基于區間分析的汽車盤式制動器的穩定性分析與改進*

呂 輝，于德介

(湖南大學,汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙 410082)

2016051

基于區間分析的汽車盤式制動器的穩定性分析與改進*

呂 輝，于德介

(湖南大學,汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙 410082)

針對汽車制動噪聲的抑制問題，基于區間不確定性分析，提出了一種汽車盤式制動器的穩定性分析與改進方法。該方法將制動器系統的摩擦因數、制動壓力和磨損部件的厚度視為不確定性參數，并采用區間參數進行描述。以不穩定模態的阻尼比衡量系統的穩定性，將有限元復模態分析技術與響應面法相結合，建立了分析目標與系統參數間的隱式函數關系，實現了制動器穩定性分析模型的參數化。結合區間分析方法和可靠性分析方法，研究了某型車的盤式制動器系統的穩定性，分析了不確定性條件下制動器系統穩定性變化的統計規律，并從可靠性角度提出了改善系統穩定性的措施。該分析方法可為抑制制動噪聲提供參考。

制動噪聲；區間分析；穩定性；不確定性；復模態

前言

汽車制動噪聲已成為城市的主要噪聲污染源之一。如果汽車的制動器系統在工作過程中處于不穩定狀態，就可能引起強烈的振動，并產生刺耳的噪聲，其中以1～16kHz的尖叫聲最困擾乘客的聽覺，嚴重影響汽車的舒適性[1]。針對汽車制動噪聲問題，不少研究通過對制動器摩擦耦合系統的有限元模型求解復模態來判斷系統的穩定性，從而預測制動噪聲的產生趨勢。有限元分析已成為研究制動器穩定性的有效方法[2]。文獻[3]中建立了汽車盤式制動器的摩擦耦合有限元模型，通過求解制動器的復模態，根據復模態的阻尼比分析了各參數對系統穩定性的影響，提出了降低摩擦因數和修改制動片幾何形狀的改善措施，該研究在汽車盤式制動器制動噪聲的預估和改善上取得了很好的效果,但沒有考慮參數不確定性的影響，研究結論只有在系統參數為確定值時才具有較大的參考意義。文獻[4]和文獻[5]中從子結構模態的角度對制動器的穩定性進行研究，基于制動器摩擦閉環耦合有限元模型求解了系統復模態，分析了模態參數的靈敏度，提出了修改支撐支架等改進措施，該研究方法沒有考慮制動器磨損部件幾何參數的變化和制動壓力的波動變化，在實際工程中適用范圍有限。

材料特性、幾何磨損和作用載荷等參數在工程實際中往往具有不確定性，將各參數的不確定性引入分析模型中，能更好地反映工程實際[6]。將不確定性參數看作區間參數，只須獲得參數的上下界信息，這些信息在工程實際中也很容易獲得，因此基于區間分析的相關研究在工程中得到了廣泛的應用[7]。將不確定性參數引入分析模型后進行可靠性分析，能保證隨機模型不因參數的波動而失效[8]。

本文中針對制動器振動噪聲產生的復雜性，將參數不確定性引入到汽車盤式制動器的穩定性分析中，采用區間參數對制動器系統的摩擦因數、制動壓力和磨損部件幾何厚度參數的不確定性進行描述，將有限元復模態技術和響應面法相結合，解決了分析目標與分析參數間的隱式函數關系問題，實現了制動器穩定性有限元模型的參數化。結合區間分析與可靠性分析，研究了某型車的浮鉗盤式制動器系統的穩定性，分析了不確定性條件下該制動器穩定性變化的統計規律，并從可靠性角度提出了改善系統穩定性的措施。

1 區間參數和非概率可靠性

1.1 區間參數

對于任意不確定參數X在某一區間內變化，其上下界分別為XU和XL，即

X∈[XL,XU]

(1)

則稱X為區間參數，令

(2)

式中：XC稱為區間中點或均值；XR稱為區間半徑或離差。

1.2 非概率可靠性

受各種客觀因素的影響，結構所受的載荷和結構的幾何尺寸等參數往往都具有不確定性。如果這些參數的概率分布信息難以獲取，但卻能確定其大致變化范圍，則可用區間變量描述這些參數。由于結構參數不包含概率信息，對應的結構可靠性稱為非概率可靠性[9]。

