充液貯箱液固耦合振動模態與阻尼比研究

沈　驥， 張美艷， 唐國安

(復旦大學 力學與工程科學系，上?！?00433)

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充液貯箱液固耦合振動模態與阻尼比研究

沈驥， 張美艷， 唐國安

(復旦大學 力學與工程科學系，上海200433)

摘要：對于液體運載火箭縱向振動的穩定性分析，在建立貯箱內液體的振動模型時，不僅需要考慮結構的彈性特性，還需要考慮液體晃動時的阻尼特性。由于模態阻尼比與一個振動周期內阻尼力做功、平均機械能及模態固有頻率相關。因此可以先通過結構與液體的耦合振動分析確定其模態，進而分別計算液體與結構接觸面、自由面以及液體內部阻尼力做功，同時計算平均機械能，從而得到模態阻尼比。在計算模態阻尼比時，對耦合振動的模態分析、液體內部流場計算均采用等效比擬的方法，為充分利用通用程序計算創造了條件。此方法不僅能夠提高效率，同時也便于工程上的應用。

關鍵詞：液固耦合振動；充液貯箱；模態；阻尼比

充液貯箱在許多工程領域都有所利用，例如航天、石化、船舶、水利水電等領域。特別在航天領域，隨著液體火箭任務目的、航程、性能和材料的發展，其貯液箱內液體所占比重越來越大，液體和結構耦合作用對箭體的影響越發明顯，因此對耦合作用的研究也愈發重要。在進行液固耦合問題的動力學分析時，以往學者關注于模態頻率和振型的分析。但是在分析穩定性與響應時需要對耦合阻尼進行更深入的研究[1]。

在流體力學中，因為N-S方程的非線性性具有一定的復雜度。通常通過簡化流場區域、給定邊界條件和一些近似假設而獲得近似結果。在模態分析中，Fox等[2]討論了不同形狀的剛性二維貯箱問題，并對求解方法進行了歸類。朱琳等[3]建立了基于有限元方法的液固耦合模態分析方法，并對三維圓柱形貯箱建模。朱昶帆等[4]建立了用通用軟件實現液固耦合模態分析的方法。而阻尼分析中，Case等[5]計算了不可壓縮流體的表面波阻尼。Henderson等[6]采用邊界層假設獲得三維圓柱形剛性貯箱的阻尼比。Miles等[7]在Martel等[8]的基礎上用內部耗散對阻尼比進行修正并獲得更符合實驗的結果，王為等[9-10]引入自由面潔凈系數并與幾種液體的實驗結果相比較。夏恒新等[11]計算了帶半球形底的剛體圓柱并與實驗結果對比。

本文在以上方法的基礎上，對三維圓柱形貯箱液固耦合問題進行分析。通過小幅晃動和理想流體假設，用標準的有限元方法獲得非對稱形式液固耦合方程組。將此方程組經過自由面縮聚和主坐標變換后獲得對稱形式高度降階的主坐標下的液固耦合方程組。將經過特征值計算獲得的自由面主坐標模態通過熱流比擬的方法還原成全流場模態，進而采用邊界層理論處理粘性耗散得到模態阻尼比。

1充液貯箱液固耦合振動的模態阻尼比

1.1彈性結構與理想流體的耦合振動模態分析

貯箱液固耦合問題可以近似為無黏、無旋、不可壓縮的理想流體在彈性貯箱結構內的小幅線性晃動問題。

貯箱內液體滿足Laplace方程，液固接觸面上滿足運動邊界條件，自由面上滿足幾何邊界條件：

▽2p=0 液體所占區域內部

(1)

(2)

(3)

式中：p是液體的壓強，n是液體的外法線方向，ρf為液體的密度，un為結構沿外法向的位移。

貯箱結構運動方程：

(4)

式中：Ms,Ks分別為結構的質量、剛度矩陣，qsf為液體作用在結構上的等效節點力向量。

根據液體的控制方程和邊界條件及結構運動方程，用有限元加權參數方法獲得液固耦合非對稱形式的方程：

(5)

式中：Mf,Kf分別是液體的質量、剛度矩陣，L為液體對結構的作用矩陣。

經過自由面縮聚和主坐標變換，得到對稱形式的液體與結構耦合振動方程：

(6)

式中，ξE為自由面主坐標，u為結構的位移向量。

為獲得模態頻率和振型，朱昶帆等[4]將自由面主坐標與結構位移向量時空分離：

(7)

將式(7)代入式(6)獲得特征方程：

(8)

求解特征方程(8)獲得各階模態固有頻率及對應的自由面主坐標和結構位移的模態振型。

為了求模態阻尼比需要全流場的壓力模態振型。

假定壓力函數也是時空分離的：

p=Peiωt

(9)

(10)

根據式(7)獲得結構模態加速度：

(11)

