金屬橡膠消極減振系統復雜響應特性研究

李玉龍, 白鴻柏, 何忠波, 路純紅

(軍械工程學院 車輛與電氣工程系,石家莊　050003)

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金屬橡膠消極減振系統復雜響應特性研究

李玉龍, 白鴻柏, 何忠波, 路純紅

(軍械工程學院 車輛與電氣工程系,石家莊050003)

摘要：對金屬橡膠非線性消極減振系統的復雜響應特性進行了研究，基于減振器的雙折線本構關系對隔振器的遲滯恢復力進行了線性等效，推導了減振系統的狀態方程；對減振器進行了動態加載實驗，利用實驗數據識別得到了減振器的實際物理參數；利用辨識得到的有量綱的物理參數對系統進行數值仿真，繪制了系統隨激勵幅值和頻率變化的分岔圖，確定了系統產生混沌振動的參數區間，分析了金屬橡膠減振系統的單頻輸入多頻甚至寬頻輸出的復雜響應特性，并通過振動實驗進行了驗證。

關鍵詞：金屬橡膠；非線性；減振系統；響應特性；混沌

金屬橡膠是經特殊工藝將一定質量的金屬絲有序地排放在模具中，通過沖壓或碾壓成型的方法制成的彈性多孔金屬材料。其內部有很多孔洞，既呈現類似橡膠材料的彈性和阻尼性能，同時又保持金屬的優異特性，故稱其為金屬橡膠(Metal Rubber)。該材料具有明顯的非線性動力學特性，目前已在高技術武器裝備減振緩沖領域得到了廣泛的應用[1-2]。

金屬橡膠作為應用日益廣泛的結構功能材料，其制備、建模、理論分析及響應計算等方面已有較多的研究成果[3-6]。但由于該材料具有突出的結構非線性、幾何非線性、材料非線性等非線性性能，使其宏觀上表現出明顯的遲滯非線性特性，而且隨著振動頻率和幅值的變化，系統的振動穩定性發生變化，會出現不穩定區域，因此其響應特性非常復雜[7-8]。研究發現，對一定參數的金屬橡膠減振系統，在一定的激勵條件下，不僅有多種頻率輸出[9]，還有可能產生混沌振動[10]，頻域上表現出單頻輸入多頻或寬頻輸出的復雜特性，這一特性可以大幅改變結構振動中噪聲輸出的線譜成分，在消除線譜激勵方面具有明顯的優勢，對提高船艦的隱身性能非常有效[11-15]，所以，研究金屬橡膠減振系統的復雜響應特性對金屬橡膠材料在船艦裝備中的進一步應用，以提高船艦隱身性能具有重要的指導意義。但是，通過查閱文獻可知，對金屬橡膠非線性減振系統的混沌研究，大多是將非線性振動微分方程化成無量綱參數方程，通過選取適當的無量綱參數取值來研究非線性系統的混沌振動，而由于金屬橡膠材料制備工藝的限制，目前難以制備出各參數均為理想設計取值的構件，一般都僅近似滿足剛度參數，而阻尼及遲滯環節的參數難以控制。因此，即使掌握了無量綱參數的取值，也難以直接在工程應用中實現。

本文針對金屬橡膠非線性消極減振系統的復雜響應特性展開研究，根據制備金屬橡膠工藝的特點，先對制備的減振器進行正弦加載試驗，通過試驗數據辨識獲取減振器力學模型的參數取值，然后再利用有量綱的減振系統參數進行相關數值仿真與試驗分析，擬得到有量綱的減振系統參數下，系統產生多頻振動或混沌運動的激勵條件，研究內容將對金屬橡膠減振系統在工程實際中的應用具有重要的指導價值。

1金屬橡膠消極減振系統力學模型

對于常見的單自由度金屬橡膠消極減振系統，作如下假設：① 剛性設備被一個單向金屬橡膠減振器支撐；② 只考慮垂直方向的振動；③ 忽略減振器的質量，以減振器的靜平衡位置為坐標原點，系統力學模型如圖1所示。

圖1　單自由度金屬橡膠消極減振系統力學模型Fig.1 The mechanical model of one DOF metal rubber vibration isolation system

圖1中，m為被減振設備的質量，x1(t)為基座振動位移，x2(t)為設備的絕對位移，令x(t)=x2(t)-x1(t)為金屬橡膠減振器的變形，減振器的雙折線泛函本構關系式為[2]

(1)

