高中數學解題教學中的分類討論策略

安徽省懷遠一中高三（2）班　張逸凡

高中數學解題教學中的分類討論策略

安徽省懷遠一中高三（2）班張逸凡

在高中數學學習中，解題策略對數學學習至關重要。其中分類討論思想扮演著重要角色，分類討論是一種數學邏輯方法，也是一種重要的數學思想。有關分類討論的數學命題在高考中也占有重要地位。所謂分類討論，顧名思義就是當問題所給的對象不能統一研究時，就需要按某一標準將研究對象按某個標準進行分類，最后結合各類結果得到一個整體的答案。

一、把握高中數學分類思想目標

分類討論是高中數學中的重點與難點，想要真正掌握分類討論思想并不容易。對于分類討論思想一定要注意以下三方面：第一，明確引起分類討論的原因。只有知道了分類討論的原因，才有了目的性，才可以做到有的放矢，才可以更有效地去解題。引起分類討論的原因有許多種，比如概念、定理、法則、性質等。第二，掌握準確分類討論的方法。想要做到合理分類，那么在分類時一定要有個統一的標準，做到不重不漏。第三，注意分類討論結論的整合。分類思想需要具有一定的邏輯能力，對學生的分析、理解能力要求較高。在分類得到許多種結果后，我們要學會對結果進行整合歸類，將答案清晰、規范地寫出來。

例如：設集合C=｛0，2，4，6，8｝，找出C的兩個非空子集分別設為A和B，如果要讓集合B中最小的數大于集合A中最大的數，那么有多少種不同的選擇方法？我們可以先來分析：據題意可知，需要滿足兩點條件（1）子集A和B非空（2）B中最小數大于A中最大的數，那么該如何實現這兩個條件呢？學生一看到這種比較繞的題目就頭疼，就不知所措。解決這種題最好的方法就是分類討論。我們可以這樣寫：①如果B中最小的數是2，那么在這種情況下A只有1種選法，即A=｛0｝，而B有8種選法，就是4、6、8三個數根據排列組合可以算出來所有的情況。②如果B中最小的數是4，那么在這種情況下A有3種選法。根據這種方法繼續算下去，可以得到最終結果為49。

二、落實高中數學分類討論應用

分類討論是數學中一種重要的思想和解題方法，旨在考察我們思維的邏輯性、周密性和全面性。此類題綜合性強，難度大，同學們很難學以致用，很難將它真正運用到解題過程中，而且在歷年高考題中也以壓軸題的形式出現，對學生能力的要求較高，具有很強的選拔性。因此，我們一定要將所學知識應用到解題過程中。應用分類討論有以下幾點原則：第一，分類中每一部分都是相互獨立的；第二，一次分類按一個標準；第三，分類討論應逐級有序進行；第四，以性質、公式、定理為使用的條件為標準分類。我們在解題時要牢記這幾個原則，熟能生巧，一定可以掌握分類討論的方法。

例如：設k∈N，求滿足不等式|m|+|n|＜k的整數解組的（m，n）解集。先分析：一看這種題就比較復雜，我們可以把k看作參數，那么整數解的組數與k有關，設它為g（k），先討論特殊情況，探索規律，大膽作出猜想，再想辦法證明。當k=1時，有解（0，0），即g（1）=1；當k=2時，有解（0，0），（0，±1），（±1，0），即g（2）=1+4=5；當k=3時，有解（0，0），（0，±1），（0，±2），（±1，0），（±1，±1），（±2，0），即g（3）=1+4+4×2；當k=4時，有解（0，0），（0，±1），（0，±2），（0，±3），（±1，0），（±1，±1），（±2，0），（±3，0），（±1，±2），（±2，±1），即g（4）=1+4+4×2+4×3。我們猜想：g（k）=1+4×1+4×2+…+4（k－1）=1+2k（k－1）。由此也能得出遞推式g（k）=g（k－1）+4（k－1）。

三、突出高中數學分類討論簡捷

我們都知道，當數學題中出現多個參數時，如果我們不用分類討論方法的話，那我們一會就把自己繞進去了，就像走迷宮一樣，很難再出來，最后結果肯定是不了了之，解不出來這道題。所以說分類討論是一種可以把數學題簡化的方法，邏輯性很強，我們學生學會這種方法不僅僅是為了應付高考，而且它會對以后生活中思考問題、處理問題的方式產生巨大影響。

例如：設f（a）=a10－a5+a2－a+1，求證：對于一切實數a，都有f（a）＞0。還是先進行分析：我們很容易會聯想到指數函數（x）=ax，然后可以結合它的單調性進行證明，而函數f（x）=ax的單調性與它的底數a有關，所以又要分類討論。①當a＜0時，a的偶次冪為正，奇次冪為負。f（a）=a10+（－a）5+a2+（－a）+1≥1，即f（a）＞0。②當a=0或a=1時，即f（a）=10。③當a＞1時，指數函數f（x）=ax為增函數，顯然，a10＞a5，a2＞a，所以f（a）=（a10－a5）+（a2－a）+1＞1。④當0＜a＜1時，指數函數f（x）=ax為減函數，顯然，a5＜a2，所以f（a）=a10+（a2－a5）+（1－a）＞0。綜上所述，對于一切實數a，都有f（a）＞0。

思想的形成，方法的掌握才能使我們真正受益，才能培養我們的探索能力，自我創新能力和綜合能力。在高中數學學習中，分類討論思想是一種比較重要的數學思想，通過不斷練習和總結，我們才能夠有從量變到質變的提升。這樣，也才會不斷提高我們對數學學習的樂趣，從而培養思維的縝密性，取得好的數學學習成績。