低信噪比下非數據輔助的OFDM系統信道階數和噪聲方差的估計

王　東　　趙加祥　　喻麗紅(南開大學計算機與控制工程學院　天津　300071)(南開大學電子信息與光學工程學院　天津　300071)

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低信噪比下非數據輔助的OFDM系統信道階數和噪聲方差的估計

王東①趙加祥*②喻麗紅①
①(南開大學計算機與控制工程學院天津300071)
②(南開大學電子信息與光學工程學院天津300071)

摘要：在低信噪比情況下，該文提出一種新的針對正交頻分復用(OFDM)系統信道階數和噪聲方差的非數據輔助(NDA)估計算法。算法中應用了一種新的基于聯合極大幾何均值(MGM)的代價函數。新的代價函數不僅利用了循環前綴(CP)冗余性，同時也利用了信道記憶性。對比只利用了CP的方法，該算法可以在低信噪比情況下更準確地估計信道階數和噪聲方差。仿真結果表明，在低信噪比情況下，該算法針對信道階數的估計得到約10 dB的信噪比增益；同時，對噪聲方差的估計，該算法顯著提高了估計精度，抑制了信噪比20 dB以下估計性能惡化的現象。

關鍵詞：正交頻分復用；信道階數和噪聲方差估計；低信噪比；非數據輔助；聯合極大幾何均值

1　引言

在低信噪比情況下，準確地估計噪聲方差，對于提高通信系統的性能至關重要。噪聲方差的估計精度，極大地影響了判決門限的設定[1-3]、信噪比(SNR)的估計[4，5]以及通信系統的誤比特率[6]。在多徑信道環境下，正交頻分復用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM)系統中的噪聲功率估計，依賴于對信道階數(即信道沖擊響應長度)的準確估計[7-12]。但隨著信噪比的降低，在無數據輔助(Non-Data-Aided，NDA)的情況下，信道階數和噪聲功率的估計精度均迅速惡化[11]。因此，在低信噪比情況下，提高NDA信道階數和噪聲功率估計精度，是十分必要的。

相對于有數據輔助(已知訓練序列)的估計方法[13]，NDA估計方法不需要額外的系統開銷，更適合于批量數據傳輸。近年來，基于OFDM循環前綴(Cyclic Prefix，CP)的NDA信道階數和噪聲功率估計算法，一直是研究的熱點[9-11]。然而，在低信噪比情況下，已有算法的性能并不理想。例如，文獻[9]中所提算法的性能取決于一個門限值，而該門限值在低信噪比下很難準確設定。文獻[10]中提出的算法，消除了對門限值的依賴，但在信噪比低于20 dB以后，估計的準確度迅速下降；并且在高信噪比區間，估計性能也始終不能達到理想的精度[11]。文獻[11]提出的算法在高信噪比區間修正了估計精度，但所付出的代價是，在低信噪比區間的性能進一步惡化。

針對在低信噪比情況下，信道階數和噪聲功率估計性能迅速惡化的問題，本文提出了一種新的代價函數，并基于該代價函數提出了一套新的NDA信道階數和噪聲功率估計算法。新的代價函數基于聯合的極大幾何均值(Maximum Geometric Mean，MGM)[10，14]，它聯合了兩部分的信息：CP冗余性和信道記憶性。相對于只利用了CP的算法[9-11]，本文額外利用的信道記憶性，在低信噪比情況下，能夠顯著提高信道階數和噪聲功率的估計精度。仿真結果表明，在低信噪比區域，針對信道階數的估計，本文提出的算法獲得了約10 dB的信噪比增益；同時，針對噪聲方差的估計，本文所提算法顯著提高了估計精度，抑制了信噪比低于20 dB后估計精度惡化的現象。

本文的組織結構如下：第2節，介紹一個典型的OFDM系統通信模型；第3節，在提出的模型的基礎上，闡明了本文所提出的新的代價函數，并推導了基于該代價函數的信道階數和噪聲方差估計算法；第4節，對所提算法的估計性能進行了仿真驗證，并與另兩種方法進行了性能對比和分析；第5節是結束語。

2　OFDM系統模型

對于具有N個子載波的基帶等效離散OFDM系統，經發射功率歸一化后，發射的M個時域OFDM符號中的第m個符號(0≤m≤M -1)可以表示為

其中

假設發送信號x(n)通過一個時不變瑞利多徑衰落信道，其離散信道沖激響應為。其中，為第l個信道抽頭系數，L為最大延時多徑對應的抽頭個數，稱為信道階數。通常情況下，OFDM的系統設計將保證CP長度大于信道階數，即。假設接收端實現了同步[15]，則接收信號為

其中w(n)為方差為σ2的加性零均值復高斯白噪聲。當子載波數N較大時，根據中心極限定理，發送信號x(n)和接收信號y(n)的采樣點可以近似為復高斯隨機變量。令表示與第m個 OFDM發射符號對應的第m個OFDM接收符號，其中。值得注意的是，由于多徑的影響，每個的前L個采樣點，均被前一個發送符號所干擾。

