基于改進黃金分割法的鉆井液流變模式優選

李琪， 王再興， 沈黎陽， 王耀稼， 李旭陽（西安石油大學石油工程學院，西安710065）

李琪等.基于改進黃金分割法的鉆井液流變模式優選[J].鉆井液與完井液，2016，33（1）：57-62.

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基于改進黃金分割法的鉆井液流變模式優選

李琪， 王再興， 沈黎陽， 王耀稼， 李旭陽
（西安石油大學石油工程學院，西安710065）

李琪等.基于改進黃金分割法的鉆井液流變模式優選[J].鉆井液與完井液，2016，33（1）：57-62.

摘要鉆井液流變參數的計算和流變模式的優選對于鉆井作業的順利進行至關重要。結合數值計算方法、回歸分析和最優化的理論，在窮舉法的基礎上，引入相關指數、殘差平方和以及殘差方差3個評價標準，利用黃金分割法加快有根區間的收縮速度，提出了改進的黃金分割搜索算法。利用該方法，不用給定迭代初始值，收斂性好，克服了已有鉆井液流變模式優選算法的缺點，同時適用于2參數、3參數、4參數流變方程的參數計算與流變模式優選。借助MATLAB語言編制相應計算程序對大量數據進行計算，并與前人的計算結果進行比較，結果表明：所采用的3種回歸評價標準是有效的，與改進的黃金分割搜索算法相結合，能夠回歸出鉆井液的流變參數，并準確地優選出流變模式，殘差方差的計算結果平均降低了19.70%，計算結果精度更高。

關鍵詞黃金分割法；鉆井液；流變參數；流變模式

Optimization of Drilling Fluid Rheology Pattern Using Improved Golden Section Method

LI Qi, WANG Zaixing, SHEN Liyang, WANG Yaojia, LI Xuyang
(College of Petroleum Engineering, Xi’an Shiyou University, Xi’an Shaanxi 710065,China)

Abstract Rheological parameters of drilling fluid and selection of rheology pattern play an important role in drilling operation. Using exhaust algorithm and other methods, such as numerical computation method, regression analysis and optimization theory, three evaluation indices, i.e., correlation index, sum of squares of residues and variance of residues are introduced. Using golden section method, the contraction of the root interval can be accelerated. These studies give birth to the so called improved golden section method. In this improved golden section method, initial iterative values become unnecessary, and the method has good convergence, getting rid of deficiencies of the rheological model presently in use. This method is suitable for the parameter calculation and optimization of rheological patterns using 2-parameter, 3-parameter and 4-parameter equations. Using computer language MATLAB, large scale computation can be realized. Comparison of the computation results and those of others shows that the three evaluation indices presented are useful, and when used in combination with the improved golden section method, rheological parameters can be calculated, and rheological model optimized with good accuracy. The computational result of the variance of residue is reduced by 19.7%, a higher computational accuracy.

Key words Golden section method; Drilling fluid; Rheological parameter; Rheological pattern

常見的非牛頓鉆井液流變模式包括賓漢模式、冪律模式、卡森模式、Herschel-Bulkley模式（縮寫為H-B模式）、Robertson-Stiff模式（縮寫為R-S模式）、雙曲模式、Sisko模式、L-M模式以及4參數流變模式等[1-9]。流變模式的優選方法包括流變曲線對比法、剪切應力誤差對比法、線性回歸分析方法、灰色關聯分析方法和非線性最小二乘回歸方法等[10-13]。其中流變曲線對比法和剪切應力誤差對比法雖然比較簡單，但準確性不高[10]；線性回歸分析法對于非線性的流變方程（如冪律模式的流變方程），需要經過數學變換將非線性方程轉換為線性方程，從而改變了實驗誤差的統計學性質，計算得到流變參數的估計值是線性模型的最優無偏估計，而不是原非線性模型的最優無偏估計；灰色關聯分析方法僅用于2參數流變方程的參數回歸；非線性最小二乘回歸方法涉及到迭代初始值的給定、 易陷入局部極小點、 多解性的判定等問題[14]。此外， 尚沒有人提出4參數流變模式優選問題的解決方法。提出了改進的黃金分割搜索算法，該算法同時適用于2參數、3參數、4參數流變方程的參數計算與流變模式優選，且不需要設定初始值，算法收斂性好，計算結果精度高。

