淺析高中數學數列式解題方法和訓練技巧

江蘇省啟東市第一中學 施建華

淺析高中數學數列式解題方法和訓練技巧

江蘇省啟東市第一中學 施建華

高中數學知識點中，不等式、三角函數、解析幾何等部分屬于重頭戲，在歷年的高考試題中占據半壁江山，而數列與這這些重點知識不僅具有內在的必然聯系，而且數列呈現的遞歸思想有利于學生系統學好數學，尤其能牢固掌握數列求和公式和數列通項公式等計算途徑。本文作者與時俱進，緊密結合教學實際，暢談高中數學數列式解題數方法和訓練技巧。

高中數學；數列教學；解題方法與技巧

高中數學是一門自然學科，是高中生學習生涯中的重頭戲，根據我省最近幾年的高考數學試題分析，設計數列方面的試題比例有所提升，因此，我們應該高度重視數列知識的教學，為學生打響高考之仗掃清障礙。其實，高考數學主要考查是學生的基本功和活學活用的程度，作為考生只有在刻苦研讀的基礎上，才能找到解決問題的捷徑。筆者緊緊圍繞高考大綱開展數學教學活動，現借此平臺淺談高中數學數列式解題方法和訓練技巧的體會，以達拋磚引玉之宗旨。

一、高中數列知識的重要性

初中數學和小學數學重視考查學生對數學知識的理解，而高中數學側重于考查學生的解題能力，高中數學教材和高中數學教學也以教授解題方法為主，而不僅僅是掌握一些理論知識或者有限的解題技巧。數列是高中數學中一個獨立的章節，和三角函數、不等式等同樣重要，并且數列知識是其他很多知識的鋪墊和基礎，應用數列知識能夠高效方便地解決很多復雜的數學問題。數列實際上是一種簡單的、基礎的離散數學，數列也是一種特殊的函數，學好數列知識，不論是對整個高中數學的學習還是對大學數學學習都有重要幫助，因此教師和學生必須重視數列知識教學。

二、高中數列的解題方法和技巧

出題人在針對數列這部分知識出題時，考察的往往是學生的基本能力，考察面無非是數列的基本概念、數列的基本性質、等比數列、等差數列求和方法等，下面針對幾個考察面探討數列解題的方法和技巧。

1.考查數列基本概念

一些比較簡單的試題不考察學生的解題技巧，學生只需要將通項公式或者求和公式帶入即可得到答案，這種試題需要學生牢固掌握數列的基本概念和基本解題方法，并對題目有正確的理解。

例題1：有一等比數列{b}，已知b1+b2+b3=21，首項b1=3，試求b3+b4+b5的值多少？這個問題雖然此涉及到的相關知識點學生都比較熟悉，但如果學生概念模糊，往往出現失分現象。我要求學生先求出公比，若公比為1，前三項之和則是9，所以公比不等于1；然后，讓學生寫出等比數列前n項和的求和公式，即：3(1-q3)/(1-q)=21，從這個式子解得公比q，再結合首項就可以得到b3+b4+b5的值。

2.考查數列的性質

為了考查學生掌握數列的性質，命題者在命題時給出的條件往往比較隱晦，學生必須縝密審題，并借助發散思維才能找到正確的解題途徑。

例題2：有一等差數列{xn}，已知x1+x7=27，試求x2+x3+x5+x6的值是多少？教師在指導學生解答此題的時候，先要搞清楚等差數列和等比數列之間的關系：p+q=m+n，然后利用這個關系解答：x1+x7=x2+x6=x3+x5=27，則x2+x3+x5+x6=(x2+x6)+(x3+x5)=54。

3.考查數列的通項公式

為了考查學生掌握數列通項公式的熟練程度，可以采取如下方式命題：①借助Sn-Sn-1=xn求數列的通項公式；②利用疊加或者疊乘的方法求通項公式；③在給出一個數列的前提下，讓學生根據等比數列和等差數列的通項公式，求出相應數列的通項公式；④巧妙利用構造法、數學歸納法求出通項公式。

4.考查數列的前n項和

就最近幾年我省高考數學題而言，數列求和等題目占據一定比例，我們只有高度重視這類題目的指導，才能讓學生掌握這些題型的解題方法，而數列求和主要包括分組求和、錯位相加（或相減）求和、合并求和等方法。

例題3：現有等差數列{xn}，前n項和為Sn，等比數列{yn}滿足y1=x1=2，y4+x4=27，S4-y4=10。（1）求出兩個數列的通項公式；（2）n為 正 整 數，Tn=xny1+xn-1y2+…+x1yn， 證 明Tn+12=-2xn+10yn。在求解第一（1）時，可以讓學生先求出xn=3n-1,yn=2n；(2)Tn=2xn+22xn-1+…+2nx1；2Tn=22xn+…+x,兩式相減可以得出Tn+12=-2xn+10yn。針對這種給出的式子為等比數列和等差數列相乘的形式，可以采用錯位相減法求證。

三、高中數列教學要點

1.重視考試大綱和重難點

考試大綱是學生在知識海洋里頂風破浪前進的航標，是學生參與學習的指南針。但是，有些教師忽視考試大綱的研究，盲目開展教學活動，教條主義嚴重，導致學生即使掌握了理論知識，也不能找到解決問題的有效途徑。因此，我們一定要認真學習、研究考試大綱，圍繞教學重點和難點進行師生互動，緊密結合學生經常出現的典型性錯誤進行分析、總結，讓學生自己整理出考數列知識中重點內容，逐步構建系統化的知識網絡。

2.掌握基礎性質和概念

數列知識較為抽象，學生必須對基礎性質和概念有全面深入的理解，才能以此為基礎運用多種解題方法和技巧，不應通過題海戰術來訓練學生的解題能力，而是應該舉一反三，從基礎題下手，通過合理地利用公式和概念，再加上精確的計算來解決問題。

綜上，高中數列知識是其他部分知識的基礎，也是后續學習離散數學的基礎，因此教師必須重視數列教學，通過若干不同類型的數列題目有針對性地教學，讓學生掌握解題方法，培養學生的基礎能力，以提高學生的解題效率和準確率。

[1]李娜.高中數列通項公式求解“一點通”[J].文理導航，2016（04）：65.