寒區(qū)隧道溫度場(chǎng)的時(shí)空演化規(guī)律及溫控措施研究

周小涵，曾艷華，范　磊，周曉軍

(1.西南交通大學(xué) 交通隧道工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都　610031；2.中鐵大橋勘測(cè)設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，湖北 武漢　430050；3.中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司 土建一院隧道所，四川 成都　610031)

寒區(qū)隧道溫度場(chǎng)的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)有助于設(shè)計(jì)者選擇合適的防寒抗凍措施。國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)多條寒區(qū)隧道進(jìn)行了溫度場(chǎng)的現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)及研究[1-5]。張耀等[6-7]通過(guò)對(duì)隧道現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)氣溫資料的整理，建立了圓形隧道傳熱方程，得到了寒區(qū)有隔熱層的圓形隧道溫度場(chǎng)解析解和簡(jiǎn)化計(jì)算方法。肖琳等[8]利用模型試驗(yàn)，探討了地鐵隧道圍巖內(nèi)部溫度場(chǎng)的分布規(guī)律。M.Krarti等[9]根據(jù)能量守恒原理獲得了地下風(fēng)洞內(nèi)氣體溫度場(chǎng)的解析解。YM Lai等[10]采用攝動(dòng)技術(shù)，通過(guò)無(wú)量綱法推導(dǎo)出圓形隧道凍結(jié)過(guò)程溫度場(chǎng)的解析解。Prashant K J等[11]，Suneet S[12]等利用疊加原理和分離變量方法得到了圓形斷面隧道在考慮溫度隨坐標(biāo)變化的對(duì)流邊界條件下瞬態(tài)溫度場(chǎng)的解析解。夏才初等[13]計(jì)算了考慮襯砌和隔熱層的寒區(qū)隧道溫度場(chǎng)解析解。陳功勝[14]研究了巷道圍巖調(diào)熱圈半徑及溫度場(chǎng)分布規(guī)律。江亦元[15]和王引生[16]分別對(duì)寒區(qū)昆侖山隧道的排水系統(tǒng)進(jìn)行了保暖的探討和試驗(yàn)研究。這些研究得到了關(guān)于寒區(qū)隧道溫度場(chǎng)的解析計(jì)算公式及隔熱層簡(jiǎn)化計(jì)算方法，而以隧道洞口風(fēng)溫及洞內(nèi)風(fēng)速為邊界條件，同時(shí)考慮空氣、襯砌、保溫隔熱層和圍巖的對(duì)流換熱和熱傳導(dǎo)耦合作用的研究還未見(jiàn)報(bào)道。

本文推導(dǎo)寒區(qū)隧道圍巖—襯砌—?dú)饬鞯姆欠€(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)的有限差分方程，以在建的牡綏鐵路綏陽(yáng)隧道為例，計(jì)算分析寒區(qū)隧道溫度場(chǎng)隨通風(fēng)時(shí)間的變化規(guī)律以及隔熱層對(duì)寒區(qū)隧道溫度場(chǎng)的影響規(guī)律等；并與現(xiàn)場(chǎng)的實(shí)測(cè)溫度場(chǎng)對(duì)比，驗(yàn)證有限差分方程的準(zhǔn)確度。

1　理論推導(dǎo)

在寒區(qū)隧道圍巖—襯砌—?dú)饬鱾鳠嵯到y(tǒng)中，冷空氣與隧道襯砌和圍巖進(jìn)行熱交換，引起隧道圍巖溫度的降低。能量交換存在熱傳導(dǎo)、對(duì)流換熱和熱輻射3種方式：圍巖與隧道襯砌之間的能量交換屬于熱傳導(dǎo)；襯砌與隧道內(nèi)氣流之間的傳熱則既含有對(duì)流換熱，又有熱輻射，相對(duì)于對(duì)流換熱而言，熱輻射引起的熱量傳遞很小，在此忽略不計(jì)；同時(shí)隧道內(nèi)的氣流自身也存在熱交換，這種熱交換使得隧道內(nèi)的氣流溫度趨于平均分布。故隧道圍巖—襯砌—?dú)饬飨到y(tǒng)的傳熱過(guò)程主要是指圍巖與隧道襯砌的熱傳導(dǎo)和隧道襯砌與氣流之間的對(duì)流換熱。

