變量的積，其總的概率密度分布較為復雜；v(n)為兩種不同分布噪聲序列的和。此時信號的信噪比為

由式(7)可以看出，相比于平方前的信噪比，平方后的信噪比至少有4倍也即6 dB的降低，該結論也可通過頻域方法得出[18]。

由文獻[7～9]的結論可知，分步估計算法通常在信噪比優于2 dB時估計誤差才可能收斂。此時，平方后的噪聲序列中v1(n)為主要成分，其占據噪聲總功率的比例為

根據式(8)可知，當信噪比較高時，高斯分布的噪聲占據噪聲的主要成分。因此，在較高信噪比時，復合信號分步估計法對調頻參數的估計性能可以近似為高斯噪聲中的線性調頻參數估計。此時參數的估計下界分別為[19]

2.2 解線性調頻對參數估計的影響

解線性調頻運算的目的是將信號中的線性調頻成分通過重構消除掉，以方便后續處理。此過程并不改變編碼信號的調制參數，且噪聲解線性調頻后依然是均值為0、方差為σ2的高斯白噪聲，因此從理論上講也不會對相位編碼信號的參數估計性能產生影響。

綜上，PRBC-LFM復合信號的分步估計對參數估計的影響主要由平方運算產生。平方導致了至少6 dB的信噪比損失；在較高信噪比時，平方后的噪聲序列可以假設為均值為0的高斯隨機序列。

3　PRBC-LFM信號估計的MCRLB

3.1 信號模型與基本假設

設I(u)為CRLB對應的Fisher信息矩陣，則

由文獻[13]可知，如果干擾向量v中存在未知數字調制或者非高斯噪聲成分，則其概率密度函數

通常難以解析計算，從而I(u)難以解析計算。此時經典的CRLB雖然存在，卻難以解析給出。

從而給出了修正克拉美-羅下限：

由于計算時對概率密度分布的簡化，導致了MCRLB通常要比CRLB松弛。也即

但文獻[13]指出，很多實際情況下，MCRLB與CRLB是非常接近的，當干擾向量v為確定已知參數且觀測時間充分長時，二者相等。因此在CRLB難以給出的情況下，利用MCRLB對算法的估計性能進行評價具有重要意義。

針對式(1)的離散模型，設其中復合信號模型為

式中幅度A為常數，則碼元寬度近似采樣點數D、初始相位θ0、起始頻率f0、和調制斜率α等調制參數構成待估計參數向量；未知隨機離散調制序列及噪聲功率σ2構成干擾參數向量; g(n)為偽碼信號一個子脈沖的矩形包絡。

3.2 修正的Fisher信息矩陣計算

根據信號模型，可知條件概率密度函數

因此，修正的Fisher信息矩陣IM(u)的元素為

3.2.1對角元素計算考慮p=q時，有

則通過計算和化簡可以得到

同理，當q =4，1，2，3

p =時，有

這表明，在基本假設成立情況下，碼元寬度的估計與起始頻率、調制斜率以及相位無關。

當p≠4且q≠4時，分別可以得到

第1行第3列和第3行第1列元素為

第2行第3列和第3行第2列元素為

綜上，參數聯合估計的修正Fisher信息矩陣為

式中的3階方陣Iup為

對矩陣求逆可以得到

則各參數聯合估計的MCRLB結果為

選用歸一化均方根誤差(NRMSE)表征算法性能，對各參數的MCRLB進行歸一化分析。由于要與文獻[7]估計性能進行對比，故只考慮起始頻率、調制斜率和碼元寬度等參數。

設樣本數據的真實起始頻率為fc，調制斜率為K，碼元寬度為Td，采樣頻率為fs，則有，，則真實值估計的下限為

記均方根誤差意義下的歸一化標準差為std，則有

4　數值仿真與分析

選取具有代表性的文獻[7]中的估計方法進行仿真，并與本文分析得到的分步估計得到的起始頻率、調制斜率的理論性能以及MCRLB的理論結果進行對比。

實驗采取與文獻[7]仿真實驗類似的參數設置，但為了體現偽碼特性，每次Monte Carlo試驗中將隨機產生一組偽碼序列。具體參數為：線性調頻初始頻率為16 MHz，信號脈寬10 μs，調制斜率1012Hz/s；偽碼速率為2 MHz，每次產生20個碼元長度的數據；信號采樣率為100 MHz，FFT點數為1024，滑動求和點數為20；噪聲環境為高斯白噪聲；Monte Carlo試驗次數為500。