式中：F(t)為金屬橡膠減振器的恢復力，k1為一次線性剛度系數，k3為三次非線性剛度系數，c為黏彈阻尼系數，它們形成與位移有關的彈性力和與速度有關的等效粘性阻尼力，通常被認為是無記憶恢復力；ks為滑移剛度，xs為滑移極限，zs為最大滑移恢復力，z(t)是金屬橡膠變形過程中干摩擦引起的記憶恢復力，由于該記憶恢復力的存在，金屬橡膠減振系統一般表現出明顯的滯后非線性性能。

將記憶恢復力用雙折線模型表示[3]，如圖2所示。

圖2　雙折線遲滯關系模型Fig.2 Double broken linear hysteresis model

圖2中xm為最大變形量，正弦加載情況下，xm與加載幅值相等，且一般有xm?xs。為簡化分析，用等效線性化法常對遲滯環節進行等效線性化[2]，有

(2a)

(2b)

將記憶環節進行線性等效，即包含變化的剛度項kd和變化的阻尼項cd，這樣金屬橡膠減振器在減振系統中的本構關系可寫為：

F(t)=[k1x(t)+k3x3(t)]+

(3)

令k=k1+kd，c=c1+cd，并假設減振器的質量很小，忽略不計，則圖1所示的單自由度金屬橡膠非線性消極減振系統的微分方程可寫為：

(4)

若基座做簡諧振動x1(t)=Acos(2πft)，A為基座振動振幅，f為基座振動頻率，則式(4)可寫成：

(5)

由式(5)可以看出，通過對金屬橡膠非線性減振系統遲滯環節進行等效線性簡化，可以將其微分方程轉化成Duffing方程的形式，如果方程(5)中的參數可以任意取值，系統必然會在某參數區間內產生混沌振動[16-17]。但是必須指出，由于目前金屬橡膠元件制備工藝的限制，一般都需要進行多次試制，并通過試驗來獲取元件的大概性能參數，難以直接設計得到準確參數的元件。而且反復試制對制備工藝的調整，只能粗略的改變元件各參數取值到一定的范圍，依然無法獲得k1、kd、k3、c1、cd的精確取值。所以，對金屬橡膠減振系統的響應分析，必須首先對減振器進行動態試驗，并利用試驗數據識別出各參數的準確值，才能進一步進行數值計算以得到系統最貼近真實情況的響應。

2金屬橡膠減振器試驗及其參數識別

常用的單自由度金屬橡膠減振器結構及制備的金屬橡膠減振元件如圖3所示，采用上下兩塊金屬橡膠元件并聯組合使用，能夠使金屬橡膠減振器具有在整體上的拉壓一致性[4]，從而獲得穩定的減振性能。

圖3　金屬橡膠減振器Fig.3 Metal rubber damper

對減振器進行正弦加載試驗，加載頻率為1 Hz，幅值為2 mm，試驗結果如圖4所示。

圖4　動態試驗結果及辨識結果Fig.4 Dynamic experiment andthe result

用遺傳算法對動態試驗數據進行參數識別[18]，可得式(1)中各參數的識別結果為k1=133.55 N/mm、k3=14.90 N/mm3、c=1.87 N/(mm/s)、ks=107.67 N/mm、xs=0.82 mm、zs=88.19 N。利用辨識參數結果代入式(1)繪制曲線與試驗曲線進行比較如圖4所示，從辨識結果與試驗結果的比較可以看出，兩條遲滯回線基本吻合，說明辨識的結果正確可信。

結合辨識結果，由式(2)計算得kd≈41.49 N/mm、cd≈1.61 N/(mm/s)，將得到的參數代入式(5)即可得有量綱的實際參數方程。

必須指出，本文對金屬橡膠隔振器開展的動態試驗僅是在振幅為1 mm，頻率為2 Hz的正弦加載條件下進行的，在下面的分析中，直接將在該條件下識別出的隔振器參數等效為隔振器的參數，不考慮隔振器參數隨響應的變化。

3系統混沌響應數值仿真研究

(6)

設基礎振動頻率f=20 Hz、振幅A=1～200 m正弦振動，振幅變化步長ΔA=0.1，初始條件為[0 0 20]，采用四階Runge-Kutta法求系統響應隨激勵振幅變化的分岔圖如圖5所示。

從圖5可以看出，在20 Hz的激勵頻率下，當激勵振幅為0～18 mm時，系統處于周期振動狀態；當激勵振幅為18～22 mm時，系統振動出現分岔；當激勵振幅大于24 mm時，系統出現混沌振動。

