資源約束下可打斷項目組合選擇模型研究

李星梅，魏涵靜，乞建勛，郭曉玲

(1.華北電力大學經濟與管理學院，北京 102206；2.北京北重汽輪電機有限責任公司，北京 100040；3.中國科學院大學工程管理與信息技術學院，北京 100049)

資源約束下可打斷項目組合選擇模型研究

李星梅1，魏涵靜2，乞建勛1，郭曉玲3

(1.華北電力大學經濟與管理學院，北京 102206；2.北京北重汽輪電機有限責任公司，北京 100040；3.中國科學院大學工程管理與信息技術學院，北京 100049)

首先，本文在已有可打斷項目組合選擇模型的基礎上，引入了消耗性資源和可更新資源約束，構建了一個更符合實際的新模型；其次，為了達到模型簡化的目的，本文給出了資金約束的現值表示，并給出了理論證明；最后，利用GAMS對模型進行了算例分析。數值實驗結果表明：1)資源約束下的項目打斷有時可以給企業帶來積極效益，這有別于已有的研究；2)在考慮資源約束的情況下，資源消耗少且同時收益高的項目應優先執行；3)當資源的供給量較少時，資源約束是決定項目選擇的關鍵因素。此外，通過企業實際的案例對數值實驗結果進行了驗證。

項目組合選擇；資源約束；可打斷；資金現值

1 引言

自1952年Harry Markowitz提出均值-方差投資組合模型[1]開始，組合選擇問題便引起了人們的關注。項目組合選擇是指在有限的資源限制下，決策者從一組有限的備選項目中選擇一個項目組合，使該組合能夠最大限度地實現組織的戰略目標[2]，如使組織利潤最大化等。該問題已被應用在各個領域，如研究與發展[3]、資金預算[4]、信息系統/技術[5]等。

項目的執行是需要花費時間的。根據規劃周期的不同，學者們將項目組合的執行過程抽象成單階段和多階段兩種類型。針對多階段項目組合選擇問題[6]，Servakh和Sukhikh[7]考慮了收益再投資問題，Stummer和Heidenberger[8]在分析項目間相關性的基礎上比較了考慮相關性與不考慮相關性給組合收益帶來的差異，Ghasemzadeh和Archer[9]建立了一個針對項目組合選擇問題的決策支持系統，Medaglia等[10]在項目組合選擇中引入了緊前關系，壽涌毅和宋淳江[11]在研發項目合作伙伴選擇問題中考慮了風險及合作伙伴間的協作關系，李秉祥和吳建祥[12]在長短期項目選擇的可分離均衡中考慮了經理人的管理防御行為，于超和樊治平[19]在多個行業的風險投資項目選擇過程中考慮了決策者后悔規避因素等等。這些文章都認為一旦項目開始直到完成都不能被打斷。然而，項目執行過程中一些不可預見的因素會導致項目被打斷執行，如資金缺乏、原材料供給不足、技術工人缺失等。只有當資金補足、原材料到位、技術工人補足后，項目才能繼續執行[13]。基于此，本文的著眼點落在可打斷項目的組合選擇問題的研究上。

基于現實的考慮，Li Xingmei等[14,20-21]假設項目的執行是“可打斷”的，并綜合考慮了項目的資金約束、收益再投資、緊前關系約束和生產準備成本等，繼而構建了可打斷項目組合選擇模型。然而，文章中卻忽略了資源約束對項目組合的影響。Ghasemzadeh和Archer[9]在項目選擇問題中考慮了可更新資源約束的影響，Chen Jiaqiong等[15]在項目選擇和調度問題中引入了資源約束，并認為資源是有限的而且可更新的，Liu Shushun等[16]提出了一種依賴于時間的資源約束，郭研和董超[17]在資源約束的前提下進行了高新技術企業研發項目選擇策略研究等等。然而，項目一旦被打斷，資源的分配就會發生變化。在項目可打斷的情況下考慮資源約束，目前作者還沒有看到相關研究。此外，資源也是制約著項目是否被打斷的一個重要因素，因此在可打斷情況下引入資源約束是很有必要的。

