數學模型與數學分析

鄧忠洪

平時學生不會做數學題時，我們有的老師總認為學生沒讀懂題，讓學生反復讀題。殊不知，你讓學生按語文的讀題方法去讀，哪怕他讀上一千遍一萬遍，他做不來還是做不來。數學的建模與分析非常重要，有了規范的數學模型，就能正確地進行數學分析。只有明確了題目中各種信息及問題間的數量關系，才能正確迅速地解決較難的數學問題。筆者以“盈虧問題”的解題方法為例，談談怎樣建立數學模型和進行數學分析。

一、他人的經驗及方法

把一定數量的物品平均分給一定數量的人，每人少分，則物品有余（盈）；每人多分，則物品不足（虧）。已知所盈和所虧的數量及兩次每人所分的數量，求人數的應用題叫盈虧問題。

盈虧問題的基本解法是：份數=（盈+虧）÷兩次分配數的差；

物品總數=每份個數×份數±盈虧數。

解答盈虧問題的關鍵是要求出總差額和兩次分配的數量差，然后利用基本公式求出分配人數，進而求出物品的數量。

趣味數學之《木長幾何》——《孫子算經》里有這樣一道題：今有木，不知長短。引繩度之，余繩四尺五，屈繩量之，不足一尺。木長幾何？（屈繩的意思是把繩子對折，度是量的意思，四尺五是4.5尺）

分析：用繩量木，繩子多出4.5尺，把繩對折再量，繩子又短1尺，可推出單股繩子比對折起來長5.5尺，多出的5.5尺正好是繩子的一半（如圖）。

解答：繩子的長度：（4.5+1）×2=11（尺）

木料的長度：11-4.5=6.5（尺）

答：（略）

分析中，“用繩量木，繩子多出4.5尺，把繩對折再量，繩子又短1尺，可推出單股繩子比對折起來長5.5尺。”這里用到了一點點“盈虧問題”。為什么這樣說呢？遇到類似問題還能用這種方法解答嗎？請關注下面的內容。

二、建立數學模型

他人的方法及經驗看似簡單易行，可事實并非如此。學生機械地套用公式，并不完全理解解題思路，題目稍加變化，他們又束手無策了。

筆者引導學生先分析并找出“盈虧問題”的特點——它就是兩種有余數的除法，再根據有余數除法各部分間的關系，建立“盈虧問題”總的數學模型：

“盈虧問題”總的數學模型中兩次被平均分的總數——被除數是一定（不變）的；平均分的標準不同，我們歸納為兩種，即除數1和除數2；分得的結果中的份數——商也是一定（不變）的，分得的結果中的余數——盈虧數則不同，我們把它們分別定義為余數1和余數2。當被除數和商不變時，除數變大，余數則會變小，反之。

兩次分得的余數之間的差，我們把它定義為“總差”，兩次平均分的標準之間的差，我們把它定義為“小差”。正因為有分得的結果之一“商”那么多個“小差”才匯成最后結果之二“余數”間的“總差”，即“小差×商=總差”。于是，關鍵問題“商”就得到解決：商=總差÷小差。

如“幼兒園買來一些玩具，如果每班分7個玩具，則多出2個玩具；如果每班分10個玩具，則差13個玩具，幼兒園有幾個班？這批玩具有多少個？”的數學模型：

三、進行數學分析

根據建好的數學模型，我們進行“盈虧問題”的數學分析：

從上面的模型中可以看出：

第二種分法的總個數比第一種分法的總個數多（2+13）個為“總差”，第二種分法比第一種分法每班多分（10-7）個為“小差”，每班多分的“小差”乘班數就等于最后的“總差”。由此可以求出幼兒園共幾班這個關鍵問題。

這個幼兒園有（2+13）÷（10-7）=5（班）

求出了模型中的商，再根據有余數的除法中“被除數=商×除數+余數”就可求出這批玩具共有多少個了。

這批玩具有7×5+2=37（個）或10×5-13=37（個）

答：（略）

四、適時推廣應用

我們通過建立數學模型和進行數學分析，掌握了“盈虧問題”的解題方法，適當增加難度，加以推廣應用。

1.用一根長繩測量井的深度，如果繩子兩折時，多5米，如果繩子三折時，差1米。求繩子長度和井深。（提示：繩子兩折即把繩子平均分成兩份，三折即三股。）

很明顯，該題不能用“他人的經驗及方法”之《木長幾何》的方法來進行解答。而《木長幾何》題目卻能用“盈虧問題”的模型來進行分析和解答。

2.小宏從家到校上學，出發時他看看表，發現如果每分鐘步行80米，他將遲到5分鐘；如果先步行10分鐘后，再改成騎車每分鐘行200米，他就可以提前1分鐘到校。問小宏從家出發時離上學時間有幾分鐘？

觀察分析，這兩題都屬“盈虧問題”，只是題中的“盈虧（余數）”不是現成的，需要首先求出。

第1題的數學模型及數學分析：

井深：（5×2+1×3）÷（3-2）=13（米）

繩長：2×13+5×2=36（米）或（13+5）×2=36（米）

答：（略）

《木長幾何》數學模型及數學分析：

木長：（4.5×1+1×2）÷（2-1）=6.5（尺）

繩長：6.5+4.5=11（尺）或（6.5-1）×2=11（尺）

答：（略）

通過比較《木長幾何》的兩種方法，我們發現，他人的經驗及方法具有局限性，只能用于特例；而我們的“盈虧問題”模型具有通用性，只要是“盈虧問題”都能用它來解答。

第2題的數學模型及數學分析——

“余數1”：80×5=400（米）

求“余數2”步驟多一些。

①10分鐘的步行改成騎車要提前：10-80×10÷200=6（分）

②假如他騎車一直騎到上學時間到時會多行：200×（6+1）=1400（米）

“余數2”也可：（200-80）×10+200×1=1400（米）

小宏從家出發時離上學有：（400+1400）÷（200-80）=15（分）

答：（略）

我相信，只要堅持讓學生按數學模型來讀題、抄題，數學分析就更加容易和明了，他們就會更好地解決各種數學難題。

參考文獻：

何升根.也談“一類盈虧問題的解法”[J].小學教學參考：教學版，2006（35）：45.

？誗編輯 段麗君