1=0.999…一次難忘的教學生成

黃和平

摘 要：只要找到生活原型，類似于■（1-■）的極限問題，小學生也能順利理解。實踐證明：再抽象的內容，都能用最形象的方法講給每一個學生。

關鍵詞：循環小數；商；極限問題

人教版五年級上冊“用計算器探究規律”：用計算器計算1÷11，2÷11，3÷11，4÷11，想一想它們的得數有什么規律。你能不用計算直接寫出下面各題的得數嗎？

5÷11，6÷11，7÷11，8÷11，9÷11

首先學生用計算器算出被除數是1、2、3、4的商：

1÷11=0.0909…

2÷11=0.1818…

3÷11=0.2727…

4÷11=0.3636…

然后請學生觀察上述算式，說說你發現了什么？

生：商都是循環小數。

生1：我發現第二個算式的商是第一個算式的2倍。

生2：我發現第三個算式的商是第一個算式的3倍。

生3：我發現第四個算式的商是第一個算式的4倍。

師：誰能說說這是為什么呢？

生3：因為除數都是11，而被除數分別是第一個算式的2倍、3倍、4倍，所以商就是第一個算式的2倍、3倍、4倍。

生4：每個商的循環節末位與被除數相加都是10。

生5：我只需要算出1÷11的商就能寫出下面的商，被除數是1的幾倍，商就是0.0909…的幾倍。

生6：這些商都是循環小數，它們的每個循環節的數字和都是9。

生7：我還發現從上到下循環節的第一位一個比一個大1，第二位一個比一個小1，但每個循環節的數字和是9。

師：根據這些規律，你能不用計算直接寫出下面算式的商嗎？

5÷11，6÷11，7÷11，8÷11，9÷11

學生興致勃勃，很快完成，交流時有根有據。我當時看見學生學得比較輕松，就將此題一個即興發揮：你還能直接寫出10÷11、11÷11嗎？

“能！”學生一起回答。不一會兒有學生就寫出了：

10÷11=0.9090…11÷11=1

這時一個學生舉起了手：黃老師我有一個問題，我利用除數不變、被除數擴大幾倍商就擴大幾倍，11÷11的商就等于0.0909…的11倍，把它的每個循環節乘11得11÷11=0.99…但是11÷11=1，不等于0.99…，這是怎么回事？

全班一下子寂靜下來。我也一愣，很快我反應過來——這個問題已經涉及類似于■（1-■）的極限問題。

我知道對于1和0.999…在小學生看來絕對不等。情急之下，我做了如下處理：

師：你們認為1和0.999…之間是什么關系？

生齊答：1>0.999…

師：剛才×××同學根據11是1的11倍，所以11÷11的商也應該是1÷11的商的11倍這個推理過程對不對呢？

少部分學生：也對。

（看來很多同學不敢確信這個商的變化規律了。）

師：肯定沒有錯的。這樣一來1和0.999…都是11÷11的商了。這樣就推得1=0.999…（那少部分人帶著懷疑的表情點著頭）

師：對于這個等式同學們肯定無法理解（學生紛紛點頭），但它確實是正確的。你們現在理解不了就不用管它，這是高中數學里的極限問題，你們進了高中之后就明白了。

無獨有偶，在當天下午數學第二課堂活動中，一個學生遞給我一道數學趣味題，我隨手把題目放在展示臺上呈現給大家并請大家一起思考：在公元前五世紀，古希臘數學家芝諾提出了數學史上一道著名的難題：

古希臘神話中跑步英雄阿基里斯，他跑得再快也追不上他前面100米的烏龜。他的理由是：假設英雄的速度是烏龜的10倍，當英雄追了100米來到烏龜的出發點時，烏龜已經向前走了100÷10=10（米）當英雄再追10米時烏龜又前進了10÷10=1（米）；當英雄再追1米時，烏龜又前進了1÷10=0.1（米）…這樣阿基里斯和烏龜永遠相距一段距離，所以總也追不上。你認為阿基里斯能追上烏龜嗎？

看完題目學生議論紛紛。

有學生說：照這樣看來英雄永遠追不上烏龜。

有學生說：按題目講是追不上，但按照實際講，應該追得上，跑步英雄追不上烏龜？不可能。

由于題目有趣，所以學生的討論自然熱烈，各種觀念互不相讓，好幾分鐘過去了，一女生站起來大聲說：“我認為阿基里斯能追上烏龜，因為他在追烏龜的過程中他們的距離由100米縮短到10米，再由10米縮短到1米，再由1米縮短到0.1米，再由0.1米縮短到0.01米，這樣他們的距離就越來越近，越來越近，到后來就近得我們的眼睛都看不出間隔了，那還叫距離嗎？那時就追上了。”（全班一陣熱烈的掌聲）

我大吃一驚：“怎么解釋得這么到位呀！”這道題不又是一道極限問題的生活原型嗎？

通過這兩道極限問題的教學引發了我如下思考：

1.學生的探究潛力是無法估量的。

新課標強調：通過改變教學方式讓學生成為學習的主體。在內容合適的情況下，放手讓學生自主探究往往會取得意想不到的效果。但不少教師往往不愿放手讓學生去探究，一是因為這些探究知識不考，二是擔心學生不行，會影響教學進度和效果。實踐證明，只要內容合適——屬于最近發展區的內容、給足探究的時間和空間，適時點撥，學生不僅能自主探究，而且探究的潛能巨大，發現同樣驚人，更有助于培養學生自主探究、自主思考、勇于創新的人格。

2.讓“安徒生”參與編寫小學數學課本

上下午兩道極限問題，顯然下午的題目有童話般的情境，更能激發孩子的探究熱情，更能激發他們的思維潛能。把小學的數學知識貫穿于一個個童話、故事中，或用趣味數學、“某某猜想”等形式出現，就能把小學所學的數學知識賦予有趣的情境，數學就不再枯燥，也許學生會像喜歡信息技術課那樣喜歡上數學課。

3.再抽象的內容，都能用最形象的方法教給每一個學生

受“英雄追不上烏龜”的原理啟發，下午我又提出上午1與0.999…的關系問題。

師：結合“英雄追不上烏龜”的道理，想一想，1與0.9相差多少？（0.1），1與0.99的差是多少？（0.01），1與0.999的差是？（0.001），1與0.9999的差是？（0.0001）……你發現什么？

生：隨著小數點后面9的個數增多，它與1的差小數點后面的0就越來越多。

師：當小數點后面9的個數無限個呢？

生：差的小數點后面0的個數就是無限個。

師：閉著眼睛想一想，零點幾的小數點后面是無限個0，……

師：這不就意味著1與0.999…的差是0了嗎？所以1=0.999…現在能理解嗎？（很多學生點頭）

讓小學五年級的學生理解類似于■（1-■）的極限問題很難想象。通過這次教學活動，我深感再深奧的數學知識只要找到了它的生活原型，或者將其轉變成小學生看得見、摸得著、理解得了的數學知識，學生不僅易于接受，而且樂于學習、探究，難怪新課標一再強調把數學問題生活化，生活現象數學化。

參考文獻：

單新秋.“循環小數”教學實錄及評析[J].湖南教育，1999.

編輯 段麗君