設矢量X表示結構的不確定區間參數集合，即

(3)

式中:上標L和U分別表示下界和上界；m為區間參數個數。結構失效準則確定的功能函數為

M=G(X)=G{X1,X2,…,Xm}

(4)

功能函數M也為區間變量，即

M∈[ML,MU]

(5)

式中：MU和ML分別為區間上下界，且滿足：

(6)

設M的均值和離差分別為MC和MR，定義結構的非概率可靠性指標[9]為

(7)

按照結構的可靠性理論，超曲面G(X)=0為失效臨界面，它將結構的基本參量空間分為失效域和安全域，G(X)>0和G(X)<0分別表示結構處于安全狀態和失效狀態。

由式(4)和式(7)可知：如果η>1，均有G(X)>0，結構安全可靠；如果η<-1，均有G(X)<0，結構失效；如果-1<η<1，G(X)>0和G(X)<0均有可能，結構可能安全也可能失效。因此要保證結構完全可靠，必須保證η>1，η的值越大，結構的安全程度和可靠性越高。

2 盤式制動器穩定性的有限元分析

[10]，采用復特征值分析方法對制動器系統穩定性進行研究，振動系統的動力學方程為

(8)

式中：M，C和K分別為振動系統的質量、阻尼和剛度矩陣；{u}為廣義位移振動矢量；F為制動片和制動盤摩擦接觸而產生的作用力矢量。將F簡化為振動位移的線性函數[10]，并表示為

F=Kf{u}

(9)

式中：Kf為摩擦接觸剛度矩陣，由摩擦接觸面屬性決定。將式(9)代入式(8)得自由振動方程：

(10)

由于引入了摩擦力，式(10)中的系統剛度矩陣(K-Kf)變為不對稱結構，意味著系統特征根和特征向量在一定條件下是復數，對應有限元分析中系統模態頻率和模態振型均為復數形式。

設振動系統的解為

{u}={φ}est

(11)

代入式(10)可轉化為復特征值問題：

(s2M+sC+K-Kf){φ}=0

(12)

si1,2=σi±jωi

(13)

式中：σi和ωi分別為第i階復模態對應的復特征值的實部和虛部。參考文獻[3]，定義第i階模態阻尼比的形式為

(14)

式中ζi為第i階模態阻尼比。當阻尼比為負時，系統為負阻尼，系統特征值具有正實部，結合系統穩定性理論知此時系統是不穩定的；文獻[3]表明負阻尼比ζi的數值越大，系統的穩定程度越高。因此系統的穩定性和穩定程度可通過ζi衡量。

3 汽車盤式制動器穩定性分析模型

3.1 汽車盤式制動器簡化模型

圖1 盤式制動器簡化模型

汽車盤式制動器一般由制動盤、制動片、支撐背板、鉗體、分泵和油管等組成。為減小計算工作量，且能真實模擬制動器的振動特性，本文中建立了某國產轎車的盤式制動器簡化模型，如圖1所示。該簡化模型與文獻[3]、文獻[6]、文獻[10]和文獻[11]的研究模型類似，已被成功應用于制動噪聲領域的研究，模型的有效性已得到驗證，并且取得了很好的研究成果。該簡化模型主要包括制動盤、制動片和支撐背板等部件。

3.2 響應面方法

采用有限元復特征值分析方法對汽車盤式制動器系統的穩定性進行研究。以不穩定模態的負阻尼比衡量系統的穩定性，提高不穩定模態的負阻尼比，可有效改善系統的穩定性。制動器系統的各類參數(如摩擦因數和幾何參數)均有可能對系統模態產生影響，因此通過某些參數的優化，往往能達到改善系統穩定性的目的。在傳統的制動器系統有限元優化設計中，往往是假設某個設計參數變化，而其他設計參數保持某特定取值時，觀察系統響應的變化[3]。顯然，這種方法既耗時，又沒有考慮參數間的交互作用，有一定的局限性。響應面方法[12]是一種構建近似模型的方法，它通過對指定設計空間進行試驗設計，擬合輸出變量(系統響應)與多個輸入變量(系統輸入)的關系。用響應面模型近似模擬設計變量和響應的映射關系，從而避免對復雜有限元模型的重復調用，減少運算次數，提高運算效率。

