數據包絡分析方法中決策單元偏序關系的建立

木 仁，馬占新，文宗川

(1.內蒙古工業(yè)大學管理學院，內蒙古 呼和浩特 010051；2.內蒙古大學經濟管理學院，內蒙古 呼和浩特 010021)

數據包絡分析方法中決策單元偏序關系的建立

木 仁1，馬占新2，文宗川1

(1.內蒙古工業(yè)大學管理學院，內蒙古 呼和浩特 010051；2.內蒙古大學經濟管理學院，內蒙古 呼和浩特 010021)

針對基于偏序集理論的數據包絡分析方法中無法給出非規(guī)模收益不變模型中決策單元偏序關系的缺陷，提供了三種常見數據包絡分析模型中偏序關系的建立理論及偏序關系確定算法。該算法能夠給出各個決策單元之間的偏序關系矩陣的同時也能夠給出偏序關系圖，這為決策者提供了更多的決策依據。最終將這一方法應用到了某省自然科學基金評價問題中。

數據包絡分析方法；偏序關系；規(guī)模收益；投影

1 引言

數據包絡分析方法(Data Envelopment Analysis, DEA)是用于評價具有多投入多產出決策單元效率的方法。在過去三十年期間DEA方法得到了快速的發(fā)展與應用[1]。

早期，學者們從不同角度提出了適合不同規(guī)模收益情形下的DEA模型——CCR[2]，BCC[3]，FG[4]，ST[5]模型，并將其匯總為了綜合DEA模型[6]。然而，這些模型依然不適用于眾多實際問題的評價與決策，從而又分別提出了隨機DEA模型[7]，模糊DEA[8]模型，區(qū)間DEA[9]模型，超效率DEA模型[10]，廣義DEA模型[11]，網絡DEA模型[12]，多階段DEA模型[13]等。同時對模型的推廣及應用方面近期研究工作者們又展開了進一步的研究[14-23]。不難發(fā)現這些研究在決策單元投影、決策單元關系的深入挖掘、決策單元的分類與排序、決策單元真實有效的投影方式及逐步改進方式方面的研究依然存在一定的缺陷。

基于建立決策單元特殊關系的目的，早期有馬占新首次提出了基于偏序集理論的數據包絡分析方法[24]，并由木仁等共同對其進行了推廣[25-27]。通過建立決策單元之間的特殊關系，進一步完善了決策單元的投影理論。然而，這些方法中僅對規(guī)模收益不變的CCR模型進行了研究，對其他DEA模型并未展開深入研究。

本文對規(guī)模收益不變，規(guī)模收益遞減及規(guī)模收益遞增的三種常見模型CCR、FG及ST模型中引進了決策單元之間的偏序關系，并通過相關定理及其性質，揭示了這一偏序關系的特性，最終通過相關算法給出了決策單元之間的偏序關系矩陣及偏序關系圖獲取方法。這一偏序關系矩陣及其偏序關系圖不僅為決策者提供了決策單元的逐步改進方式，也為決策單元的分類及決策單元關系的確定提供了新的依據，也為規(guī)模收益可變DEA模型中決策單元特殊關系的建立提供了相關依據。

2 數據說明及相關定義

假設CCR、ST及FG模型中的DMUi和DMUj的投入產出數據表示為:

Xi=(x1i,x2i,…,xmi)T,Yi=(y1i,y2i,…,ysi)T

Xj=(x1j,x2j,…,xmj)T,Yj=(y1j,y2j,…,ysj)T

假定投入產出的每個分量都大于零，如果存在零或負的投入產出分量，則對所有投入產出數據同時加上某一正數保障所有數據都大于零即可。 此時存在ap(p=1,2,…,m),bh(h=1,2,…,s)使得:

xpi=apxpj，yhi=bhyhj

如果令:

kij=min{a1,a2,…,am},

rij=max{b1,b2,…,bs}

則:

xpi≥kijxpj，yhi≤rijyhj

注：在上述數據中如果對ap,bh沒有約束，則所研究結論將適合于CCR模型，如果ap≥1且bh≥1，則所研究結論適合于ST模型，如果ap≤1且bh≤1，則所研究結論適合于FG模型。在文中后續(xù)部分我們不再進行相關敘述。