進行熱流比擬。因為控制方程式(1)與溫度的Laplace方程形式一致，所以將節點壓力模態P比擬為節點溫度模態T。自由面上采用固定溫度的邊界條件，將式(10)中自由面節點壓力比擬為自由面節點溫度。接觸面采用熱流輸入的邊界條件，因為邊界條件式(2)與熱流輸入邊界條件形式一致，將式(11)中結構位移加速度比擬為熱流輸入。通過Nastran內置的熱流模塊計算出全流場節點溫度T，即全流場節點壓力P。

1.2黏性耗散及其模態阻尼比計算

根據文獻[6]，液體的黏性耗散在不考慮毛細效應時，體現為液固接觸面耗散、自由面耗散和內部耗散。根據Stokes邊界層假設，在小Re數假設下，液體在邊界層內流動遵從擴散方程：

(12)

在流體內部滿足理想流體假設，存在速度勢函數，自由晃動條件下，將勢函數時空分離，同時因為速度勢和速度的關系，u0也可以表示為時空分離的形式：

(13)

在液固接觸面上一個晃動周期內的平均能量耗散率為：

(14)

根據文獻[6]，在表面張力及自由面潔凈情況等影響下自由面耗散和接觸面耗散是同量級的，可以采用同樣的邊界層假設，文獻[10]中引入系數α，通過的α變化表征自由面耗散情況，當α=0時表征自由面完全無耗散。

在自由面上一個晃動周期內的平均能量耗散率為：

(15)

式中，Γf為液體自由面。

則邊界層內總耗散為液固接觸面耗散與自由面耗散之和：

D=Dw+Df

(16)

液體的內部耗散：

根據文獻[7]，液體的內部耗散和表面耗散相比是可比較的。忽略高階項時可采用近似公式：

(17)

式中，?n為外法線方向偏導數。

液體的機械能：

采用奧-高公式，將體積分轉為面積分，則液體的一個周期內的平均機械能為：

液體晃動一個周期的阻尼比：

(18)

由于式(18)的模態阻尼比是關于勢函數的，而上節推導出的流場模態是關于壓力函數，所以需要得到模態阻尼比關于壓力函數的阻尼比表達。

拉格朗日積分得到液體勢函數與壓力函數關系：

(19)

由于壓力函數和勢函數都是時空分離的，得到

(20)

將式(20)代入公式(18)，得到

(21)

因此在計算阻尼比的時候可以采用壓力函數替代勢函數。運用有限元方法對理想流體問題得到的流域節點壓力進行插值，獲得所需的節點一階及二階導數，進而得到阻尼比。

綜上所述，在計算彈性貯箱液固耦合振動阻尼比時，可采用先將問題簡化為理想流體與彈性結構的液固耦合，獲得理想流體的流場節點壓力，再引入邊界層耗散用節點壓力及其導數獲得阻尼比。

2計算實例

2.1無限長二維彈性底板矩形槽模型

結構為如圖1所示的無限長矩形截面槽，截面兩側壁面為剛性，底面為彈性薄板，彈性模量E=200 GPa，密度ρs=7 800 kg/m3，槽內充液的液體密度為ρf=1 000 kg/m3，運動黏度系數ν=1×10-6m2/s。假定自由面為潔凈的，潔凈系數α=0。在二維情況下，底邊無限長彈性薄板的平面應變運動方程可以等效為梁的運動方程。通過截斷級數的半解析方法獲得流場，并計算阻尼比，與相同幾何形狀的底面也為剛體模型的解析結果比較。

圖1　無限長二維彈性底板矩形槽簡圖Fig.1 Infinite long 2D elastic bottom rectangular canal

表1、2為彈性底板矩形槽模型與相同幾何形狀的全剛性壁面矩形槽模型的結果對比。分別對比淺水和深水(充液深度0.2 m和0.8 m)的前三階情況，對應的模態振型為圖2。其中，R1為邊界層阻尼比，R2為邊界層與內部之和的總阻尼比，i/s為內部耗散Di與邊界層耗散D的比值。

表1　淺水時(0.2 m)彈性底板矩形槽與全剛矩形槽比較

表2　深水時(0.8 m)彈性底板矩形槽與全剛矩形槽比較

在充液深度為0.2 m時，第2階模態，底部彈性模型和剛性模型的頻率有較大差別，邊界層阻尼比及總阻尼比也有較大差別，從模態振型(圖2)可以看出，和第1、第3階模態相比，第2階模態液固耦合比較明顯，屬于耦合振動模態。在充液深度為0.8 m時，雖然彈性底部模型和剛性模型第3階模態的頻率基本相同，但是模態振型圖中該階模態液固耦合明顯，在邊界層阻尼比及總阻尼比上也具有較大差別。在淺水和深水情況下，在液固耦合不明顯的各階模態中(0.2 m的第1第3階，0.8 m的第1第2階)，彈性底部模型和剛性模型阻尼比基本一致，說明在液固耦合不明顯的模態上，使用剛性模型進行近似也是合理和比較準確的。但是在液固耦合明顯的模態上，使用彈性模型會有較大改進。

