把握解題竅門，攻破數學難題

江蘇省大豐高級中學高三（16）班 王柏銘

把握解題竅門，攻破數學難題

江蘇省大豐高級中學高三（16）班 王柏銘

在數學解題中，有人歡喜有人愁，有人左思右想，絞盡腦汁，仍百思不得其解；有人轉換角度，另辟蹊徑，豁然開朗；有人乘勢而下，順水推舟，水到渠成。同一道數學題，有人思路明確，推理清晰，解法精妙獨到，簡單易懂；有人卻思維僵化，不知變通，解法呆板單一，繁瑣復雜。究其根源在于學生對解題“竅門”的把握。因此，在平時解題學習和復習過程中，同學們要注意把握解題竅門，攻破數學難題。

一、從數學概念和性質分析中探求解題竅門，破解數學難題

數學概念和性質是數學解題的重要基礎。在許多數學問題中，無論從題設條件、所求結論還是直觀圖象都或多或少地隱含著某種特征。在解題時，若能善于觀察，用心捕捉這些特征，聯想到與之相應的概念和性質，往往可以快速地找到解題的突破口，從而使問題迎刃而解。

下面證明這樣的k是唯一存在的。

假設a1+a27=a2+a26=a3+a25=…=a13+a15=2a14＞0，由單調奇函數性質可知，

f（a1）+f（a27） ＞0，f（a2）+f（a26） ＞0，f（a3）+f（a25） ＞0，…，f（a13）+f（a15） ＞0，又因為f（a14） ＞0，所以f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a27） ＞0，這與題設條件相沖突。同時若a14＜0時，則有f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a27） ＜0，同樣也與題設條件相沖突。綜上所述，若則有f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a27）=0時，則當且僅當k=14時，f（ak）=0。

【評注】本題主要考查學生對函數奇偶性、單調性以及等差數列性質的綜合運用能力。在解本題時，只有把握了函數奇偶性、單調性以及等差數列性質這一解題“竅門”，才能使問題得以有效解答。

二、從特殊與一般的轉化中發現解題竅門，攻克數學難題

唯物辯證法告訴我們，事物之間是既有共性又有個性的關系。在數學學習過程中，我們對概念、公式、定理、法則的認識大多是從特殊開始，由特殊情形歸納出一般結論，然后再運用一般性結論解決數學問題。在某種條件下，特殊與一般兩種思想可以相互轉化，因此，在平時數學解題中，我們要予以重視，善于觀察，靈活運用，從而高效解題。

例2 （2014年高考·江蘇卷·第20題）設數列｛an｝的前N項和為Sn，若對任意正整數n，總存在正整數m，使得Sn=am，則稱數列｛an｝是“H數列”。設數列｛an｝為等差數列，其首項a1=1，公差d＜0，若數列｛an｝是“H數列”，求d的值。

【分析】本題有兩種解題思路：其一是借助特殊化思想由特殊情形得出結論后再去驗證一般情形成立；其二是從公差d＜0出發，由Sn=am得出一般結論成立再去驗證特殊情形也成立。

【解法2】由“H數列”的定義，Sn=ak，得1+（1+d）=1+（m-1）d，即（m-2）d=1。因為d＜0，m為正整數，所以上式只有在m=1時才能成立，此時d=-1。

【評注】本題旨在考查學生對數列知識的掌握情況以及靈活運用特殊與一般轉化思想解決問題的能力。在解本題過程中，學生若能從特殊與一般的轉化中發現解題竅門，往往可以使問題得以快速、有效、準確地解答出來。

三、從求解和求證的目標推理中明晰解題竅門，攻破數學難題

在數學解題中，許多學生習慣于從已知條件或原因中推理出所求結論，而不習慣于從所求結論中一步步推理出原始條件或原因。實際上，對于某些數學問題，若能突破思維定式，反其道而思之或行之，從所求解或證明的結論目標入手，進行推理、猜想、分析，往往會收到意想不到的效果。

例3 定義在R上的單調函數f（x）滿足f（3）=log23定義，且對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）。

（1）求證：f（x）為奇函數；

（2）若f（k·3x）+f（3x-9x-2）＜0對任意x∈R恒成立，求實數k的取值范圍。

【分析】要想證明f（x）為奇函數，需證明對任意的x都有f（-x）=-f（x）成立。在式子f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=-x，可得f（0）=f（x）+f（-x）。此時又出現一個新的問題——求f（0）的值。令x=y=0，可得f（0）=0，從而f（x）為奇函數得到證明。

（1）f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R）①

令x=y=0，代入式①中，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0

令y=-x，代入①中，得f（x-x）=f（x）+f（-x）

又f（0）=0，則有0=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x）對于任意x∈R都成立，

故f（x）為奇函數。

（2）從所求證的目標進行分析推理，可以得出以下解法：

即u的最小值為2-1，要使對x∈R， 不等式-1恒成立，

只要使k＜2-1即可。

總之，數學解題方法靈活多樣，同學們要善于觀察，巧抓題目特征，把握解題竅門，靈活運用數學方法，從而快速、有效解題。