1.1　隧道溫度場(chǎng)的控制方程

隧道溫度場(chǎng)計(jì)算模型如圖1所示，圖中R為隧道洞室當(dāng)量半徑。

圖1　隧道溫度場(chǎng)計(jì)算模型

隧道溫度場(chǎng)的形成及重新調(diào)整屬于熱傳導(dǎo)過(guò)程，笛卡爾坐標(biāo)系中三維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)微分方程的一般形式[17]為

(1)

式中：ρ為襯砌或圍巖的密度，kg·m-3；cp為襯砌或圍巖的恒壓比熱容，J·(kg·℃)-1；λ為襯砌或圍巖的導(dǎo)熱系數(shù)， W·(m·℃)-1；t為襯砌或圍巖內(nèi)部任一點(diǎn)的溫度，℃；τ為通風(fēng)時(shí)間，s；φ為單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某一給定面積的熱量，W。

隧道圍巖的徑向傳熱量遠(yuǎn)大于其軸向[13]，隧道斷面面積相對(duì)于研究區(qū)域很小，洞內(nèi)氣溫只沿隧道軸線方向變化；假定圍巖的導(dǎo)熱系數(shù)λ為常數(shù)，溫度場(chǎng)是無(wú)內(nèi)熱源的穩(wěn)態(tài)分布；則微分方程(1)可轉(zhuǎn)化為如下柱坐標(biāo)系下的計(jì)算方程。

(2)

式中：r為襯砌或圍巖中任一點(diǎn)到隧道中心的距離，m。

1.2　隧道溫度場(chǎng)計(jì)算模型的離散化

隧道貫通后，受到氣流溫度影響的圍巖厚度(調(diào)熱圈)增大，并最終到達(dá)極限值。隧道斷面內(nèi)非穩(wěn)態(tài)傳熱分析基于如下假定：隧道橫斷面為圓形，其直徑采用當(dāng)量直徑；對(duì)于圍巖和每一種襯砌而言，都為獨(dú)立的、各向同性的、均勻的連續(xù)介質(zhì)；在計(jì)算零時(shí)刻，襯砌溫度等于圍巖原始溫度，圍巖原始溫度沿徑向不變；隧道內(nèi)氣流與壁面發(fā)生對(duì)流換熱。

沿徑向，將二襯、初支和隔熱層按等厚劃分網(wǎng)格。為計(jì)算精確且節(jié)省時(shí)間，將隧道外圍巖區(qū)域劃分為2部分，如圖2所示。第1部分為D1(r≤10R)，步長(zhǎng)為Δr1；第2部分為D2(r>10R)，步長(zhǎng)為Δr2，Δr1<Δr2。圖2中：節(jié)點(diǎn)1為對(duì)流邊界，節(jié)點(diǎn)6，8，13為復(fù)合材料傳熱邊界，節(jié)點(diǎn)14為圍巖內(nèi)部的點(diǎn)。

圖2　斷面內(nèi)差分節(jié)點(diǎn)劃分示意圖

1.3　有限差分方程

1.3.1圍巖溫度的近似表達(dá)式

用偏微分方程的替代法建立中心有限差分方程，求出其一階、二階偏導(dǎo)數(shù)并代入式(2)中，可得圍巖內(nèi)部節(jié)點(diǎn)j(j≥14)的溫度tj, n+1的近似計(jì)算式為

(3)

其中，

式中：tj,n+1為節(jié)點(diǎn)j在n+1時(shí)刻的溫度，℃；Fo為傅里葉準(zhǔn)數(shù)；Δri為距離步長(zhǎng)，m；Δτ為時(shí)間步長(zhǎng)，s。

1.3.2對(duì)流邊界節(jié)點(diǎn)溫度的近似表達(dá)式

節(jié)點(diǎn)1為對(duì)流邊界條件，其傳熱模型如圖3所示，θ為所取區(qū)域范圍的夾角，弧度。

根據(jù)能量守恒定律，節(jié)點(diǎn)1單元控制體積吸收的熱量等于其增加的內(nèi)能，則有

圖3　對(duì)流換熱模型

(4)