資源約束包括消耗性資源約束和可更新資源約束，消耗性資源是指在項目啟動時以總量出現，并隨著項目進展逐漸消耗的資源，例如各種原材料、能源等[18]。可更新資源是指在每個時刻的供應量都是有限的，在這一時間段內會消耗，但在下一時刻初會重新更新，例如人力、設備等。本文以項目可打斷為基礎來研究多階段的受兩種資源約束的項目組合選擇問題。

基于上述分析，資源約束這一重要現實因素加入到可打斷項目組合選擇模型中去，構建出新的考慮資源約束的項目組合選擇模型，并給出資金約束現值表示，在附錄部分給出了理論解釋，最后用GAMS對實際算例進行分析，數值結果表明資源約束下的項目可打斷會給企業帶來積極的影響。

2 模型建立

2.1 模型參數

假設可供選擇的項目集合為V，j∈V，j=1,2,…,n，n表示可供選擇項目的個數；A表示計劃投資期的集合，t∈A，t=1,2,…,T,T代表計劃投資期的期數,t時間段表示(t-1)時刻到t時刻之間的時間段間隔；K(t)表示在t時刻對所有項目的初始可投入資金,t=0,1，…，T-1；kj代表完成整個項目j需要的投資；r0表示折現率；cj表示項目j完成后的收益；sj表示項目j的生產準備成本；∑表示緊前關系的集合，即若(i,j)∈∑，則直到項目i結束后項目j才能開始；zj是一個布爾變量，如果在整個投資期內項目j被選擇，則zj=1，反之zj=0；xjt表示在t時間段內項目j執行的比例且xjt∈0∪[αjt,βjt]，其中αjt表示在t時間段項目j執行比例的最小值，βjt表示在t時間段項目j執行比例的最大值；yjt是一個布爾變量，如果xjt=0則yjt=0，否則yjt=1；N表示整個投資期內可選擇項目的最大數量；Mt表示在t時間段內可選擇項目最大數量。

2.2 資源約束

消耗性資源和可更新資源約束將被分別描述如下：

2.3 資源約束下可打斷項目組合選擇模型構建

基于上述分析，在考慮消耗性資源和可更新資源約束的前提下，我們在Li Xingmei等[14]模型基礎上構建了一個新的以收益凈現值最大化為目標函數的項目組合選擇模型，其(Model 1)表示如下：

其中，目標函數(1)是以收益凈現值最大化為目標；約束(2)表示項目在每個時間段所執行的比例是受限制的，要介于最大值和最小值之間；約束(3)為緊前關系約束，即一個項目直到另一個項目完成后才能開始；約束(4)和(5)分別為消耗性資源約束和可更新資源約束；約束(6)和(7)分別是對整個投資期和每個時間段可執行項目數量的約束；約束(8)表示若一個項目被選擇，則它必須在整個投資期內完工；原有的資金約束采用資金的將來值表示，約束(9)給出了資金約束采用資金的現值表示，具體的理論解釋見附錄；公式(10)-(12)表示變量取值范圍的界定。

該模型為混合整數線性規劃模型，其中有“nT+n”個0-1變量，“nT”個連續變量，約束的個數取決于集合∑中包含元素的個數。

2.4 資源約束下不可打斷項目組合選擇模型構建

如果項目在一個時間段內要么不執行(xjt=0)，要么就執行完(xjt=1)，這稱為不可打斷。基于此，在可打斷項目組合選擇模型基礎上，得到了資源約束下不可打斷項目組合選擇模型，其(Model2)表示如下：

該模型為整數線性規劃模型，其中有“nT+n”個0-1變量，約束的個數取決于集合∑中包含元素的個數。

2.5 兩個模型比較分析

Model 1引入了介于αjt和βjt的連續變量xjt，即通過這個連續變量把“可打斷”的思想引入到項目組合選擇的模型中來；Model2中xjt的取值是0-1變量，它表示項目在一個時間段內，要么不選，要選就要執行完。若Model1中αjt和βjt都取特殊值，即αjt=0，βjt=1，Model2就是Model1的一個特殊情況，它的最優解也是Model1的可行解。