1　回歸評價標準

鉆井液流變模式優選的方法應分2步進行[13]：①對于每種流變模式，按照一種回歸評價標準，回歸出流變方程的參數；②按照相同的回歸評價標準，比較不同流變模式的計算結果，優選最優流變模式。因此，回歸評價標準的確定是首要工作。

由回歸分析的知識可知，在回歸流變方程的過程中，可以用相關指數R2，殘差平方和SSE以及殘差方差D（e）來衡量回歸方程的可靠性[15]，對應的計算方法如下。

1）相關指數R2。相關指數R2表示回歸方程的可靠程度，其值介于0到1之間。R2越接近于1，表示回歸效果越好，擬合的回歸方程的可信度越高。其表達式為：

式中，SST為離差平方和， 當測量值已知時，SST為常數； N為測量數據點的個數；τi為測量出的剪切應力，Pa；為測量值的平均值， Pa。

2）殘差平方和SSE。SSE大于0，由于SST為常數， 因此SSE越小，R2就越大， 回歸效果越好，擬合的回歸方程可信度就越高。其表達式為：

3）殘差方差D（e）。D（e）越接近于0，回歸效果就越好。其表達式為：

2　改進的黃金分割搜索算法

黃金分割搜索算法是收縮最快的區間收縮方法之一，原理是通過提高含有最優解的區間的收縮速度，從而更快達到最優解。為求函數f（x）在區間[a，b]上的最小值，可在該區間上取點x1=a+0.382 （b-a）和點x2=a+0.618（b-a），通過比較函數f（x）在這2點的函數值，來決定去掉一部分區間[a，x1] 或[x2，b]，從而使搜索區間長度變小，如此迭代，直至區間收縮為一點或區間長度小于給定的精度為止[16]。文獻[17]第1次用這種方法來回歸H-B流變方程的參數。文獻[18]將黃金分割搜索算法進行了推廣，使其能夠回歸2參數和3參數流變方程的參數。然而，通過計算發現，文獻[18]中的方法存在以下幾個不足。①算法的收斂性強烈依賴于迭代初始區間的選取。迭代初始區間很難預知，一旦迭代初始區間選取不當，算法會出現不收斂的情形。②在回歸3參數流變方程的第一個流變參數時，其他參數是通過線性回歸得出的，不是原來非線性方程的最優無偏估計。

在文獻[17]和[18]的基礎上，對黃金分割搜索算法進行改進：通過引入回歸評價標準，在流變參數的定義域內，窮舉流變參數的有根區間，利用黃金分割搜索算法加快有根區間的收縮速度。在參數回歸過程中，所有參數均通過非線性回歸得到，因而得到的參數仍然是原非線性方程的最優估計。

2.1 4參數流變方程的回歸算法

4參數流變模式的流變方程為[9]：

式中，τ0是動切應力，Pa；a是牛頓流體部分的黏度，即剪切速率無限大時的黏度，Pa·s；b為非牛頓流體部分的黏度，Pa·sc；c是流性指數，無因次。

下面以4參數流變方程中流變參數的回歸步驟為例，介紹流變參數的回歸算法。

設集合S={S1， S2， S3， S4}={c， a， τ0， b}，即S中的元素Sj代表第j個流變參數，j=1， 2， 3， 4。流變參數Sj的回歸步驟如下，流程框圖如圖1所示。

1）步驟1（Step 1）。設定sj的初始搜索區間[L，U]為[0，1]，并記Uj=U。

圖1　參數回歸的流程圖

2）步驟2（Step 2）。求解流變參數。由黃金分割搜索算法可以得到Sj（1）=L+0.382（U- L），Sj（2）=L+0.618×（U- L）。令Sj=Sj（1），轉到參數Sj+k的回歸步驟求得Sj+k（1）；令Sj=Sj（2），轉到參數Sj+k的回歸步驟求得Sj+k（2），k=j，j+1，……，4-j。