在制動器系統有限元分析中，系統的模態參數與系統參數的關系是一種典型的隱式函數關系。引入響應面法，可通過較少的有限元試驗次數，擬合出系統不穩定模態參數與系統參數間的近似數學表達式。以系統不穩定模態為研究對象，參考文獻[13]構建二階響應面近似模型。與第k階不穩定模態對應的復特征值實部和虛部的二階多項式表達式為

(15)

(16)

式中:σk(x)和ωk(x)分別為復特征值的實部和虛部；a0,b0,ai,bi,aii,bii,aij和bij為未知系數，可通過試驗設計和最小二乘法求解；xi(i=1,2,…,n) 為系統參數，n為系統參數個數。

得到響應面近似模型后，為了保證擬合模型的精度，須要對模型進行方差分析，進行精度檢驗。具體過程可參見文獻[12]。

3.3 制動器的穩定性分析模型

由于制動器工作環境復雜多變，制動噪聲的產生具有很大的不確定性，難以捕捉和重復，是很多不確定參數共同影響的結果，因此制動噪聲的產生機理至今沒有得到全面的認識。制動器系統參數的不確定性主要表現為：摩擦因數隨相對滑動速度而改變；摩擦作用力和制動壓力具有時變特性，表現為波動變化；制動片和制動盤在工作過程中不斷磨損，幾何厚度不斷減小。

針對系統參數具有不確定性的問題，在參數信息比較匱乏的情況下，本文中采用區間參數對其進行描述，并用試驗設計和隨機模擬的統計方法進行分析。其中區間參數的取值情況見表1。

表1 制動器系統參數初始值和區間取值

采用有限元方法進行分析，首先建立制動器系統的有限元模型，如圖2所示。模型共有26 125個實體單元，37 043個節點，制動片與制動盤之間為摩擦接觸面，整個系統為一個摩擦耦合系統。

圖2 制動器有限元模型

圖3 有限元模型的邊界條件

有限元模型的邊界條件如圖3所示。其中制動盤5個螺紋孔的中心被完全約束，但能隨車輪一起繞盤中心軸線旋轉；制動片與支撐背板牢固地粘在一起，制動壓力均勻地加載在背板與液壓缸對應的接觸位置上，并假設加載在兩個背板上的制動壓力大小相等；支撐背板只能沿垂直于盤面的方向移動。 為便于進行試驗設計和構造響應面近似模型，對表1中的區間參數進行歸一化：

(17)

采用拉丁超立方試驗設計方法[13]，在表1的區間參數組成的空間中獲取了35組樣本點，分別運用有限元方法計算制動器系統在0～16kHz范圍內的復模態分布情況。結果顯示，對應各組樣本點系統的第7階模態均為復模態，且其對應的復特征值實部均大于0，為不穩定模態；個別樣本點還在其它階數上出現不穩定模態，但其對應的阻尼比基本都大于第7階。因此，第7階復模態最不穩定，故本文中選取該階模態為對象進行分析。

根據拉丁超立方試驗設計的結果，結合最小二乘法，構造第7階復模態的二次多項式響應面近似函數為

σ7=7.35+15.11x1+42.91x2+37.82x3+

4.81x4+0.71x5+13.68x1x2+12.13x1x3+

10.78x1x4-26.48x1x5+38.64x2x3-13.58x2x4+

21.31x2x5+19.21x3x4-6.09x3x5+9.64x4x5-

(18)

ω7=1832.19+156.54x1-11.62x2-0.051x3+

12.26x4-3.50x5-4.53x1x2-12.01x1x3-

5.43x1x4+1.62x1x5-8.15x2x3+5.38x2x4-

1.42x2x5-10.61x3x4+0.15x3x5-0.53x4x5-

(19)

式中：σ7和ω7分別為第7階復模態對應的復特征值的實部和虛部。

按文獻[10]中的方法對式(18)和式(19)的響應面模型進行顯著性分析，可得響應面模型的不可靠概率小于1%，可用于后續分析研究。

4 制動器的穩定性分析與改進

4.1 汽車盤式制動器的可靠性分析模型

取不穩定模態負阻尼比大于某一常數值ζc時，系統可視為穩定狀態。參考文獻[15]，取ζc=-0.01，以第7階復模態為研究對象，結合式(4)和式(14)可得系統穩定的可靠性功能函數為

(20)

