彈性地基上輸流管道主參數共振的主動振動控制

王忠民， 鄒德志， 姜全友(西安理工大學 土木建筑工程學院，西安　710048)

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彈性地基上輸流管道主參數共振的主動振動控制

王忠民， 鄒德志， 姜全友(西安理工大學 土木建筑工程學院，西安710048)

摘要：研究了彈性地基上輸送脈動流管道主參數共振的主動振動控制問題。在管道上、下兩側對稱的粘貼一對陶瓷壓電片，利用壓電效應使壓電片對管道施加控制力矩。對運動微分方程中由控制力矩產生的Dirac Delta函數對軸向坐標的一階導數，利用Fourier級數進行展開，再采用微分求積法對控制微分方程和邊界條件進行離散化處理，得到了時變系統的狀態方程。以管道的橫向振動變形和輸入控制能量之和達到最小的最優控制原則，對簡支輸送脈動流管道的時變系統受控前后某些點的撓度響應進行了數值仿真。數值計算結果表明，采用的最優控制方案能有效地控制輸送脈動流管道的主參數共振問題。

關鍵詞：輸送脈動流管道；彈性地基；微分求積法；最優控制法；壓電效應

管道在用于長距離輸送石油、天然氣或水時，常常被鋪設于地下介質中，可簡化為彈性地基上的輸流管道。多年來，管道振動的控制問題已引起國內外學者的高度重視，一些行之有效的控制方法已被廣泛地應用于工程實際中。特別是隨著壓電智能材料的出現，利用壓電材料結合系統動力學、自動控制、測試技術等對振動進行主動控制技術已成為當今振動工程領域一項重要技術。在彈性地基上的輸流管道的振動和穩定性研究方面，王忠民等[1]用冪級數法計算了Winkler模型地基和雙參數模型地基輸流管道的臨界流速和復頻率，分析了彈性地基對輸流管道靜力和動力穩定性的影響。王忠民等[2]分析了Kelvin Voigt黏彈性地基上三參量固體模型輸流管道的穩定性問題；同年，王忠民等[3]基于Floquet理論，分析了彈性地基上輸送振蕩流黏彈性管道的動力穩定性區域和不穩定區域。Vassilev等[4]采用Galerkin法和打靶法，分析了變彈性模量Winkler地基模型上懸臂Kelvin模型黏彈性輸流管道的動力穩定性。包日東等[5]分析了兩端彈性支承輸流管道的失穩臨界流速，分析了彈性支承剛度、質量比、流體壓力和軸向力對失穩臨界流速的影響。梁峰等[6]應用復模態方法和平均法研究了Pasternak雙參數彈性地基上兩端固定輸流管道的靜態和動態穩定性問題，討論了地基的線性剛度、剪切剛度及一些管道參數對系統穩定性的影響。梁峰等[7]應用Galerkin法和復模態法研究了Winkler彈性地基上兩端簡支輸流管道的臨界流速。在輸流管道的振動控制研究方面，鄒光勝等[8]對具有線性彈簧支承和三次方非線性運動約束的懸臂輸流管道，根據可同時使管道振動變形和控制輸入能量達到最小的最優控制原則設計出最優控制器，實現了對輸流管道的振動控制。張鎧鋒[9]對脈動流下兩端固定輸流管道振動問題，設計了自適應控制器，并驗證控制器的有效性。梁峰[10]采用陶瓷壓電片作為控制激勵器和模態傳感器，對彈性地基上脈動流管道的參數共振實施了主動控制。梁建術等[11]應用伽遼金法將運動方程轉化成在狀態空間下的全耦合有限元方程，分析了折彎式管道高頻振蕩流體載荷作用下管道系統的耦合振動特性以及振動控制。上述對輸流管道的振動控制研究中，運動微分方程化為狀態方程采用的方法為有限元法、Galerkin法等，特別是Galerkin法受到了假設的振型函數及其項數(一般取2項)的限制，其精度和應用范圍往往有限。

本文以彈性地基上輸送脈動流的Kelvin-Voigt黏彈性管道為控制對象，在其上、下兩側對稱的粘貼一對陶瓷壓電片，利用壓電效應使壓電片對管道施加控制力矩。采用微分求積法對控制微分方程和邊界條件進行了離散化處理，得到了時變系統的狀態方程。然后以管道振動變形和輸入控制能量達到最小的最優控制原則，對時變系統的主參數共振進行了主動控制，通過數值仿真，驗證了控制效果。

1彈性地基上輸流管道的控制方程

1.1受控系統微分方程的建立

彈性地基上輸送變流速U(t)的管道如圖1所示，其地基為Pasternak雙參數模型，地基反力F與管道撓度w(x,t)之間的關系為

(1)

式中，K1為地基反力系數，Gp為地基的剪切模量。

圖1　彈性地基上輸流管道的控制系統Fig.1 Controlled system of pipe conveying fluid resting on elastic foundations