討論基礎激勵頻率對系統響應的影響，可分別令A=30 mm、f=10～60 Hz，A=50 mm、f=10～100 Hz，A=100 mm、f=10～200 Hz三種情況，且令頻率步長Δf=0.1，初始條件為[0 0 20]，采用四階Runge-Kutta法求三種激勵振幅下，系統響應隨激勵頻率變化的分岔圖如圖6所示。

圖5 系統隨激勵振幅變化的分岔圖Fig.5Bifurcationdiagramintermsofexcitationforce圖6 系統隨激勵振幅變化的分岔圖Fig.6Bifurcationdiagramintermsofexcitationforce

由圖6可以看出，當激勵幅值為30 mm時，激勵頻率在10～27 Hz范圍內出現混沌振動；當激勵幅值為50 mm時，激勵頻率在10～49 Hz范圍內出現混沌振動；當激勵幅值為100 mm時，激勵頻率在10～100 Hz范圍內出現混沌振動。因此可知，系統振動的穩定性和幅值、頻率都有關系，兩者對系統的影響相互關聯，振幅的增大會使不穩定振動的頻率范圍增大。這是由于使金屬橡膠呈剛度漸硬特性，會導致減振系統的頻率響應特性曲線出現突跳和滯后現象[8]，隨著振動幅度的加大，非線性振動跳躍的范圍變大，穩定性變差，更容易出現振動分岔或分岔再分岔乃至達到混沌狀態。

因此可選取A=50 mm，f=20 Hz，初始值取y1=0、y2=0、y3=30，時間區間選t=0～50 s，步長Δt=0.001 s，編程計算系統的Lyapunov指數最大值為0.26，大于零，且系統是有限的往復運動，因此可以判定系統處于混沌運動狀態。再求系統的時間歷程曲線(初始值為y1=0、y2=0、y3=20和y1=0、y2=0.01、y3=20的曲線比較)、相圖、Poincaré映射圖和頻譜圖，如圖7所示。

圖7　位移時間歷程曲線、相圖、Poincare映射圖和頻譜圖Fig.7 Displacement time history curve, phase diagram, Poincare map and frequency spectrogram

從圖7的位移時間歷程曲線比較可知，系統響應隨時間推移沒有穩定的狀態，且微小初始條件的變化會使系統響應有較明顯的變化，說明在該組激勵參數下系統響應對初始條件具有敏感性，且長期不可預測；從系統相圖可以看出，相軌跡充滿相空間的一個區域，不重復且不封閉；從系統的Poincaré映射圖可見，映射點既不是有限點集，也不是封閉曲線；從系統的頻譜圖可以看出，盡管激勵頻率為20 Hz，但是系統的主要頻率成分有很多個，如10 Hz、30 Hz、40 Hz及20 Hz都占有相當的比重，這說明超諧波、次諧波在金屬橡膠非線性減振系統響應中占有相當的比重，且定頻激勵情況下可以明顯的改變系統響應的線譜成分，又由于在1～10 Hz、10 Hz附近，20 Hz附近、26～30 Hz及33～40 Hz時，頻譜圖幾乎是連續的，可見在給定的激勵條件下，該金屬橡膠非線性積極減振系統有明顯的復雜響應甚至是混沌響應特性。

4試驗研究

為進一步研究金屬橡膠減振系統的非線性振動特性，對減振系統進行試驗研究，建立如圖8所示的試驗系統，質量塊由以上靜態試驗用的兩個金屬橡膠減振器支撐，放置于豎直振動臺上。

圖8　振動實驗系統Fig.8 Vibration experiment system

圖8中，質量塊質量為20.3 kg，給定豎直振動臺20 Hz的定頻激勵，振動幅值為50 mm，即基礎激勵為x1(t)=50cos(40πt)，從靜平衡位置開始激振，在質量塊上用加速度傳感器測試質量塊的加速度，并用低通數字濾波器進行濾波(150 Hz以下)，排除高頻成分的干擾。待振動臺振動穩定后開始測試，取其38～48 s內的振動曲線如圖9所示。

圖9　加速度時間歷程曲線Fig.9 The comparison of the displacement time history curve

從圖9可以看出，在基礎激勵為50cos(40πt)的情況下，質量塊的加速度響應曲線雜亂無章，隨時間推移也沒有達到穩定的振動狀態，且沒有固定的周期規律，對加速度信號進行Fourier變換，得到其歸一化的頻譜圖如圖10所示。