引入可靠性的概念對不確定性條件下制動器系統的穩定性進行研究，結合式(6)、式(7)和式(20)，可得系統穩定的可靠指標為

(21)

制動器振動噪聲發生具有強不確定性，適合采用隨機模擬和統計試驗方法進行分析。蒙特卡洛法是一種通過大量的隨機抽樣即可獲取較高的求解精度的統計試驗法，具有很強的適用性[6]，故本文中采用該方法進行分析。

4.2 汽車盤式制動器的穩定性分析

在表1的5個系統參數中，只有支撐背板厚度是可控制的設計參數，其它4個參數在制動器工作過程中都具有不確定性，難以控制。取背板厚度初值h3=6mm，其它參數取表1的區間值，進行摩擦因數和制動壓力不確定性的研究。制動器系統的穩定性隨磨損部件厚度變化的統計規律曲線如圖4所示。

圖4 不確定性條件下制動器穩定性的統計規律曲線

圖4中各統計規律曲線并不是該制動器真實情況的模擬，而是綜合考慮了所有不確定性參數共同作用下的數理統計結果，是最為保守的情況預估。例如圖4(a)中功能函數隨制動盤厚度的變化曲線，是該制動器的制動盤在各磨損厚度下，分別考慮摩擦因數和制動壓力的不確定性、制動片厚度在整個磨損區間變化的不確定性得到的上下限值。由于分析過程中沒有考慮磨損引起的系統參數間的相關性，因此分析結果是相對保守的。

從圖4可以得出該制動器系統的穩定性在不確定因素影響下的統計規律：該制動器的穩定性隨制動盤的磨損平穩地上下波動，沒有明顯的變化趨勢；而隨制動片的磨損，系統的穩定性有比較明顯的變化。因此在工程設計中可以對制動盤厚度磨損的不確定性控制適當放寬，以降低成本；而對于制動片厚度磨損對系統穩定性的影響，在設計中要重點考慮和控制。

4.3 汽車盤式制動器的穩定性提高

對于背板厚度，除了加工時尺寸公差引起的微小不確定性外，其厚度在制動器的工作過程中是確定可控制的，適合作為設計變量。根據表1取背板厚度的設計范圍為[4,8]mm，其它不確定參數取表1的區間值，在摩擦因數、制動壓力和磨損部件幾何厚度的不確定性共同作用下，該制動器系統的穩定性隨背板厚度變化的統計規律曲線如圖5所示。

圖5 不確定性條件下制動器穩定性隨支撐背板厚度變化的統計規律曲線

由圖5(b)可知，支撐背板厚度h3<4.25mm和h3>7.3mm時，均有可靠性指標η>1，系統在不確定性因素的影響下達到穩定性要求的可靠度為100%。由于背板厚度初值h3=6mm，所以當h3<4.5mm時，結構剛度和強度不一定能得到保證，導致制動功能可能失效，因此可選擇背板設計厚度h3>7.3mm作為改善該制動器振動性能的措施。

為了驗證改善措施的有效性，在其它參數均取表1初始值的情況下，將h3=6mm和h3=7.3mm分別代入有限元模型，計算0～16kHz范圍內系統的復特征值分布，對比結果如圖6所示。從圖中可以看出，當背板厚度h3=7.3mm時，系統不穩定模態對應的復特征值實部更小，模態負阻尼比更大，穩定性更高。

圖6 不同背板厚度下系統的復特征值分布

5 結論

(1)針對制動噪聲產生的復雜性，將參數不確定性引入到汽車盤式制動器的穩定性分析中，采用區間參數對制動器系統的摩擦力、制動壓力和磨損部件的幾何參數的不確定性進行描述，將有限元復特征技術與響應面法相結合，解決了分析目標與參數間的隱式函數關系問題，實現了制動器穩定性有限元模型的參數化。

(2)結合區間分析與可靠性分析，研究了某型車的盤式制動器系統的穩定性。分析了不確定性條件下，系統穩定性變化的統計規律，并從可靠性角度提出了改善系統穩定性的工程措施，對抑制制動噪聲具有一定的工程指導意義。

參考文獻

[1]PAPINNIEMIA，LAIJCS，ZHAOJ，etal.BrakeSqueal：aLiteratureReview[J].AppliedAcoustics， 2002，63(4) : 391-400.

