計及運動副間隙的獨立懸架汽車擺振動力學建模與分析*

張 磊,盧劍偉,姜俊昭,燕培磊,李 磊

(1.合肥工業大學機械與汽車工程學院，合肥 230009； 2.江淮汽車股份有限公司技術中心，合肥 230601)

計及運動副間隙的獨立懸架汽車擺振動力學建模與分析*

張 磊1,盧劍偉1,姜俊昭1,燕培磊1,李 磊2

(1.合肥工業大學機械與汽車工程學院，合肥 230009； 2.江淮汽車股份有限公司技術中心，合肥 230601)

以采用麥弗遜式獨立懸架和齒輪齒條轉向器的車輛為對象，計及轉向系運動副間隙的影響，應用拉格朗日方程建立了8自由度車輛擺振系統動力學模型。接著基于非線性動力學分析方法，通過數值仿真，分析了車速、間隙和簧下質量對前輪擺振幅度的影響。結果表明，在某些特定車速范圍，前輪會發生較為嚴重的自激擺振，與試驗結果基本吻合，驗證了模型的正確性。

獨立懸架汽車; 前輪自激擺振; 運動副間隙; 動力學建模

前言

前輪擺振是汽車普遍存在的一個現象，表現為轉向輪繞主銷的持續振動和轉向盤的抖動等。擺振不僅和汽車操縱穩定性密切相關，而且由擺振引起的轉向盤的持續振動會降低駕駛體驗甚至導致駕駛疲勞，影響行車安全。前輪擺振總體上可分為強迫振動和自激振動兩種。由于自激型擺振與輪胎的遲滯阻尼特性、輪胎定位參數、轉向系、前懸架的結構參數和系統內部非線性因素等密切相關，而強迫振動只是在其基礎上施加外部激勵，故從汽車正向設計的角度來看，研究自激型擺振顯得更有意義[1-4]。

20世紀90年代以前，學者們主要關注非獨立懸架車輛的擺振問題，建立了考慮懸架因素的3自由度擺振模型，用于分析車輛擺振的機理[5]。90年代以后，獨立懸架汽車保有量快速增加，尤其以麥弗遜式前獨立懸架和齒輪齒條式轉向機構的乘用車為甚，部分學者開始考慮獨立懸架汽車的擺振問題[6]，但是相關研究對于獨立懸架中復雜定位參數等因素的考慮還不夠全面。

先前的研究發現，非獨立懸架車輛轉向系的運動副對車輛擺振動力學響應有顯著影響[7]。此外，某車型的市場反饋顯示：該車型使用一段時間后，在中低車速段，車輛轉向系自激擺振現象加劇。本文中針對此現象，以該車型參數為基礎，采用麥弗遜式獨立懸架和齒輪齒條式轉向器，建立了計及轉向系運動副間隙的8自由度擺振動力學模型，并進行針對相關參數的分析。通過算例，考察了車速、間隙和簧下質量對前輪擺振響應的影響，相關結果與實際情況基本吻合，可為獨立懸架在役車輛擺振動力學分析提供借鑒。

1 動力學模型的簡化

因前輪擺振涉及的車輛系統較為復雜，故結合麥弗遜獨立懸架車輛特征進行必要的簡化，以確保結論可信的前提下降低建模難度。整個模型分為3個子系統：懸架與定位參數、轉向機構和輪胎。簡化后的系統包含8個自由度：左、右前輪轉角θL和θR，左、右前懸架下擺臂轉角ψL和ψR，左、右轉向拉桿轉動自由度φ4和φ3以及左、右轉向拉桿與轉向齒條共有的平動自由度xr和轉向齒輪轉動自由度θp。據此列出總系統的動能、勢能和耗散能，利用拉格朗日方程得出動力學模型。

圖1 麥弗遜式懸架簡化示意圖

假設汽車在平坦路面上以勻速v直線行駛，忽略風阻，不考慮簧上的車身自由度和路面與動力總成振動對輪胎的激勵。獨立懸架斷開式車軸的設計，有別于非獨立懸架，它降低了與轉向系動力學耦合的影響，因此在懸架上僅考慮下擺臂繞其與副車架聯結處軸線的旋轉自由度，將懸架簡化為僅在下擺臂外端運動方向上的彈簧阻尼機構，如圖1所示。橫向穩定桿只考慮其扭轉剛度，并等效成一根無質量的扭轉彈簧；前輪定位參數中,只考慮對擺振影響較大的主銷后傾角和內傾角。充分考慮麥弗遜式獨立懸架變化的虛擬主銷軸線對前輪定位參數的影響，如圖2所示。