定義1.1 如果a1=a2=…=am=b1=b2=…=bs，則稱CCR、ST及FG模型中的DMUi和DMUj是等價的，記為DMUi～DMUj。

定義1.2 如果kij≥rij，則稱CCR、ST及FG模型中的DMUi和DMUj存在序關系“”，將其記為DMUiDMUj。

定義1.3 如果kij>rij且kji>rji，則稱CCR、ST及FG模型中的DMUi和DMUj存在嚴格序關系“”，將其記為DMUiDMUj。

定義1.4 如果kij

定義1.5 設(P,)是一偏序集，x∈P，如果對任意的y∈P，若xy，則必有y=x，則稱x為偏序集(P,)的極大元[28]。

3 決策單元偏序關系相關定理及其性質

定理1.1 定義1.2中引進的CCR、ST及FG模型中序關系“”構成一個偏序集。

證明 根據偏序集的相關定義，對任意的DMUi,DMUj,DMUl(i,j,l=1,2,…,n)，需證明自反性，反對稱性及傳遞性。

反對稱性：假定DMUiDMUj且DMUjDMUi，需證明DMUi=DMUj。

對于xpi=apxpj,yhi=bhyhj，kij,rij及在ap,bh相應的約束下有:

kij≥rij

及其相應約束下有:

kji≥rji

kji=min{1/a1,1/a2,…,1/am}=max{a1,a2,…,am}

rji=max{1/b1,1/b2,…,1/bs}=min{b1,b2,…,bs}

xpi≥kijxpj=min{a1,a2,…,am}xpj≥min{a1,a2,…,am}max{a1,a2,…,am}xpi

yhi≤max{b1,b2,…,bs}yhj≤max{b1,b2,…,bs}min{b1,b2,…,bs}yhi

于是:

min{a1,a2,…,am}max{a1,a2,…,am}≤1

max{b1,b2,…,bs}min{b1,b2,…,bs}≥1

由kij≥rij及kji≥rji得知kijkji≥rijrji，即:

min{a1,a2,…,am}max{a1,a2,…,am}≥max

{b1,b2,…,bs}min{b1,b2,…,bs}

于是:

min{a1,a2,…,am}max{a1,a2,…,am}=1

max{b1,b2,…,bs}min{b1,b2,…,bs}=1

這表明xpi=kijxpj,ypi=rijypj，若kij>rij，即min{a1,a2,…,am}>max{b1,b2,…,bs}，則:

max{a1,a2,…,am}

即kji

kij=rij。

這就證明了DMUi=DMUj。

傳遞性：如果DMUiDMUj成立且DMUjDMUl，需證明DMUiDMUl。

對于xpi=apxpj，yhi=bhyhj，kij，rij及其ap,bh相應的約束下有：

kij≥rij

及其相應約束下有：

kjl≥rjl

于是：

令kil=kijkjl,ril=rijrjl，則：

kil≥ril

這表明：

DMUiDMUl

證畢。

定理1.2 CCR、ST及FG模型中的DMUi是有效的，則DMUi必是CCR、ST及FG模型中的極大元。

證明 假設DMUi是有效的，但DMUi不是極大元，則存在DMUj≠DMUi使得：

DMUiDMUj

則對于kij,rij，有：

kij≥rij

此時：

xpi≥kijxpj,yhi≤rijyhj。

(1)如果kij>rij,則xpi≥kijxpj,yhi0，均有：

這說明DMUj的效率值要大于DMUi的效率值。從而DMUi的效率值小于1，這與DMUi有效矛盾。

(2)如果kij=rij，則xpi≥kijxpj,yhi≤kijyhj此時由DMUi≠DMUj得知必存在p0或h0使得：

xp0i>kijxp0j或yh0i

從而：

這也與DMUi有效矛盾。

定理1.3 CCR、ST及FG模型中如果DMUiDMUj，則DMUi必是無效的。

證明 如果存在一個DMUj，使得：

DMUiDMUj

則對于xpi≥kijxpj,yhi≤rijyhj，由于kij>rij，故：

xpi≥kijxpj,yhi

此時?u,v≥0，均有：

即DMUi是無效的。

反之，如果DMUi是無效的，則不一定存在DMUj，使得DMUiDMUj。

定理1.4 CCR、ST及FG模型中DMUiDMUj，且DMUi與DMUj不等價，則DMUi至多是弱有效。

證明 如果DMUiDMUj，則kij,rij，有：

kij≥rij

從而：

xpi≥kijxpj,yhi≤rijyhj

如果kij>rij，則：

DMUiDMUj

根據定理1.3，DMUi是無效的。如果kij=rij，則：

xpi≥kijxpj,yhi≤rijyhj

因DMUi≠DMUj，故必存在p0或h0使得：

xp0i≥kijxp0j或yh0i≤rijyh0j

從而，對?u,v>0，必有：

這說明DMUi不是有效的，但如果對任意給定的u,v≥0，我們可通過將某些權重設為零就有可能滿足：

這表明DMUi可能是弱有效的。

定理1.2說明了CCR、ST及FG模型中極大元不一定是有效的，那么極大元滿足什么條件時必是有效的？以下對CCR、ST及FG模型中的決策單元的相關性質進一步展開分析。

定理1.5 CCR、ST及FG模型中如果兩個決策單元DMUi及DMUj之間不存在序關系“”，則存在某兩組權重u1,v1≥0及u2,v2≥0使得：

證明 對于：

xpi=apxpj,yhi=bhyhj,kij,rij,kji,rji

及滿足相應約束的變量有：

xpi≥kijxpj，yhi≤rijyhj，

xpj≥kjixpi，yhj≤rjiyhi

成立。因DMUi及DMUj之間不存在序關系“”，故DMUiDMUj及DMUjDMUi均不成立。從而：

kij

于是：

xpi>rijxpj,yhi≤rijyhj,

xpj>rjixpi,yhj≤rjiyhi

同理也可取定u2,v2≥0使得：

定理1.5表明，對于不存在偏序關系的兩個決策單元存在某一組權重使得一個決策單元的效率值低于另一個決策單元的效率值。

進一步通過定義1.3及定理1.5不難發(fā)現CCR、ST及FG模型中的極大元本質上是沒有任何決策單元的效率值能夠在任何權重下大于等于該決策單元。那么，為什么該極大元有時會是無效的？這是因為決策單元對于其他決策單元的相對優(yōu)勢并不一定能夠轉化為對所有決策單元的絕對優(yōu)勢。定理1.6對其進行了進一步的說明。

定理1.6 CCR、ST及FG模型中如果DMUi是一極大元，但不是有效的。則對任意滿足條件：

的u,v>0，總存在DMUl，使得在該組權重下：

則在改組權重下對任意的決策單元DMUk均有：

成立，這表明DMUi是有效的，矛盾。

定理1.6說明，如果DMUi是一極大元，但不是有效的，則在任何一組權重下DMUi均不能夠建立與其他決策單元的絕對優(yōu)勢。

定理1.7 CCR、ST及FG模型中如果DMUi是一極大元，且存在一組權重u,v>0，使得對任意的DMUl，總有：

成立，則DMUi是有效的。

證明 根據定理1.6立即得到證明。

定理1.7表明CCR、ST及FG模型中極大元有效的充分必要條件是該決策單元相對其他所有決策單元具備絕對優(yōu)勢。

4 決策單元偏序關系確定算法及決策

單元偏序關系圖的繪制

通過定理1.3得知了在CCR、ST及FG模型中有效的決策單元本質上是相應偏序集理論的極大元。為了更加直觀地觀察出各個決策單元的偏序關系，我們以各個決策單元的效率值為高度，各個決策單元經單位化處理后的平均投入產出數據為橫軸和縱軸給出了決策單元偏序關系圖繪制算法。算法具體步驟如下：

步驟1：對投入產出數據做無量綱化處理[24]；

步驟2：選定具體模型，并根據定義1.2、1.3及算法給出各個決策單元之間的偏序關系及嚴格偏序關系；

步驟3：計算各個決策單元的效率值；

步驟4：計算各個決策單元的平均投入數據及產出數據；

步驟5：以各個決策單元的效率值為豎軸，以各個決策單元的平均投入數據及平均產出數據為橫軸和縱軸畫出各個決策單元的分布圖；

步驟6：連接具有偏序關系的各個決策單元，對于具有嚴格偏序關系的決策單元利用不同直線連接，對于通過傳遞性可以獲取偏序關系的決策單元，不再直接通過直線進行連接。

5 決策單元偏序關系實例

例1.1表1中給出了“十二五”期間內蒙古七大高校獲批內蒙古自然科學基金數量和經費、獲批國家自然科學基金數量和經費及發(fā)表的SCI期刊論文，EI期刊論文及中文核心期刊論文數量數據。試利用偏序集理論的數據包絡分析方法對各大高校進行分析。