輸流管道在工作過程中若長期處于強度達到一定值的振動，極易引起疲勞而斷裂。為了抑制或消除振動，采用主動振動控制的策略是非常必要的。方法是：在管道的上、下兩側對稱的粘貼一對陶瓷壓電片，并對陶瓷壓電片施加相反的電壓，利用壓電效應使壓電片產生壓縮或延伸，從而在管道上產生一個力偶，稱為控制力偶。根據文獻[12]，陶瓷壓電片對管道作用的控制力偶的大小為

(2)

式中，ψ=EI/EAIA,EI和EAIA分別是管道和壓電片對的抗彎剛度，EA為壓電片材料的彈性模量，ro、da、t1、φ、V分別為管道的外半徑、壓電常數、壓電片的厚度、壓電片在管道外表面的包絡半角以及主動控制的輸入電壓。

(3)

對式(3)關于坐標求一階導數，到得與集中力偶相應的單位長度的分布力q(x)為

(4)

實際上，式(3)和式(4)就是從集中力偶到線分布力的轉換。

對Kelvin-Voigt黏彈性模型材料制成的輸流管道，若流體的速度U(t)隨時間變化，控制系統的運動微分方程為

(5)

1.2控制微分方程的無量綱化

為了方便起見，引入下列無量綱量

(6)

將式(6)代入式(5)，得無量綱量表示的控制方程

(7)

假設管道內流體的無量綱流速由平均流速u0與簡諧變化流速之和組成，即

u(τ)=u0[1+μcos(ωτ)]

(8)

式中，u0為平均流速，μ為簡諧激勵振幅，且μ為小于1的小量，ω為無量綱的簡諧流振動頻率，即

(9)

式中，Ω為有量綱的簡諧流頻率。

將式(8)代入式(7)得控制微分方程

(10)

式中，T=Γ-Π(1-2υδ)為預緊力。

1.3控制微分方程的離散

在控制微分方程(10)中，等號右邊的控制項出現了δ函數的一階導數，從而給問題的求解帶來了困難。解決這一問題的方法是，把δ函數的一階導數展開成傅里葉級數[13]，即

cos(nπξb)sin(nπξ)]}

(11)

式(11)的傅里葉級數展開，不僅簡化了計算，而且很方便編程，使問題的求解更容易通過計算機實現。

下面用微分求積法將方程(10)對空間坐標進行離散。微分求積法是將微分方程中函數的各階導數在給定節點處的值用全域上所有節點的函數值進行加權求和來表示，即把微分方程轉化為以節點處函數值為未知量的代數方程組。如函數f(ξ)對ξ的r階導數在點ξi處表示為

(12)

(13)

利用遞推關系得各階加權系數的關系為

(14)

把式(11)代入方程(10)，其離散方程為

sin(nπξa)sin(nπξi)]},i=2,3,…,N-1

(15)

對兩端簡支的邊界條件，采用權系數法或δ法處理。兩端簡支的邊界條件為

(16)

將方程(15)和邊界條件(16)進行整理，得到離散化后的變系數二階常微分方程組

(17)

(18)

1.4節點的選取

關于節點的選取問題，從數學的角度來看，將其取在比較靠攏邊界時，不僅減小了權系數的截斷誤差，而且提高了微分求積法的求解問題的精度。從力學的角度來看，結構的剛度一般在端點處易發生突變，這將使得端點附近的位移和內力劇烈變化，若想提高函數在這些點處的插值精度，則應在該點周圍布置比較多的節點。

采用δ法處理邊界條件時，選取非均勻節點分布形式，即

ξ1=0，ξ2=δ

ξN-1=1-δ，ξN=1

(19)

式中N為節點總數，δ一般取為10-6<δ<10-4。

2最優控制器的設計

2.1狀態方程的建立

引入狀態變量

(20)

將式(17)轉換為狀態方程

(21a)

Y=CX

(21b)

X(τ0)=X0

(22)

2.2最優控制反饋值

在式(21)中，令μ=0，得常系數狀態方程

(23a)

Y=CX

(23b)

線性二次型性能指標J為[15]

(24)

式中，加權矩陣Q通常取為對角陣，且取Q為非負定陣，文中R取為正實數。最優控制框圖如圖2所示。

圖2　最優控制框圖Fig.2 Block diagram of optimal control procedure

用極小值原理求解，存在唯一最優控制

v*(τ)=-R-1BTPX(τ)=KX(τ)

(25)

式中，K=-R-1BTP，P是正定對稱矩陣，是下列黎卡提代數方程的唯一解

(26)

最優狀態X*(τ)是下列微分方程的解

(27)

最優性能指標為

(28)

