淺談函數教學中的對稱性問題

江蘇省白蒲高級中學(226500)

葛雯雯●

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淺談函數教學中的對稱性問題

江蘇省白蒲高級中學(226500)

葛雯雯●

對稱性是函數的一項基本性質，不僅準確詳細地刻畫了函數各部分之間的關系，同時利用對稱性也能巧妙解題.本文主要從函數自身對稱，不同函數的對稱和函數對稱性的應用這三方面入手，著重為我們闡述了該如何應用函數的對稱性，并且對一些典型的例題進行了分析和講解，以便學生能夠熟練地應用函數的對稱性去解題.

函數對稱性；自身對稱；對稱應用

一、自身對稱、深入剖析

其實，我們對于函數的自身的對稱性主要是從兩個方面入手的，即函數自身關于點對稱和關于直線的對稱，只要將函數這兩方面的性質熟練掌握并靈活應用，那么函數自身的對稱性這一模塊我們便可輕松攻破了.

題目“已知函數y=f(x)滿足方程f(x)+f(4-x)=2，則y=f(x)關于( )對稱.”這類問題的求解思路其實很簡單，很明顯根據題干所給信息我們可知f(x)是關于點對稱的，我們知道函數y=f(x)的圖象關于點A(a,b)對稱的充要條件是f(x) +f(2a-x) = 2b，將該結論代入可得題目中的對稱點應該(2,1)，這樣的話這類問題也就迎刃而解了.其實關于直線對稱問題的求解思路也是一樣，我們需要讓學生們記下結論y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱的充要條件是f(a+x)=f(a-x)即f(x)=f(2a-x).然后代入公式求解即可.而對于三角函數sinx，tanx等這類特殊函數的對稱性的研究我們需要具體問題具體分析，我們需要讓學生們熟練畫出這類函數的圖象，然后再根據圖象寫出相應函數的對稱軸和對稱中心.

總體來說，對于函數的自身的對稱性的問題的求解這類問題比較套路化，只需代入結論便可直接寫出答案.

二、多種對稱、熟記性質

對于函數對稱性的研究，除了研究函數自身的對稱性這一部分，還有一大模塊即是對不同函數的對稱性的研究，對于不同函數的對稱性，我們需要具體問題具體分析，根據不同函數的特點來對癥下藥.

下面我們選擇一道有代表性的題來具體分析一下怎樣求解函數關于某點或者某條直線的對稱函數：“若函數f(x)與g(x)關于原點對稱，f(x)=2x2+4x-7，求g(x)解析式.”這個問題很明顯是關于點對稱的，這類問題的求解思路其實很簡單，我們需在函數上選取幾個有代表性的點，求出這幾個點關于對稱點的對稱坐標，之后我們利用函數對稱之后形狀不變的特性將這幾個點代入便可以求得對稱后的方程了，這類問題也就迎刃而解了.關于直線對稱問題的求解思路也是一樣，我們只需按照固定的套路按部就班地進行求解即可.而有些函數由于其自身的特殊性，比如本題中的原函數是二次函數，我們可以充分利用其對稱軸和頂點的特點，若能結合性質代入特殊點可能會大大簡化計算過程.所以說對于不同函數的對稱性來說，我們不能一概而論，要結合不同函數自身的性質來選取合適的點代入，這樣的話才會事半功倍.

關于不同函數的對稱性，也有一些總結好的結論和公式，比如：函數y=f(x)與y=2b-f(2a-x)的圖象關于點A(a,b)成中心對稱，函數y=f(x)與y=f(2a-x)的圖象關于直線x=a成軸對稱等，這些結論可以讓學生們針對自己實際的學習情況酌情選擇記憶.

三、應用對稱、巧妙解題

在上面我們對于函數本身的對稱性和不同函數的對稱性進行了初步的研究，所以我們在教學的過程中，我們需要引導巧妙的應用函數的對稱性的相關結論來進行解題，不僅可以極大地簡化計算過程，更能有效的拓展學生們的數學思維.

比如在蘇教版高中數學中就有很多應用函數對稱性解題的例子：“假設函數y=f(x)，y=g(x)都有反函數，且f(x-1)與g-1(x-2)的圖象關于直線y=x對稱，若g(5)=2014，求f(4).”對于這類題目，很多學生剛一看可能會感覺毫無頭緒，不知要從哪里下手，但是若是能夠結合函數的對稱性的相關知識進行思考可能學生們就會感到“柳暗花明又一村”了.我們不妨這樣想：因為f(x-1)與g-1(x-2)的圖象關于y=x對稱，所以我們知道f(x-1)與g-1(x-2)互為反函數，再結合反函數的定義和性質我們可知y=g-1(x-2)的反函數是y=2+g(x)，所以2+g(x)=f(x-1)，所以f(4)=f(5-1)= 2+g(5)=2016.在對這道題進行求解的過程中，我們不光應用了函數的對稱性，更是結合了反函數的性質，所以說我們在求解不同函數的對稱性類型的題目時要注意結合函數自身的特點，這樣的話這種類型的題便都可以迎刃而解了.

通過對近幾年來的高考中有關對稱性的題目的研究我們可以發現，這類題目的靈活性很強，題型往往會比較新穎，大多數學生剛看到題時可能會感到無從下手，但是我們要讓學生們要堅信“萬變不離其宗”這個道理，只要靜下心來利用所學知識仔細應對即可.

[1]陸修群.淺談抽象函數的對稱性[J].高中數學教與學，2011(14).

[2]程海龍.淺談高中數學教材中函數對稱性問題[J].高中生學習，2012(12).

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