解：我們以各大高校獲批內蒙古自然科學基金數量和經費為投入數據，以各大高校獲批國家自然科學基金數量和經費及發(fā)表的SCI期刊論文，EI期刊論文及中文核心期刊論文數量為產出數據對各大高校進行評價。

利用相關算法計算獲得CCR模型、FG模型及ST模型中的各個決策單元之間的偏序關系矩陣及偏序關系圖。結果表明CCR模型中存在的偏序關系最多，它同時包含了FG模型及ST模型中的偏序關系，但反之并不成立。表2中給出了CCR模型中的偏序關系矩陣，圖1中給出了具體偏序關系圖，表1及表2中對大學名稱進行了縮寫，具體大學名稱參見表2中的第一列。

在圖1中不難發(fā)現CCR模型中存在四個有效的極大元，分別是內蒙古農業(yè)大學，內蒙古大學，內蒙古工業(yè)大學和內蒙古師范大學。兩個無效的極大元，分別是內蒙古科技大學和內蒙古民族大學，一個無效的決策單元，是內蒙古醫(yī)科大學。內蒙古醫(yī)科大學與所有其他大學之間均存在嚴格偏序關系，其他決策單元之間并不存在偏序關系。在ST模型中僅存在內醫(yī)大與內工大、內民大和內師大的之間的嚴格偏序關系，在FG模型中僅存在內醫(yī)大與內農大、內大和內科大之間的嚴格偏序關系。圖1中有向箭頭表示了不同決策單元之間的嚴格偏序關系，箭頭上方的是較優(yōu)決策單元。通過上例不難發(fā)現不同DEA模型中決策單元之間的偏序關系是不同的。對于上例而言通過近一步的數據分析發(fā)現不同高校的學科發(fā)展均走向了規(guī)模收益遞減階段，即利用FG模型確定其偏序關系是比較合理的。

表1 “十二五”期間內蒙古各大高校獲批基金及發(fā)表論文相關數據(經費單位：萬元)

表2 CCR模型中各大高校偏序關系矩陣

圖1 各大高校偏序關系展示圖

6 結語

通過在CCR、ST及FG模型中引進新的偏序關系，提供了規(guī)模收益不變、規(guī)模收益遞增及規(guī)模收益遞減DEA模型中的決策單元之間的偏序關系。該方法中通過對決策單元進行等比率的放大或縮小之后的投入產出數據比較確定了決策單元之間的偏序關系。同時，基于展示及應用的目的給出了決策單元偏序關系矩陣的獲取及偏序關系圖展示算法。該矩陣和圖更加全面且直觀的給出了決策單元之間的偏序關系，這為決策者提供了更為詳盡的決策依據。最后，通過相關實例的演示為廣大應用者提供了相關方法的應用步驟，也表明了方法具有較強的可推廣性及應用性。今后的近一步研究熱點是如何確定規(guī)模收益可變的諸如BCC模型中的偏序關系，其研究可緊密圍繞生產前沿面及數據包絡面展開研究。

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The Establishment of Partial Ordered Relations among Decision Making Units in Data Envelopment Analysis Method

MU Ren1，MA Zhan-xin2, WEN Zong-chuan1

(1.Management College, Inner Mongolia University of Technology, Hohhot 010051, China;2.School of Economics and Management, Inner Mongolia University, Hohhot 010021, China)

Based on the defects that are unable to determine the partial order relations other than constant returns to scale model of the data envelopment analysis method based on partially ordered set theory, a new method and algorithm which determine partial order relations of three different frequently used models are provided. This algorithm can not only give the partial order matrix among the various decision making units but also visualize the results directly, which should provide important decision making information for decision-makers. At last, this method is used in the evaluation of a Provincial Natural Science Fund.

data envelopment analysis; partial ordered relation; return to scale; projection

1003-207(2016)11-0103-06

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.11.012

2015-09-30；

2016-02-19

國家自然科學基金資助(71401084，71540040);內蒙古自治區(qū)草原英才項目(CYYC6006)

文宗川(1973-)，男(漢族)，內蒙古烏蘭浩特人，內蒙古工業(yè)大學管理學院，教授，博士，碩士生導師，研究方向：創(chuàng)新方法、評價與決策理論，E-mail:287797817@qq.com.

N94；C934

A