定義接收端的平均信噪比為

3　信道階數和噪聲方差的估計

在本節中，我們提出一個新的基于聯合MGM的代價函數。通過最大化該代價函數，可以得到關于信道階數的估計。利用得到的，進一步可以得到關于噪聲方差的估計。因為新的代價函數聯合了CP冗余性和信道記憶性兩部分的信息，故在低信噪比情況下，相對于只利用了CP的方法，我們得到的關于和的估計精度得到了顯著的提升。

3.1 聯合MGM

MGM方法[10，14]可以被用來估計一組隨機變量中獨立同分布隨機變量的個數。在本文中，為了更準確地估計信道階數和噪聲方差，我們基于MGM提出了一個新的聯合MGM代價函數。該代價函數聯合了兩部分信息：和，分別代表基于CP冗余性的MGM和基于信道記憶性的MGM。

由于聯合利用了兩部分信息，在低信噪比情況下，通過使該聯合MGM最大化，可以得到關于信道階數的更準確的估計

在得到信道階數的估計L?后，利用文獻[9]提出的方法，我們可以進一步得到噪聲方差的估計：

由式(10)可以看出，信道階數L的估計(此時已假設L=j)，可以通過計算y(n)的自相關系數函數中的個數來確定。接收端收到M個OFDM符號的接收信號y(n)(每個OFDM符號Ns個采樣點)，可以計算ρd的估計值，即樣本自相關系數為

當MNs足夠大時，根據文獻[16]，rd近似為高斯分布，均值。根據文獻[16]中式(8)，rd的方差和協方差分別為

和

在低信噪比情況下(S? σ2)，根據式(10)以及柯西—施瓦茲不等式，對的ρd有近似

將ρ0=1和代入式(12)和式(13)，得到和。因此，在低信噪比情況下，近似高斯分布的rd的條件概率密度函數可以分為兩部分：

其中ρd未知。盡管如此，由式(15)可以看出，當假設成立時，后半部分是近似獨立同分布的零均值復高斯隨機變量。因此，可以利用MGM方法來估計它們的數量，從而得到L的估計。根據文獻[14]中的式(6)，當假設成立時，令輔助隨機變量。則

根據文獻[14]中的式(12)，可以得到基于多徑信道記憶性的MGM為

其中

在式(18)的計算中，利用了CP的冗余性，即每個發送OFDM符號中的CP，與該符號最后Ng個采樣點相同。通過多徑信道后，CP的前L個采樣點被前一個OFDM符號所干擾。在接收端，將CP與最后Ng個采樣點相減(式(23))。在得到的差值信號中，未被干擾的部分只剩下白噪聲，且各個采樣點間獨立同分布。而被干擾的前L個采樣點，既包含白噪聲又包含干擾項，方差大于未被干擾的部分。所以，通過計算差值信號的樣本方差(式(23))，并構造輔助隨機變量ξ(d)(式(19))，代入文獻[14]中的式(12)，可以得到

(式(18))[10]。

將式(17)和式(18)代入式(6)，通過使該聯合MGM代價函數最大化，得到了信道階數的估計。將代入式(7)，最終得到噪聲方差的估計。

綜上所述，本文提出的基于聯合MGM的NDA信道階數和噪聲方差估計的主要步驟，總結如下：

4　仿真結果

為了驗證本文所提算法的估計性能，本節對算法進行了仿真，并與文獻[9]，文獻[10]，文獻[11]所提的算法進行了性能對比。采用文獻[11]設定的仿真參數，設基于QPSK調制的OFDM系統，子載波數，CP的長度，OFDM符號數。傳輸信道采用9條多徑(L =8)時不變瑞利衰落信道，功率延時譜服從指數衰減。所有仿真結果均經過105次獨立蒙特卡羅仿真得到。

圖1給出了本文算法(實線)與文獻[9]，文獻[10]，文獻[11]所提算法(虛線)關于信道階數估計性能的對比。圖1(a)中給出的是對L正確估計的概率(Probability Of Correct Detection，POCD)，圖1(b)中給出的是歸一化均方誤差(Normalized Mean Squared Error，NMSE)。的NMSE定義為。從圖中可以看出，相對于只利用了CP的方法[9-11]，額外利用的關于信道記憶性的信息將會顯著提高對L估計的準確度。本文提出的方法，在高、低信噪比區域都優于另兩種方法。在低信噪比SNR=0 dB附近，本文提出的算法大約獲得了10 dB的信噪比增益。在圖2中將會看到，隨著子載波數N的進一步增加，獲得的信噪比增益還會進一步增加。