圖2 主銷軸線變化示意圖

圖2中，O1點為筒式減振器上鉸鏈中心，H點為下擺臂外端的球鉸鏈中心，O1H所在軸線即為虛擬的主銷軸線，L為其長度，L′為其在x軸方向上投影的長度，γ0為初始主銷后傾角，α0為初始主銷內傾角，O1H2和O1H3可視為下擺臂發生微小角度位移ψ時主銷軸線的變化，δ為下擺臂外端球鉸鏈中心在垂直方向上的位移，可認為δ=Bψ,其中B為下擺臂與副車架聯接處軸線與車輪縱向中心平面的距離。由此可得隨下擺臂參數而變化的主銷內傾角和后傾角為

(1)

(2)

假定轉向盤固定不動，從轉向齒輪到轉向盤簡化成為彈簧阻尼機構。將轉向梯形機構看成平面五桿機構,且視為垂向受約束的剛體。考慮左、右轉向節臂分別與左、右轉向拉桿之間球鉸的間隙和齒輪齒條的嚙合側隙，均采用“二狀態”模型來描述含間隙運動副的動力學特性[8]。考慮到擺振的幅度很小，導致使齒輪齒條機構運動的幅度也很小，故為簡化模型，不考慮齒形誤差帶來的內部激勵，且用平均嚙合剛度代替時變嚙合剛度，簡化后的轉向系如圖3所示。當汽車直線行駛，不發生擺振現象時，θL=θR=0，由圖3轉向梯形的幾何關系可得φ1=Φ+θR，φ2=π-Φ+θL，其中Φ=1.5rad，為轉向梯形的初始底角，即左、右轉向節臂在不發生轉向時和x方向所夾之銳角，由該型車輛參數決定。φ1～φ4為描述4根桿件角位移的廣義坐標，均定義為與x方向逆時針所夾的角度。

圖3 轉向系簡化示意圖

輪胎只考慮純側偏工況，無側向滑移，且各輪胎側偏特性相同。選用魔術公式模型模擬輪胎動態側偏力變化：

FL=Sy+D0sin{C0arctan[B0(αL-Sx)·

(1-E0)+E0arctanB0(αL-Sx)]}

(3)

FR=Sy+D0sin{C0arctan[B0(αR-Sx)·

(1-E0)+E0arctanB0(αR-Sx)}

(4)

式中：FL和FR分別為左、右車輪所受側偏力；αL和αR分別為左、右車輪的側偏角；Sx，Sy，B0，C0，D0和E0均為魔術公式參數。利用文獻[9]中所給參數值：Sx=0，Sy=0，B0=9.032rad-1，C0=1.29，D0=-5.25kN，E0=-0.801，可得到輪胎純側偏工況下側偏力與側偏角的關系。

根據文獻[10]可建立輪胎滾動時車輪擺角和側偏角之間的關系為

(5)

式中：σ為輪胎的松弛長度；a為輪胎的接地印記長度。

2 系統動力學方程的建立

系統的動能為

(6)

式中：IS為前輪總成換算到主銷的轉動慣量；Ia為下擺臂繞其與副車架聯接點軸線的轉動慣量；Ib為半軸繞其近端萬向節轉動慣量；m4和m3分別為左、右轉向拉桿的質量；J4s和J3s分別為左、右轉向拉桿的繞其質心轉動慣量；m5為齒條所在桿件的質量；Jp為齒輪及其與轉向盤之間轉向柱繞其旋轉軸的等效轉動慣量；D為下擺臂在汽車橫向軸線上的投影長度；A為汽車半軸前后萬向節之間的長度。

系統的勢能為

(7)

式中:kz為輪胎的垂向剛度；Lp和Lq分別為主銷軸線與地面的交點至車輪與地面接觸點的縱向距離和橫向距離；α和γ分別為時變的主銷內傾角和后傾角；kx為懸架彈簧在下擺臂運動方向上的剛度；kw為小齒輪到轉向盤的等效剛度；ky為輪胎的側向剛度；kb為橫向穩定桿換算至下擺臂位移上的等效扭轉剛度；R為車輪的滾動半徑。

