二元函數與一元函數的幾個轉化問題*

葉建兵

(南京理工大學 泰州科技學院，江蘇 泰州 225300)

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二元函數與一元函數的幾個轉化問題*

葉建兵

(南京理工大學 泰州科技學院，江蘇 泰州 225300)

摘要：討論了二元函數與一元函數在極限、增量、積分等方面的幾個轉化問題，特別指出應慎重使用極坐標計算二元函數極限，并輔以實例加以說明。

關鍵詞：二元函數；一元函數；極限；方向極限；增量；積分；轉化

0引言

二元函數微積分與一元函數微積分是高等數學教學的主要內容，通常在教學過程希望學生注意兩者之間的聯系與區別。本文將介紹二元函數與一元函數在極限、增量、積分等方面的幾個轉化問題，分析討論文獻中的一些結論，指出已有文獻中關于二元函數極限的一個謬誤，并輔以實例加以說明，展示轉化想法的巧妙，以及給解題帶來的方便。

1二元函數極限轉化為一元函數極限

文獻[1]提出了一種將二元函數極限存在性的判斷及求法轉化為一元函數極限的方法，主要結論如下：

當α∈[0,2π]，且α≠0，π，2π時，

當α∈[0,2π]，且α=0，π，2π時，

因此，沿著直線l，不管α∈[0,2π]取何值，當t→0+，總有f(x,y)→0。

(2)取拋物線路徑y=kx2，k≠0，則

此時有

對于在計算二元函數極限時能否使用極坐標的問題，文獻[4]認為若動點(x,y)的極徑t→0+時，幅角α∈[0,2π]具有任意性，這樣就保證了動點(x,y)趨向于定點(x0,y0)的路徑具有任意性。這一觀點比較粗糙，表述也比較模糊，易使人誤解其結論與文獻[1]相同。

為討論二元函數極限與一元函數極限的關系，給出“方向極限”的定義。

例1表明方向極限存在尚不能保證二元函數極限的存在性，需要加強條件。

下面的定理3精確地解決了能否用極坐標計算二元函數極限的問題，其中第二個條件實際上給出了幅角一致性的一個判別方法。

至此，本文糾正了文獻[1]的謬誤并澄清了文獻[4]的結論：方向極限的存在性不能推出二元函數極限的存在性，不能輕易地把極坐標方法求出的方向極限作為二元函數的極限，用極坐標方法求二元函數的極限應慎重。

2二元函數增量轉化為一元函數增量

對于二元函數問題中經常涉及到的函數值增量f(x2,y2)-f(x1,y1)，可以用“直線法”將該增量形式轉化為一元函數的增量[6]。令

x=x1+t(x2-x1)，y=y1+t(y2-y1)，t∈[0,1]，

這種表示法實質是利用了連接(x1,y1)與(x2,y2)兩點線段的參數方程。由于(x1,y1)，(x2,y2)是固定的兩點，于是，

二元函數的增量f(x2,y2)-f(x1,y1)轉化為一元函數φ(t)在[0,1]上的增量：

f(x2,y2)-f(x1,y1)=φ(1)-φ(0)。

用此方法證明例2(二元函數的拉格朗日中值定理)和例3(二元函數的柯西中值定理)[7]，例2是2012年江蘇省普通高等學校非理科專業高等數學競賽試題。

例2設函數f(x,y)在平面區域D上可微，線段PQ位于D內。已知點P、Q的坐標分別為(a,b)、(x,y)，求證：在線段PQ上存在點M(ξ,η)，使得

f(x,y)-f(a,b)=φ(1)-φ(0)。

因φ(t)在[0,1]上連續，在(0,1)內可導，則存在θ∈(0,1)，使得

f(x,y)-f(a,b)=φ(1)-φ(0)=φ′(θ)(1-0)=φ′(θ)。

另一方面，由全導數的計算，得

令ξ=a+θ(x-a)，η=b+θ(y-b)，則

因θ∈(0,1)，則點M(ξ,η)一定位于線段PQ上，從而

移項即得二元函數的拉格朗日中值定理。

例3[7]設二元函數f(x,y)和g(x,y)滿足：(1)在點P0(x0,y0)處連續；(2)在去心鄰域Uo(P0,δ)內可微，dg≠0，則對?P(x0+Δx,y0+Δy)∈Uo(P0,δ)，存在ξ=x0+θΔx，η=y0+θΔy，θ∈(0,1)，使得

