分層建構：讓“數學理解”真正發生

江蘇省南通市通州區二窎小學 葛 軍

分層建構：讓“數學理解”真正發生

江蘇省南通市通州區二窎小學 葛 軍

“數學理解”是兒童對數學學習對象的自主建構，對知識本質和聯系等的認識。“數學理解”有“工具性理解”、“關系性理解”和“創新性理解”三個層面。數學教學時，教師要運用各種方式，幫助兒童形成“數學理解”，引導兒童的“數學理解”步步深入、拾級而上。

數學教學；工具性理解；關系性理解；創新性理解

在兒童數學學習中，“數學理解”無疑是首要的。英國數學教育家斯根暜認為：“數學理解”有“工具性理解”（怎么做？）、“關系性理解”（為什么這樣做？）和“創新性理解”（還可以怎么做？）三個層面。基于此，在兒童數學教學中，教師要搭建平臺，促成兒童對數學的“工具性理解”，助推兒童對數學的“關系性理解”，引導兒童形成數學的“創新性理解”。讓兒童的“數學理解”步步深入、拾級而上。

一、工具性理解：搭建平臺

“工具性理解”是“數學理解”的初級階段，主要是對數學概念的了解，如“圓的半徑是什么？”“怎么通分”“怎么約分”等。“工具性理解”對應于數學的“陳述性問題”，主要解決“是什么？”和“怎么做”等的數學技能和應用問題。

1.用“操作演示”展示知識

“操作演示”是數學理解的“腳手架”，能夠幫助兒童直觀感知到數學概念、公式的內涵，讓學生形成一種“視覺思維”。例如教學《圓錐的體積》，筆者通過讓學生演示“用等底等高的圓錐裝滿水倒入等底等高的圓柱，倒三次”，形成直觀的“倒的次數”的印象，讓學生獲得對“圓錐公式”的理解。如此，學生在計算圓錐體積時，總是想到鮮活的數學演示實驗，計算圓錐體積時總是先計算“等底等高”的圓柱的體積，成功規避了兒童計算時容易遺忘“÷3”的特點。

2.用“生活經驗”支撐知識

“生活經驗”是數學理解的“橋梁”，能夠幫助學生解疑釋難。例如，教學“乘加和乘減混合運算”，學生對計算順序時有混淆。為此，筆者教學時讓學生多次“以事理說數理”，通過學生生活中的購物經驗，詮釋說理。如“6×2+3×5”，有學生說買3支圓珠筆，每支5元，再買2支鋼筆，每支6元，一共多少元？正是因為有了生活經驗的介入，孩子們對抽象的乘加和乘減混合計算的運算順序的理解有了“抓手”。不僅如此，學生對“乘法是連續加上相同的數”、“除法是連續減去相同的數”的算法本質也有了初步的認知。

3.用“直觀圖形”分析知識

在學生解決數學問題的過程中，有時需要借助“直觀圖”（含線段圖、示意圖等）進行數學分析，讓學生正確理解題意。例如教學“1/2+1/4+……1/64”時，有學生從簡單情形入手，探索規律；有學生采用“數形結合”的方法，用一個正方形表示“1”，然后平均分成2份，在其中的1份里再平均分成2份，依次類推，并涂上陰影。學生直觀看到：要求“1/2+1/4+……1/64”就是求陰影部分的大小，可以用“整個正方形當”減去“空白部分”，也就是“1—1/64”。借助直觀圖，讓學生獲得直觀思考。

二、關系性理解：內化意義

“關系性理解”是“數學理解”的中級階段，主要是讓學生對每一個數學知識點的誕生歷程有著清晰的認知。如果說“工具性理解”是“知其然”，那么“關系性理解”就是“知其所以然”。如“圓周率、圓的面積公式是怎樣誕生？”“通分、約分的根據是什么？怎樣理解？”等。“關系性理解”對應于數學的“程序性問題”，主要解決“為什么”的問題。

1.展現過程，關注知識本質

每一個數學知識都有其深刻的數學本質，有其深遠的源頭。關注數學的知識本質就是關注知識內在的形成規律。要注重啟發學生，增設孵化、生長兒童數學思維、想象的機會。例如教學《用方向和距離確定位置》，筆者用序列化的教學設計依次展開：①多媒體展示一艘中國海船在南沙島燈塔（參照物）附近（不能確定準確位置）；②一艘中國海船距離南沙島燈塔500米處，即以燈塔為中心，500米為半徑（距離）的圓上（不能確定準確位置）；③一艘中國海船在南沙島燈塔北偏東30°方向500米處（準確定位）。至此，學生深刻理解了確定位置的“三要素”和“原理”。

2.集裝知識，形成知識結構

單個的知識點只有融入到“知識結構”中才能更加凸顯其意義。教學中，唯有對知識點進行“串聯”或“并聯”，才能讓知識融會貫通。例如，教學“比的基本性質”時，筆者首先讓學生進行知識回顧：從“商不變的規律”到“小數的性質”，從“小數的性質”再到“分數的基本性質”等。如此催動學生的數學猜想：在比中，有著怎樣的性質？比的基本性質應該是怎樣的？“比的基本性質”有什么作用？如此，將“比的基本性質”納入到知識的橫向和縱向聯系之中，學生獲得了意義的全面而深刻的理解。

三、創新性理解：建構創造

“創新性理解”是“數學理解”的高級階段，主要是學生能夠主動地對數學知識進行生發，把握知識的流向。如果說“工具性理解”解決“是什么、怎么樣”的問題，“關系性理解”是解決“為什么會這樣”的問題，那么“創新性理解”就是解決“應該可以怎么理解”、“還可以怎樣”的問題。

1.激活思維，讓知識獲得自主建構

數學教學要把握知識的生長點、生成點和生發點，引導兒童對數學知識進行“預測”、“猜想”、“驗證”，激活學生的數學思維。例如，教學“圓的周長”時，筆者首先讓學生猜想：“圓的周長”與什么有關？（半徑、直徑）；“圓的周長”與半徑、直徑有著怎樣的關系？（3倍多一些、4倍少一些等）；用什么方法驗證？（滾圓法、繞圓法等）。在這里，兒童不是被動地接受知識，而是主動地建構知識。

2.啟迪創造，讓知識獲得自然生長

數學理解不僅是一個深入思維的過程，還是一個自主創造的過程。要引導學生突破思維障礙和束縛，主動地對數學知識進行生發、創造。例如教學“用陰影表示長方形面積的1/2”，筆者啟迪學生探究，引領學生眾籌、眾創，得到了許多精致化的方法。①用對角線將長方形平均分；②用中線將長方形平均分；③連接長方形長與對邊任意一點構成三角形；④過長方形中心任意畫一條直線；⑤長或寬平均分成偶數份；⑥順次連接長方形長和寬的中點。這些獨特的方法彰顯著兒童的創造智慧。

數學教學不能停留于“形式化定義”，不能讓兒童對數學概念、公式等進行“死記硬背”、“照葫蘆畫瓢”，而應當運用各種方式促成兒童積極的“數學理解”。只有在“數學理解”的基礎上，兒童才能認識數學知識的本質和聯系，才能主動地運用數學、靈活地建構數學、自主地創造數學，讓我們“為理解而教”！

[1]陳治平.談促進學生數學“理解”的策略[J].江蘇教育（小學教學），2013（11）.

[2]過小偉.感悟智深：追求“真正意義上的理解”[J].江蘇教育研究，2016（6B）.

[3]黃紅成.在動手實踐中實現真正的數學理解[J].教學與管理（小學版），2015（7）.