起始頻率及調制斜率估計性能如圖2所示。由于分步估計算法在2 dB以上信噪比時估計誤差收斂，根據2.1節的分析可知，該理論界在噪聲收斂時可近似作為估計下限。

由圖2可知，在2～10 dB信噪比范圍內，起始頻率估計的標準差約為5～12倍的MCRLB，調制斜率估計的NRMSE約為2～4倍的MCRLB。假設參數的CRLB可以得到，則根據式(16)，其應位于分步估計近似下限曲線與MCRLB曲線之間，因此可以推測此時的起始頻率與調制斜率估計的MCRLB已經接近CRLB。

圖 2　參數估計性能對比

碼元寬度估計結果如圖3所示。由圖3可知，分步算法的碼元寬度估計的標準差約為10～20倍的MCRLB。同理，由于經典的CRLB應位于MCRLB與分步算法性能曲線之間，可以推測此時復合信號碼元寬度估計的MCRLB已經接近于CRLB。

圖 3　碼元寬度估計性能

另一方面，也可以看出分步估計算法估計性能在信噪比高于2 dB時趨于穩定。這和文獻[7]中分步估計算法選用的參數設置有關。在起始頻率和調制斜率估計時，使用了FFT系數迭代插值算法，其迭代終止條件導致了算法的固有誤差。而碼元寬度估計時使用了常規的自相關算法和求倒數運算，其估計精度也有一定誤差。故算法參數的設置和子算法的選取導致誤差下降到一定程度后，算法性能隨著信噪比的提升基本維持不變。

從理論分析和仿真實驗可以看出，復合信號參數估計的MCRLB作為估計算法的性能評價工具是合理和有效的。另一方面，目前PRBC-LFM復合信號參數的分步估計方法尚存在兩方面的問題：一方面在信噪比低于2 dB時如何使算法估計誤差快速收斂上沒有文獻涉及；另一方面，在高信噪比時分步估計方法的理論性能與白噪聲中參數無偏估計的修正理論下限仍有一定偏離。

5　結束語

針對PRBC-LFM復合信號參數估計的性能分析問題，從理論角度定量分析了分步估計方法的理論性能，并通過合理假設，首次導出了該復合信號參數聯合估計的修正Fisher信息矩陣，在此基礎上得到了各參數估計的修正的克拉美-羅下限，通過數值仿真試驗對比了已有文獻的估計結果，證明了所得理論下限的有效性和合理性，為偽碼-線性調頻復合信號的參數估計方法性能評價提供了一種理論工具。尋找更低信噪比下的參數有效估計方法及高信噪比時誤差更小的參數估計方法是后續有待開展的工作。

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王佩：男，1988年生，博士生，從事雷達信號偵察方面研究.

祝俊：男，1974年生，博士后，從事電子對抗方面研究.

唐斌：男，1963年生，教授，博士生導師，主要從事電子對抗與雷達抗干擾技術方面研究.

Theoretical Performance Analysis for Parameter Estimation of Hybrid Modulated Signal Combining Pseudo-random Binary-phase Code and Linear Frequency Modulation

WANG PeiZHU JunTANG Bin
(School of Electronic Engineering，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu 611731，China)

Abstract:According to the theoretical performance for parameter estimators of a signal combined Pseudo-Random Binary-phase Code(PRBC)and Linear Frequency Modulation(LFM)，this paper analyzes the impact of step-bystep method on the signal estimation problem and gives the analytical expressions of Modified Cramer-Rao Lower Bound(MCRLB)for parameter estimation of PRBC-LFM signal in white Gaussian noise.Using the statistical characteristics of PRBCs，the Fisher’s information matrix is derived for parameters including initial frequency，chirp rate，initial phase and code width.The MCRLBs are therefore calculated.The MCRLBs are analyzed by comparison and the validity is demonstrated by numerical simulation experiments.

Key words:Parameter estimation; Pseudo-Random Binary-phase Code and Linear Frequency Modulation(PRBCLFM)signal; Step-by-step estimation method; Modified Cramer-Rao Lower Bound(MCRLB)

基金項目：國家自然科學基金(61172116)

*通信作者：王佩wangpei1128@foxmail.com

收稿日期：2015-05-06；改回日期：2015-10-09；網絡出版：2015-11-18

中圖分類號：TN971.+1

文獻標識碼：A

文章編號：1009-5896(2016)02-0472-06

DOI:10.11999/JEIT150523

Foundation Item:The National Natural Science Foundation of China(61172116)