證用直線法引進兩個輔助函數

φ(t)=f(x0+tΔx,y0+tΔy)，ψ(t)=g(x0+tΔx,y0+tΔy)，

則

對上式的右端用一元函數的柯西中值定理，得

仿例2求全導數的計算，得

且ξ=x0+θΔx，η=y0+θΔy．綜上即得二元函數的柯西中值定理。

事實上，這里將二元函數增量轉化為一元函數增量的方法是微積分中的經典方法。多元連續函數的性質、多元函數的微分中值定理(包括多元函數泰勒公式)等的推導用的就是這種方法。就平面區域而言，該方法的本質是平面區域的連通性保證了其上任意兩點可用含于其內的直線(折線)連接起來，從而當二元函數被限制在直線(折線)上時可轉化為一元函數問題進行討論[8]。

3一元函數定積分轉化為二重積分

另一方面，若將

證注意到

容易求得

從而

4結語

本文討論了二元函數與一元函數在極限、增量、積分等方面的幾個轉化問題。針對已有文獻提出用極坐標求二元函數極限的方法，通過對二元函數極限本質及實例的分析，本文指出了其中的謬誤，討論并澄清了方向極限與二元函數極限的關系，特別指出應慎重使用極坐標方法計算二元函數極限．其他的兩個轉化問題則顯得非常巧妙，通過有效的轉化建立起新舊知識之間的聯系，可以從新的角度認識問題，常使人有“柳暗花明又一村”的感覺。

參考文獻：

[1]丁殿坤，呂端良，李淑英．多元函數極限的一種求法[J]．南陽師范學院學報，2004，3(12)：25-27.

[2]蔡燧林．高等數學例題精選：高等數學競賽培訓教程[M]．北京：清華大學出版社，2011.

[3]華東師范大學數學系．數學分析：下冊[M]．3版．北京：高等教育出版社，2001.

[4]羅俊芝．能否用極坐標方法求二重極限[J]．高等數學研究，2007，10(2)：18-19，27.

[5]裴禮文. 數學分析中的典型問題與方法[M]．北京：高等教育出版社，1993.

[6]石秀文．轉化思想在數學分析中的應用[J]．高等數學研究，2014，17(2)：31-35.

[7]李勇，汪民樂，杜萍．多元函數的L′Hosipital法則及應用[J]．大學數學，2012，28(3)：123-127.

[8]尹洪武，張步英，王群.一類非線性拋物方程的高精度有限元分析[J].河北科技師范學院學報，2013(2)：53-57.

責任編輯：程艷艷

Some Transformations between Binary Function and One Variate Function

YE Jianbing

(Taizhou Institute of Science and Technology, Nanjing University of Science and Technology, Taizhou 225300, China)

Abstract：This paper discusses the transformations between binary function and one variate function in terms of limit, increment and integration. Particularly, it is pointed out that the polar coordinate should be carefully used to calculate the limit of binary function. Several examples are given to explain the transformations.

Keywords：binary function; one variate function; limit; directional limit; increment; integration; transformation

中圖分類號：O172

文獻標志碼：A

文章編號：1009-3907(2016)02-0023-05

作者簡介：葉建兵(1981-)，男，江蘇泰興人，講師，碩士，主要從事多尺度幾何分析與圖像處理研究。

基金項目：2015年江蘇省高等教育教改研究立項課題(2015JSJG565)

收稿日期：2015-10-26