將式(25)代入式(21a)得

然后，由式(29)和初始條件式(22)求最優狀態解。

3算例與分析

在下列計算中，取式(18)中的n=103，節點總數N=15，矩陣M是11×11的單位矩陣。對彈性地基上的簡支輸流管道，考慮由于脈動流引起的第一階主參數共振的情形，即選取參數：u0=2.5，預緊力T=0，地基參數k=100，g=20，壓電片位置ξa=0.2，ξb=0.4，壓電片長度0.2，質量比Mr=0.8，無量綱黏彈性系數α=0.005，無量綱的簡諧流振動頻率ω=34[10]，激勵振幅μ=0.4。對輸流管道，在沒有控制時，即列向量D取為0，顯然B也為0向量。

在沒有控制和有控制時，狀態變量的初始值均取為

X(t0)=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-

0.01,0,0,0,0,0.01,0,0)T

在沒有控制時，令方程(21)中的D=0，計算出輸流管道上第3、5、8節點(即ξ3=0.017，ξ5=0.146，ξ8=0.5)處的無量綱撓度w3、w5、w8隨無量綱時間τ的變化關系如圖3(a)、(c)、(e)所示。可以看出，在初始階段，管道的撓度響應較小。經過一段時間后，盡管有黏彈性阻尼的存在，但脈動流引起的第一階主參數共振使得管道的撓度響應隨時間的變化越來越大，特別是第8節點(管道中點)的撓度響應較大，這將極易引起管道疲勞而斷裂，使整個系統不能正常工作。

根據上述的最優控制法，對彈性地基上輸流管道的第3、5、8節點實施主動振動控制。先根據式(18)可計算出式(17)中的列陣D，即

D=(-0.063 999 543 891 3，-0.290 095 133 779 71，

0.238 603 193 756 14，-2.737 827 827 655 61，

1.097 682 790 151 35， 0.628 318 530 718 62，

-0.047 276 181 843 99， 0.072 098 064 761 90，

0.005 755 692 081 44，-0.014 254 209 214 95，

0.003 539 043 761 09)T×104

再選取Q=qI (I為單位矩陣)，加權系數q=1，R=4。利用式(29)和選取的初始條件式(22)可以計算出控制后第3、5、8節點的響應如圖3 (b)、(d)、(f)所示。由圖可以看出，三個節點的無量綱撓度幅值經過較短的無量綱時間后，管道的第一階主參數共振現象將消失，并趨于穩定的平衡位置。

圖3　控制前、后第3、5、8節點無量綱撓度隨無量綱時間的變化曲線Fig. 3 The variation between dimensionless deflections of node 3, 5, 8 and dimensionless time under uncontrolled and controlled state

4結論

對彈性地基上輸送脈動流的黏彈性管道主參數共振問題，在其上、下兩側對稱的粘貼一對陶瓷壓電片，基于最優控制理論，對其進行了主動振動控制，結論如下：

(1) 對運動微分方程中由控制力矩出現的Dirac Delta函數對軸向坐標的一階導數，利用Fourier級數對其進行展開，然后采用微分求積法離散方程和邊界條件。與傳統的Galerkin法離散相比，有效避免了假設模態函數及其項數的選取，且適合于各種邊界條件輸流管道運動微分方程的離散。

(2) 對彈性地基上輸送脈動流的管道采用最優控制法時，狀態方程是時變的。首先對去掉脈動部分后的定常系數狀態方程求解最優反饋控制值，然后再對時變的狀態方程進行求解。結果表明，本文給出的控制器可以使輸流管道的主參數共振在較短時間內得到很好的擬制，控制效果良好。

參 考 文 獻

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Active vibration control for principal parametric resonance of pipes conveying fluid resting on an elastic foundations

WANGZhong-min,ZOUDe-zhi,JIANGQuan-you

(School of Civil Engineering and Architecture, Xi’an University of Technology, Xi’an 710048, China)

Abstract:The active vibration control for principal parametric resonance of a pipe conveying pulsating fluid resting on an elastic foundation was studied. Using piezoelectric effect of piezoelectric materials, a pair of piezoelectric ceramic patches was pasted symmetrically on above and below the pipe to impose control moment to the pipe. The first derivative of Dirac Delta function with respect to the axial coordinate resulting from a control moment term of the differential equations of motion was expanded to a Fourier series. Employing the differential quadrature method, the differential equations of motion and boundary condition of the pipe were discretized, and then the state equations for the time-varying system were derived. The target of the optimal control was that the sum of transverse vibration energy of the pipe conveying fluid and the input control energy could be minimized simultaneously. The numerical simulations for some points’ deflection responses of a simply supported pipe conveying pulsating fluid were implemented under uncontrolled and controlled. The numerical results showed that the optimal control scheme can effectively control the principal parametric resonance of the pipe conveying pulsating fluid.

Key words:pipes conveying pulsating fluid; elastic foundation; differential quadrature method; optimal control method; piezoelectric effect

中圖分類號:TV134

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.04.029

收稿日期：2014-07-18修改稿收到日期：2015-01-20

基金項目：國家自然科學基金(11272254);陜西省自然科學基礎研究計劃項目(2015JM1029)

第一作者 王忠民 男，博士, 教授, 博士生導師，1957年6月生