圖2　彈性底板矩形槽模態振型圖Fig.2 Elastic bottom canal modal shapes

2.2三維圓柱形貯箱模型

此模型模態頻率和自由面振型取自文獻[3]。

三維圓柱形貯箱模型幾何尺寸如圖3，材料彈性模量E=68 GPa，泊松比σ=0.33，前后短柱殼厚度6.92 mm，前后底扁球殼厚度2.0 mm，中間柱殼厚度4.95 mm。液體自由面高度為8 000 mm，密度ρ=1 000 kg/m3，運動黏度系數ν=1×10-6m2/s，潔凈系數α=1。

圖3　三維圓柱形貯箱模型簡圖Fig.3 3D circular cylinder tank model sketch

運動黏度為ν=1×10-6m2/s時，三維圓柱形貯箱模型中，各階模態邊界層阻尼比(R1)均為10的-4次方量級，內部耗散與邊界層耗散比值為10的-2次方量級，見表3。在液固耦合不明顯的模態上(第5、8、14、19階)，內部耗散與邊界層耗散的比值大約2%～3%，與文獻[6]中，剛性壁面假設時，兩者比值相近。

表3　三維圓柱形貯箱一些模態阻尼比

2.3三維圓柱形貯箱模型2

模型采用和2.2中相同模型貯箱，在模型設定相同的情況下，將底部材料彈性模量增加10倍，材料彈性模量E=6.8×1011Pa。將剛性底部情況與2.2中的標準情況相比較。

在液固耦合不明顯的模態上，剛底情況與標準情況模態和阻尼比基本一致，見表4。說明在液固耦合不明顯的模態上，采用剛性假設也能獲得較為精確的模態頻率和阻尼比結果。

表4　剛底情況與標準情況比較

而在液固耦合振動模態上，通過模態振型比較，得到剛底情況第64、67、91，106階與標準情況第64、67、91、104階模態分別對應，見表5。說明在可以比較的模態上，兩種情況的模態頻率和阻尼比計算結果差別不大。但是，底部剛度對貯箱液固耦合部分模態振型影響較大，會出現部分模態增加和減少的現象。因此在計算三維圓柱形貯箱模態阻尼比時需要考慮彈性貯箱液固耦合的影響。

表5　剛底情況與標準情況比較2

3結論

本文在彈性貯箱液固耦合理論和剛性容器液體小幅晃動阻尼理論基礎上，建立了液體在彈性容器內的小幅晃動阻尼計算方法。用熱流比擬的方法，處理通過自由面縮聚和主坐標表示的液固耦合動力學方程的模態，得到流場。并用小幅晃動理論獲得模態阻尼比。

本文通過比較二維半解析模型與剛體模型，發現在液固耦合模態下的彈性模型與剛體模型的阻尼比有一定的差別，驗證了在某些頻率上采用液固耦合模型在阻尼比精度上比剛體假設有較大改善。而三維圓柱形貯箱模型的有限元計算表明，應用本文的方法，能夠高效、即時獲取一定液高下液固耦合模態、流場和模態阻尼比，為工程上更高精度建模進行動力學分析，設計防晃裝置以降低液體火箭貯箱晃動等實踐提供了分析基礎。

參 考 文 獻

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Fluid-structure coupled vibration modes and damping ratios for a liquid-filled contained

SHENJi,ZHANGMei-yan,TANGGuo-an

(Department of Mechanics & Engineering Science, Fudan University, Shanghai 200433, China)

Abstract:When conducting the stability analysis for longitudinal vibration of a liquid-carried rocket and establishing the vibration model of liquid inside the tank, the elastic characteristics of the structure should be considered, the damping character of liquid shaking should also be considered. Due to the fact that a modal damping ratio is correlated to the work of damping force per vibration period, mean mechanical energy, and the modal natural frequency, the fluid-structure coupled vibration modes were determined via analyzing the coupled vibrations of structure and liquid, and then the works done by the damping force on the contact surface between liquid and structure that on the free surface and the inner damping force were calculated, the mean mechanical energy was also computed, so as to achieve the modal damping ratio. The heat flux analogy method was adopted in the modal analysis of coupled vibration and the calculation of liquid inner fluid-field to take full advantages of a general program. This method not only improved the efficiency, but also facilitated engineering applications.

Key words:liquid-structure coupled vibration; tank; mode; damping ratio

中圖分類號:O327；O353

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.04.015

通信作者唐國安 男，教授，博士生導師，1962年10月生

收稿日期：2014-12-19修改稿收到日期：2015-03-07

基金項目：國家自然科學基金(11202052)

第一作者 沈驥 男，碩士生，1989年12月生