[2]FRITZG，SINOUJJ，DUFFALJ，etal.EffectsofDampingonBrakeSquealCoalescencePatternsApplicationonaFiniteElementModel[J].MechanicsResearchCommunication，2007，34(2).

[3]LIUP，ZHENGH，CAIC.AnalysisofDiscBrakeSquealUsingtheComplexEigenvalueMethod[J].AppliedAcoustics，2007，68(6).

[4]GUANDihua，SUXindong，ZHANGFang.SensitivityAnalysisofBrakeSquealTendencytoSubstructuresModalParameters[J].JournalofSoundandVibration，2006，291(1)：72-80.

[5] 宿新東，管迪華. 利用子結構動態特性優化設計抑制制動器尖叫[J]. 汽車工程，2003，25(2)：167-170.

[6]SARROUYE，DESSOMBZO，SINOUJJ.PiecewisePolynomialChaosExpansionwithanApplicationtoBrakeSquealofaLinearBrakeSystem[J].JournalofSoundandVibration，2013，332(3-4)：577-594.

[7]MOORER，LODWICKW.IntervalAnalysisandFuzzySetTheory[J].FuzzySetsandSystems，2003， 135 (1)：5-9.

[8]RACKWITZR.ReliabilityAnalysis-aReviewandSomePerspectives[J].StructuralSafety，2001，23(4)： 365-395.

[9]HAIMYB.ANon-probabilisticConceptofReliability[J].StructuralSafety，1994，14 (4)：227-245.

[10]JUNIORMT，GERGESSN，JORDANR.AnalysisofBrakeSquealNoiseUsingtheFiniteElementMethod[J].AppliedAcoustics，2008，69(2)：147-162.

[11]ABUBAKARAR,OUYANGHJ.ComplexEigenvalueAnalysisandDynamicTransientAnalysisinPredictingDiscBrakeSqueal[J].InternationalJournalofVehicleNoiseandVibration， 2006， 2 (2)：143-155.

[12]MYERSRH,MONTGMERYDC,ANDERSONCM.ResponseSurfaceMethodologyProcessandProductOptimizationUsingDesignedExperiment[M].NewYork：WileyPublishers, 2009.

[13]NOUBYM,MATHIVANAND,SRINIVASANK.ACombinedApproachofComplexEigenvalueAnalysisandDesignofExperiments(DOE)toStudyDiscBrakeSqueal[J].InternationalJournalofEngineering,ScienceandTechnology, 2009, 1(1)：254-271.

[14]PAPILLAM.AccuracyofResponseSurfaceApproximationsforWeightEquationsBasedonStructuralOptimization[D].Gainesville：UniversityofFlorida，2001.

[15]HOUJun，GUOXuexun，TANGangfeng.ComplexModeAnalysisonDiscBrakeSquealandDesignImprovement[C].SAEPaper2009-01-2101.

[16]MELCHERSRE，AHAMMEDM.AFastApproximateMethodforParameterSensitivityEstimationinMonteCarloStructuralReliability[J].ComputersandStructures，2004，82(1)：55-61.

Stability Analysis and Improvement of Automotive Disc BrakeBased on Interval Analysis

Lü Hui & Yu Dejie

HunanUniversity,StateKeyLaboratoryofAdvancedDesignandManufacturingforVehicleBody,Changsha410082

To suppress brake squeal, a stability analysis and improvement method of automotive disc brake system is presented based on interval uncertainty analysis. In the method proposed, friction coefficient, braking pressure and the thicknesses of wearing components are treated as uncertain parameters and described by interval variables. With the damping ratio of unstable modes as the indicator of system stability, and combining complex modal analysis with response surface method, the implicit function relationship between analysis objective and system parameters is established, achieving model parameterization for brake stability analysis. Furthermore, by combining interval analysis with reliability analysis, the disc brake stability of a vehicle is investigated, the statistical regularities of brake stability variation in uncertainty condition is analyzed, with the measures for improving brake system stability put forward from a perspective of reliability. The method proposed provides a reference for brake squeal suppression.

brake squeal; interval analysis; stability; uncertainty; complex mode

*湖南省研究生科研創新項目(CX2013B143)、湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室自主課題(71375004)和長沙市科技計劃重大專項(K1306007-11-1)資助。

原稿收到日期為2014年10月8日，修改稿收到日期為2014年12月24日。