圖10　試驗加速度信號歸一化頻譜圖Fig.10 Normalized acceleration signal spectrum

從圖10可以看出，在20 Hz的定頻激勵條件下，加速度信號有多個主要頻率成分，但在這些頻率附近，其頻譜曲線具有很多連續部分，這說明試驗振動響應中有很多頻率密集分布，即證明了金屬橡膠具有單頻輸入多頻率輸出的多頻響應特性。從較多的連續頻率區段還可以判斷，該系統可以產生混沌振動。

但是從圖10還可以看出，試驗測試的加速度信號頻譜圖和圖7數值仿真獲得的頻譜圖有一定的差異，這主要是由于圖7的數值仿真使用的金屬橡膠減振器參數是在1 Hz，2 mm正弦激勵條件下的識別結果，圖10的試驗系統的振動頻率和幅值卻遠遠大于參數識別時的正弦加載試驗激勵頻率和振幅，而金屬橡膠減振器有變剛度和變阻尼特性，不同的振動幅值和頻率對減振器的參數有一定的影響，因此，圖7與圖10的頻譜圖不可能完全一致。但試驗結果仍能夠驗證數值分析得到的在給定的激勵條件下系統的復雜多頻響應特性，證明了本文的分析具有一定的工程指導意義。

必須指出，由于金屬橡膠減振系統自身的復雜性，在實際工程應用中，理論分析盡管能夠提供一定的指導作用，但在理論分析確定大概的激勵參數區間后，仍需要對減振系統進行試驗研究，才能最終確定系統產生設計要求的復雜響應對應的激勵參數。

5結論

本文對金屬橡膠非線性消極減振系統的復雜響應特性進行了研究，主要通過數值分析方法說明了激勵參數對實參數金屬橡膠減振系統復雜響應的影響，得到了施加適當的激勵就可使其產生多頻甚至混沌響應特性的結論，并進行了試驗驗證。主要研究結論如下：

(1) 建立了金屬橡膠減振系統力學模型，并基于金屬橡膠減振器的雙折線泛函本構關系對模型的遲滯恢復力環節進行了線性等效，得到了系統的狀態方程。

(2) 通過對金屬橡膠減振器進行了正弦加載動態試驗，采用遺傳算法對動態試驗數據進行了參數識別，得到了減振器參數有量綱的物理值。

(3) 結合辨識得到系統有量綱的實際參數，對推導的狀態方程組進行了數值計算，并通過求解系統響應隨激勵力和激勵幅值的分岔圖，確定了系統產生混沌的激勵參數。計算了Lyapunov指數最大值，繪制了確定參數下系統響應的時間歷程圖、相圖、Poincaré映射圖和頻譜圖，通過分析說明了金屬橡膠非線性減振系統具有復雜甚至是混沌振動特性。

(4) 對系統進行了試驗研究，通過對結果的分析，驗證了金屬橡膠非線性減振系統具有復雜多頻甚至混沌振動的特性。

分析過程中均采用有量綱的實際系統參數展開分析，符合工程實際中先得到減振系統的參數，再進行相關理論計算的一般順序。為利用金屬橡膠減振系統的復雜響應特性，提供了一般的分析方法，對金屬橡膠材料的進一步推廣應用具有重要的理論價值和工程指導意義。

參 考 文 獻

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Complex response characteristics of a passive metal-rubber vibration isolation system

LIYu-long,BAIHong-bai,HEZhong-bo,LUChun-hong

(Vehicles and Electrical Engineering,Ordnance Engineering College, Shijiazhuang 050003, China)

Abstract:The complex response of a metal-rubber vibration isolation system was studied. Its hysteretic restoring force was simplified with the linear equivalence method based on the double broken-lines constitutive relation for the shock absorber. The mathematical model of the system was built, and its state equation was derived. The dynamic tests of the shock absorber were done, and the physical parameters of the shock absorber were identified by using the test data. The numerical simulation of the system was done by using the identified physical parameters, the response bifurcation diagrams of the system versus excitation force amplitude and frequency were plotted, and the parameters’ intervals of the system to cause chaos vibration were determined. The complex response characteristics of the system with single frequency input and multi-frequency or broadband frequency output were analyzed. Finally, the analysis results were verified with vibration tests.

Key words:metal-rubber; nonlinear; vibration isolation system; response characteristics; chaos

中圖分類號:TB533；O322

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.04.014

通信作者白鴻柏 男，教授，博士生導師，1964年生

收稿日期：2015-01-14修改稿收到日期：2015-03-06

基金項目：武器裝備“十二五”預先研究項目(51312060404)

第一作者 李玉龍 男，博士，1986年生