3 數值實驗

由于可打斷項目組合選擇問題屬于NP-hard問題，因此根據新模型的特點，本文采用GAMS軟件求解。通過選取B公司的一些數據，應用GAMS軟件對數據進行分析進而求出目標函數的最大值，以此來證明研究資源約束下可打斷項目組合選擇模型的必要性。

首先B公司整個投資期內可供選擇項目的數量是20(n=20)；整個計劃投資期分為10個時間段(T=10)；每個項目所需的投資和項目完成后的收益以及每個時刻的初始資金如表1和表2所示。

項目緊前關系的集合Σ={(1,5), (2,12), (3,5), (5,10), (8,11), (8,20)}，如(1,5)表示項目1完成后項目5才能開始；折現率r0為5%；每個項目的生產準備成本sj都為100萬美元；整個投資期內可執行項目的最大數量N=12；每個時間段內可執行項目的最大數量Mt=2；表3代表每個項目對消耗性資源的需求量，我們將每種消耗性資源的總量固定為25，即Gm=25。

表1 每個項目所需投資和項目完成后的收益 單位：百萬美元

表2 每個時刻的初始資金 單位：百萬美元

表3 每個項目對消耗性資源的需求量(由于資源是一種統稱，故不設單位)

隨后我們給出了可更新資源約束的數據。由于可更新資源在每個時刻初期都能重新更新，并且可能每個時間段的量是相同的。我們假設一種可更新資源在每個時間段可用的量是固定的。每個項目對可更新資源的需求量如表4所示，表5給出每個時刻可更新資源供給量。

表4 每個項目對可更新資源的需求量(由于資源是一種統稱，故不設單位)

基于這些數據，我們得到了在資源約束下項目不可打斷時執行的項目以及項目執行的時間，結果如表6所示。此時目標函數值為1.27億美元，在整個投資期內執行的項目數量為4個，分別是1、2、4、16，從結果我們可以看出，由于資源的約束使得很多項目不被選擇，同時當資源供給量少時，資源是決定項目組合的決定因素。以項目5為例，項目5的凈收益在所有項目中是最大的，但是由于項目5對可更新資源p1的需求超過任何時間段內p1的供給量，從而導致項目5不被選擇。而項目16盡管凈收益很少，但是綜合多個方面的因素，項目16在被選擇行列中。

表5 每個時刻可更新資源的供給量

當考慮到項目可打斷時，則規定了每個時間段內項目執行比例的最大值為0.5，最小值為0.2，即αjt=0.2，βjt=0.5。此時的結果如表7所示，其中18(0.29)表示在該時間段項目18執行，并且執行比例為29%，在項目可打斷時，執行的項目為1、2、4、8、14、15、18，這時凈現值為1.47億美元。

由表6和表7對比可以看出，在資源約束的前提下，項目可打斷與項目不可打斷時相比，凈現值由1.27億增加到了1.47億，增長了很多，執行的項目從1、2、4、6變為1、2、4、8、14、15、18，同時執行的項目數量由4個增加為7個。資源約束下項目可打斷會影響選擇的項目、項目的數量、項目的執行比例，進而影響項目組合的凈現值。以上結果表明：考慮到資源約束則資源是影響著項目組合的關鍵因素，同時資源約束下考慮到項目可打斷可以為企業帶來更大的收益，從而證明了資源約束下可打斷項目組合選擇模型的必要性。

為進一步說明模型的實際可應用性，現以華電集團新能源技術公司項目決策為例。2015年該公司可供選擇的總承包工程項目共20個，其中風電項目14個，光伏項目6個。經專家預測，各項目的收益與成本如表8所示，初始投入資金如表9所示，項目執行比例的最大值為0.7，最小值為0.3，項目的生產準備成本為0.1億元。此時，其資源約束下可從表10可以看出，華電集團新能源技術公司選擇執行風電項目1、2、3、5、7、10和光伏項目19時，收益最大，其凈現值為11.55億元。以上實際案例的應用，證明本文研究在項目決策中是具有實際意義的。