系統的耗散能為

(8)

式中：CS為車輪總成換算到主銷的當量阻尼系數；Cx為懸架減振器在下擺臂位移上的阻尼系數。

對應于上述系統的8個自由度，可依次得出8個廣義力分別為

F24x[l2sin(Φ-θL)+e24y+R4sinβ24]-

F24y[l2cos(Φ-θL)-e24x-R4cosβ24]

(9)

式中:Iy為車輪繞自身旋轉軸的轉動慣量；e為輪胎拖距；F24x和F24y分別為左間隙(左轉事拉桿與左轉向節臂之間球鉸副的間隙)處的碰撞力在x和y方向上分量；l2為左轉向節臂的長度；e24x和e24y分別為左間隙處偏心距在x和y方向上分量；β24為左間隙處的接觸角；R4為左球頭銷的半徑。

F13x[l1sin(Φ+θR)+R3sinβ13]-

F13y[l1cos(Φ+θR)+R3cosβ13]

(10)

式中:F13x和F13y分別為右間隙(右轉向拉桿與右轉向節臂之間球鉸副的間隙)處的碰撞力在x和y方向上分量；l1為右轉向節臂的長度；β13為右間隙處的接觸角；R3為右球頭銷的半徑。

(11)

(12)

Q5=-F24x(-l4sinφ4-R4sinβ24)-

F24y(l4cosφ4+R4cosβ24)

(13)

式中l4為左轉向拉桿的長度。

Q6=F13x(-l3sinφ3-e13y-R3sinβ13)-

F13y(-l3cosφ3-e13x-R3cosβ13)

(14)

式中：l3為右轉向拉桿的長度；e13x和e13y分別為右間隙處偏心距在x和y方向上分量。

(15)

(16)

式中：kg和Cg分別為齒輪齒條的平均嚙合剛度和嚙合阻尼；rp為轉向齒輪分度圓半徑；f(x)為描述含有齒輪側隙的齒輪嚙合力的非線性函數。設齒輪齒條的嚙合側隙為2b，則函數f(x)為

(17)

基于上述分析，應用第二類拉格朗日方程則可得出系統的動力學微分方程為

F24x[l2sin(Φ-θL)+e24y+R4sinβ24]+

F24y[l2cos(Φ-θL)-e24x-R4cosβ24]=

0

(18)

F13x[-l1sin(Φ+θR)+R3sinβ13]+

F13y[l1cos(Φ+θR)+R3cosβ13]=0

(19)

(kzB2+kxB2+kyR2+kb)ψL-kbψR+

kzB(Lpγ-Lqα)θL+FLR=0

(20)

(kzB2+kxB2+kyR2+kb)ψR-kbψL+

kzB(Lpγ-Lqα)θR-FRR=0

(21)

F24x(-l4sinφ4-R4sinβ24)+

F24y(l4cosφ4+R4cosβ24)=0

(22)

F13x(-l3sinφ3-e13y-R3sinβ13)+

F13y(-l3cosφ3-e13x-R3cosβ13)=0

(23)

(24)

kwθp=0

(25)

3 算例分析與討論

該車型以往的試車結果發現，車輛在中、低速時會發生較為明顯的擺振現象，可以此為依據定性驗證所建動力學模型的正確性，從而運用該動力學模型對車輛擺振響應進行分析。該車型主要參數見表1，運用2階改進的Rosenbrock算法進行數值求解。

圖4為左輪擺角的最大值隨車速的變化曲線，車速范圍為10-130km/h，假設車輪受到路面不平的沖擊，造成左前輪的轉角θL的初值為0.001rad,運動副間隙可根據實際工程經驗取值，其中球鉸鏈間隙為0.5mm,齒輪齒條嚙合側隙取值為0.2mm。可以看出，在整個較大的中低速范圍內，車輛都會發生擺振現象，尤其在40-70km/h的范圍內程度相對劇烈，和實際情況基本吻合。