將S1（1）， S2（1）， S3（1）和S1（2）， S2（2）， S3（2）分別帶入式（8），求出對應的S4（1）和S4（2）。

3）步驟3（Step 3）。計算相關指數R2。由相關指數R2的計算公式和4參數流變方程可得：

將S1（1），S2（1），S3（1），S4（1）和S1（2），S2（2），S3（2），S4（2）分別代入式（9），求得對應的R12和R22。

4）步驟4（Step 4）。通過比較R12和R22的大小來改變搜索區間：若R12＜R22， 則L=Sj（1）， Sj（1）=Sj（2）， Sj（2）=L+0.618×（U- L）；若則L=Sj（1），U=Sj（2），Sj（1）若R21＞R22， 則

5）步驟5（Step 5）。若|L-U|＜eps（eps為設置的精度），轉到Step 6；否則，轉到Step 2。

6）步驟6（Step 6）。令Sj=（Sj（1）+Sj（2））/2，若|Sj-Uj|/Uj＜0.1，則需擴大搜索區間[L，U]，取U=2×Uj， Uj=U， 轉到Step 1；否則， 得到最優的Sj。

2.2 3參數和2參數流變方程的回歸算法

3參數和2參數流變方程中流變參數的回歸步驟與4參數流變方程類似， 分別少了1個參數和2個參數。當各個流變方程的流變參數回歸出來之后，就可以分別計算第1節提到的回歸評價標準，然后對流變模式進行優選。

3　數據處理分析

基于第2節提出的算法，用MALAB語言編制了相應的計算程序，對表1中5組鉆井液的流變參數進行了回歸計算（見表2），并計算了優選流變模式需要的3個評價標準（見表3）。根據表3中的數據對鉆井液流變模式進行優選，結果見表4。

表1　鉆井液的原始數據

對表4進行分析，可得到如下結論。

1）3種回歸評價標準優選出的結果相同，不存在文獻[13]中回歸“失效”的問題。從而證明了本文提出的算法和相應的回歸評價標準是合理有效的。

2）與2參數流變方程相比，3參數、4參數流變方程能更好地描述鉆井液的流變性能。在5組鉆井液流變模式優選結果中，并沒有出現H-B流變模式，這說明了H-B流變模式并不是描述所有鉆井液流變性能最優的流變模式。因此，對其它流變模式的研究至關重要。

3）在只考慮冪律模式、 H-B模式、 卡森模式3種常用流變模式的情況下， 與文獻[14]中的結果進行了對比。繪制了殘差方差計算結果直方圖， 見圖2～圖4。對于所選用的3種流變模式， 由本文算法計算出的殘差方差平均值比文獻[14]中計算出的殘差方差平均值小19.70%， 表明了該算法的計算結果具有更高的精度；對于所選的5組鉆井液，最優的流變模式都是H-B模式， 這說明現場常用的H-B模式比冪律模式和卡森模式有更好的適用性。

表2　改進的黃金分割搜索算法回歸出的流變參數

表3　回歸評價標準的計算結果

表4　鉆井液流變模式優化結果

圖2　冪律模式下殘差方差計算結果

圖3　H-B模式下殘差方差計算結果

圖4　卡森模式下殘差方差計算結果

4　結論

1.提出的改進黃金分割搜索算法同時適用于2參數、3參數、4參數流變方程的參數計算與流變模式優選，且不需要設定迭代初始值，算法收斂性好。

2.利用提出的算法對5組鉆井液數據進行了計算，并與前人的計算結果進行了比較。結果表明：提出的算法是有效的，殘差方差的計算結果平均降低了19.70%，具有更高的精度。

3.采用的3種回歸評價標準是有效的，與改進的黃金分割搜索算法相結合能回歸出最優的鉆井液流變模式。

參 考 文 獻

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收稿日期（2015-9-11；HGF=1506M8；編輯 馬倩蕓）

作者簡介：第一李琪，教授，博士生導師，1963年生，2002年獲西南石油大學石油與天然氣工程專業博士學位，現在從事石油鉆井信息技術、導向鉆井等研究工作。電話 （029）88382690；E-mail：liqi@xsyu.edu.cn。

基金項目；國家自然科學基金項目資助（51574194）；西安石油大學優秀碩士學位論文培育項目。

doi:10.3696/j.issn.1001-5620.2016.01.012

中圖分類號：TE254.3

文獻標識碼：A

文章編號：1001-5620（2016）01-0057-06