表6 資源約束下不可打斷模型求解結果

打斷模型求解結果如表10所示。

表7 資源約束下可打斷模型求解結果

表8 每個項目所需投資和項目完成后的收益 單位：億元

表9 每個時刻的初始資金 單位：億元

表10 資源約束下可打斷模型求解結果

4 結語

文章在可打斷項目組合選擇模型中加入資源約束，并引入實際算例證明了加入資源約束對現有模型的影響，研究結果表明：當資源供給量較少時，資源約束是決定項目選擇的關鍵約束；在資源約束的前提下，項目可打斷會給企業帶來更多的收益，從而說明在項目組合選擇問題中對項目可打斷以及資源約束的研究的必要性。

研究下一階段將在原有的可打斷項目組合選擇模型的基礎上考慮多目標，即不單單以收益最大化為目標，同時考慮成本最小，效用最大等目標，以期構建更加完善的、符合企業長期發展的項目組合選擇模型。

附錄

已知資金將來值表示為

(13)

現值=將來值×(1+r0)-t。

將(13)×(1+r0)-t得:

(14)

展開(14)得：

(15)

當τ=0時，該式=K(0)，

(16)

(17)

(18)

(19)

綜合以上(16)-(19)式可以把(15)式整理為：

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Research on Project Portfolio Selection Model with Divisibility and Resource Constraints

LI Xing-mei1, WEI Han-jing2, QI Jian-xun1, GUO Xiao-ling3

(1.School of Economics and Management, North China Electric Power University, Beijing 102206, China;2.Beijing Beizhong Steam Turbine Generator Co., Ltd., Beijing 100040, China;3.College of Engineering & Information Technology, University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China)

With the development of scientific technology and the acceleration of economic globalization, managers who own much capital face more and more projects to choose. How to invest the scarce resources such as budget, people and time. on a most profitable subset is crucial for a firm/organization. This is the main concern of project portfolio selection problem. In real world, managers note that project interruptions may happen, which come from some managerial concerns, such as the lack of cash, materials and technicians. When managers consider the project interruptions as a strategy in choosing the best execution scheduling for projects, i.e., in fact, they try to optimize the project execution by running the projects by portions, and the consideration of the project interruptions as the above strategy is manager’s initial intent. These types of interruptions are called divisibility. In this paper this type of project portfolio selection problem considering divisibility is mainly concerned. To the best of our knowledge, there is yet not research about resource constraints introduced into the project portfolio selection problem considering divisibility. Therefore, based on the model of project portfolio selection considering divisibility, a new model considering consumptive and renewable resource constraints is constructed. This model is a mixed integer programming problem with a linear objective function. And then a model of project portfolio selection problem without divisibility is set up. This model is an integer programming problem. The comparison analysis of the above two models is presented.More specifically, the second model is the special case of the first model under some assumptions. Secondly, for the purpose of simplifying the above models, the capital present value presentation is introcluced and proved. Finally, one numerical example is given to illustrate the characteristic of the new model with using GAMS. The result shows that: 1) unlike the research of the past, project divisibility can bring positive influence for the enterprise under the resource constraints. 2) Those projects with more profits and less use of resources are required precedence over all others. 3) When resources are limited, resource constraints are key factors for the selection of projects. A practical case provides the proof for the above results.

project portfolio selection; resource constraints; divisibility; capital present value

1003-207(2016)11-0040-07

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.11.005

2015-01-06；

2015-12-29

國家自然科學基金資助項目(71171079)；北京市產學研聯合培養研究生共建項目資助

李星梅(1971-)，女(滿族)，河北承德人，華北電力大學經濟與管理學院，副教授，研究方向：項目管理、技術經濟,E-mail:xingmeil@163.com.

F270.7

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