如果固定CP的長度Ng不變，增加子載波數N將會進一步提高本文算法對L的估計精度。圖2分別給出了本文算法(實線)與文獻[9]，文獻[10]，文獻[11]所提算法(虛線)在子載波數N依次為64，128和256時的POCD和NMSE曲線。針對3種不同的N，因為CP的長度不變，僅利用CP的算法[9-11]性能并不會改變，即3條曲線重合(為清晰起見，僅標出其中一條)。而子載波數N的增大，將會增加式(11)中用于估計rd的采樣點數量。信道記憶性被估計的更準，從而最終提高的估計精度。從圖中可以看出，隨著子載波數N的增大，在低信噪比區域，文本算法對L的估計精度會不斷增加。因此，對于CP所占比例較小的OFDM系統(頻譜效率更高)，本文算法提升的性能將更為顯著。

圖1對信道階數L估計性能的對比(N=64)

圖2　子載波數N增加時本文算法對信道階數L估計性能的提升

圖3給出了本文算法(實線)與文獻[9]，文獻[10]，文獻[11]所提算法(虛線)關于噪聲方差估計的性能對比。的NMSE定義為。圖3(a)中對比了本文算法與另外3種算法[9-11]的估計性能。由于的估計精度直接取決于的估計準確度，而本文得到了更準確的，因此本文算法在低信噪比下顯著地提高了的估計精度。在圖3(b)中，針對不同的OFDM符號數M，對比了本文算法與文獻[10]和文獻[11]所提算法的估計性能。3 組NMSE曲線分別對應不同的OFDM符號數M。由圖中可以看出，隨著M的增加，噪聲方差估計的精度得到了改善。但無論對于多大的M，當SNR降低至20 dB以下時，另兩種算法[10，11]針對的估計性能都會開始惡化(曲線上揚)，這是由于對L的估計不準造成的。本文提出的算法可以更準確地估計L，從而抑制了的性能惡化，使NMSE曲線一直保持平穩。當SNR持續降低至0 dB以后，本文算法與另兩種算法[10，11]對σ2的估計性能都反而得到了提升(曲線下降)。這種現象主要是由于：在低信噪比情況下，信道階數總是欠估計(＜ L)造成的。參照式(7)，在欠估計時，更多的采樣點將會被用于估計。而當SNR低于0 dB后，接收信號的采樣點中噪聲所占的比重大于信號所占的比重。所以，在這種情況下，利用更多的“由噪聲占主要成分的采樣點”來估計噪聲的功率，將會使噪聲功率的估計精度變得更高。

5　結束語

在低信噪比情況下，針對信道階數和噪聲方差估計精度迅速惡化的問題，本文提出了一種新的代價函數，并基于該代價函數提出了一套新的針對OFDM系統的NDA信道階數和噪聲方差的估計算法。新的代價函數聯合了兩部分信息：CP冗余性和信道記憶性。在低信噪比情況下，額外利用的信道記憶性，能夠顯著地提高估計算法的精度，從而得到關于信道階數和噪聲方差更準確的估計。仿真結果表明，在低信噪比區域，信道階數的估計得到了約10 dB的信噪比增益，而噪聲方差的估計精度也得到了顯著提升，抑制了信噪比20 dB以下性能惡化的現象。

圖3　對噪聲方差估計性能的對比(N=64)

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王東：男，1981年生，博士生，研究方向為數字信號處理和信號的檢測與估計.

趙加祥：男，1961年生，教授，博士生導師，研究方向為無線通信技術和信號與信息處理.

喻麗紅：女，1988年生，博士生，研究方向為數字信號處理.

The Non-data-aided Channel Order and Noise Variance Estimation in the Low SNR Region of OFDM Signals

WANG Dong①ZHAO Jiaxiang②YU Lihong①
①(College of Computer and Control Engineering，Nankai University，Tianjin 300071，China)
②(College of Electronic Information and Optical Engineering，Nankai University，Tianjin 300071，China)

Abstract:This paper proposes a new Non-Data-Aided(NDA)scheme to estimate the channel order and noise variance in the low Signal to Noise Ratio(SNR)region of Orthogonal Frequency Division Multiplexing(OFDM)signals.In this scheme，a new cost function is derived based on the joint Maximum Geometric Mean(MGM)which relies on both the Cyclic Prefix(CP)redundancy and channel memory.Compared with the schemes which only rely on the CP，more accurate estimations of channel order and noise variance can be obtained from this joint MGM cost function.Simulation results show that the proposed channel order estimator gets approximately 10 dB SNR gain in the low SNR region.Meanwhile，the proposed noise variance estimator outperforms significantly the other existing NDA algorithms，and suppresses the performance deterioration when SNR below 20 dB.

Key words:OFDM; Channel order and noise variance estimation; Low SNR; Non-Data-Aided(NDA); Joint Maximum Geometric Mean(MGM)

基金項目：天津市應用基礎與前沿技術研究計劃(14JCYBJC16100)

*通信作者：趙加祥 zhaojx@nankai.edu.cn

收稿日期：2015-05-21；改回日期：2015-11-04；網絡出版：2015-12-18

DOI:10.11999/JEIT150599

中圖分類號：TN92

文獻標識碼：A

文章編號：1009-5896(2016)02-0276-06

Foundation Item:Natural Science Foundation of Tianjin(14JCYBJC16100)