表1 某獨立懸架汽車擺振模型參數

圖4 左輪擺角最大值隨車速變化曲線

其中，車速為50km/h時的動力學響應如圖5所示。車輪在受到初始激勵后，會在較短的時間內達到穩定狀態持續振動，為一典型的自激振動現象。此時運動形態為擬周期運動向混沌運動的過渡階段，形態較為復雜，不利于工程控制。

圖5 車速為50km/h時左輪擺角動力學響應

圖6為球鉸間隙r、齒輪側隙b均為0.5mm和球鉸間隙r、齒輪側隙b均為0.2mm兩種情況下左輪擺角最大值隨車速的變化曲線對比，可以看出間隙大小在擺振車速范圍內的影響較為敏感。隨著車輛使用時間的增加，轉向系運動副不可避免地會因磨損出現間隙，而間隙對擺角的幅值有著較大的影響，故在車輛擺振動力學建模分析中計及運動副間隙有重要意義。

圖6 兩種間隙下左輪擺角最大值隨車速變化曲線對比

圖7 兩種簧下質量下左輪擺角最大值隨車速變化曲線對比

在輪胎總成不變的情況下，懸架結構很大程度上決定了簧下質量的大小。因此對于探求懸架因素與轉向機構因素耦合下的擺振動力學模型，有必要考察簧下質量因素的影響。圖7為簧下質量的變化對擺振幅度的影響。其中球鉸間隙為0.5mm，齒輪側隙為0.2mm，實心點線為簧下各部件質量相對原值均勻地減少15%；星點線為均勻地增加15%。可以看出：簧下質量的大小對擺振的區間和幅值大小均有一定的影響，簧下質量減小會使整個曲線右移，體現在發生擺振最大值的車速升高，且發生擺振的車速范圍會向高車速方向擴大；而增加簧下質量的結果則相反，雖會縮短擺振發生的車速區間長度，但在發生擺振現象較為劇烈的車速段，即40-70km/h，其擺角幅值要明顯大于減小簧下質量的情況。

4 結論

本文中利用拉格朗日方程建立了考慮轉向系運動副間隙的麥弗遜式獨立懸架汽車8自由度動力學模型，并應用數值算例分析了車速、間隙和簧下質量對擺振幅度的影響，得出如下結論。

(1)通過所建模型計算車輪擺角最大值隨車速的變化曲線，確定了自激擺振發生的速度區間和發展趨勢，相關結論與該車型實際試車情況基本吻合，從而驗證了模型的準確性。

(2)計及轉向系運動副間隙時，某一固定車速下的車輪擺振運動形態較為復雜，為擬周期運動向混沌運動的過渡階段，不易于工程控制。

(3)通過計算兩種間隙下和兩種簧下質量下的車輪擺角隨車速的變化曲線表明：間隙因素和懸架因素對擺振的影響不容忽視，將這兩種因素納入擺振動力學建模中對工程實際的指導有著重要意義。

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Dynamics Modeling and Analysis on Shimmy in Independent Suspension Vehicle with Consideration of Clearances in Kinematic Pairs

Zhang Lei1, Lu Jianwei1, Jiang Junzhao1, Yan Peilei1& Li Lei2

1．SchoolofMechanicalandAutomotiveEngineering,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009;2.PassengerCarofResearchCenter,AuhuiJianghuaiAutomobileCo.,Ltd.,Hefei230601

Taking a vehicle with McPherson independent suspension and rack/pinion steering mechanism as objective, with consideration of the effects of clearances in the kinematic pairs of steering system, an eight DOF dynamics model for vehicle shimmy is established by applying Lagrange equation. Then based on nonlinear dynamics analysis, a numerical simulation is conducted on the model to analyze the effects of vehicle speed, clearances and unsprung mass on the shimmy amplitude of front wheels. The results show that rather serious self-excited shimmy may happen on front wheels at some specific speed ranges, which basically well agree with test results, verifying the correctness of the model built.

independent suspension vehicle; front wheel self-excited shimmy; clearances in kinematic pairs; dynamics modeling

*國家自然科學基金(50975071)、教育部新世紀優秀人才支持計劃(NCET-10-0358)和安徽省高等學校省級自然科學研究重大項目(KJ2014ZD06)資助。

2016233

原稿收到日期為2015年9月25日，修改稿收到日期為2015年12月24日。