其中，

Qf-1=h(tf-t1,n)Rθ

式中：Qf-1為風(fēng)流向?qū)α鬟吔绲膶?dǎo)熱量；Q2-1為襯砌向?qū)α鬟吔绲膶?dǎo)熱量；t1,n+1為節(jié)點(diǎn)1在n+1時(shí)刻的溫度，℃；t1,n為節(jié)點(diǎn)1在n時(shí)刻的溫度，℃；t2,n為節(jié)點(diǎn)2在n時(shí)刻的溫度，℃。tf為風(fēng)流溫度，℃；h為對(duì)流換熱系數(shù)，W·(m2·℃)-1。

整理式(4)可得對(duì)流邊界節(jié)點(diǎn)1的溫度t1,n+1近似計(jì)算式

(5)

其中，

式中：Bi為畢奧數(shù)。

1.3.3復(fù)合材料交界點(diǎn)處節(jié)點(diǎn)溫度的近似表達(dá)式

節(jié)點(diǎn)兩側(cè)的距離步長(zhǎng)、傳熱介質(zhì)的熱物性參數(shù)均不相同，其節(jié)點(diǎn)溫度按能量守恒法推導(dǎo)。其傳熱模型如圖4所示。

復(fù)合材料交界節(jié)點(diǎn)j所在的單元控制體積內(nèi)包含了2種材料，對(duì)于非穩(wěn)態(tài)問(wèn)題，須求出ρcp項(xiàng)的當(dāng)量值，其值可由下式給出。

(6)

其中，

圖4　復(fù)合材料交界處傳熱模型

式中：u和v分別為單元控制體中介質(zhì)1和2的體積；Δra為a種介質(zhì)步長(zhǎng)；Δrb為b種介質(zhì)步長(zhǎng)；rj為節(jié)點(diǎn)j距隧道中心的距離。

根據(jù)能量守恒定律可得

(7)

式中：Qa-j為介質(zhì)a向節(jié)點(diǎn)j的導(dǎo)熱量；Qb-j為介質(zhì)b向節(jié)點(diǎn)j的導(dǎo)熱量。

整理可得復(fù)合材料交界點(diǎn)處節(jié)點(diǎn)j(節(jié)點(diǎn)6、節(jié)點(diǎn)8、節(jié)點(diǎn)13)的溫度tj,n+1的近似計(jì)算式為

(8)

2　實(shí)例分析

2.1　溫度實(shí)測(cè)斷面和測(cè)點(diǎn)的選取

以牡綏線鐵路改造工程中在建的綏陽(yáng)隧道為例展開(kāi)研究。綏陽(yáng)隧道于2013年9月貫通，長(zhǎng)度為6 170 m(DK491+549—DK497+719)。2015年1月對(duì)隧道內(nèi)的風(fēng)速、風(fēng)向和溫度場(chǎng)進(jìn)行了實(shí)測(cè)。測(cè)試斷面沿隧道縱向分布，自DK491+770起每隔250 m左右設(shè)置1個(gè)測(cè)試斷面，每個(gè)測(cè)試斷面內(nèi)布置5個(gè)測(cè)點(diǎn)，其位置如圖5所示。使用機(jī)械風(fēng)表對(duì)隧道內(nèi)的風(fēng)速和風(fēng)向進(jìn)行了實(shí)測(cè)。測(cè)試結(jié)果為：綏陽(yáng)隧道內(nèi)的平均自然風(fēng)速約為3.8 m·s-1，其值為隧道正中測(cè)點(diǎn)和隧道排水溝上部測(cè)點(diǎn)的平均值；風(fēng)向都是自小里程端吹向大里程端。使用紅外線測(cè)溫儀GM1150對(duì)隧道斷面二襯4個(gè)測(cè)點(diǎn)的溫度進(jìn)行實(shí)測(cè)，使用溫度記錄儀Testo174T對(duì)隧道保溫側(cè)溝的溫度進(jìn)行實(shí)測(cè)。

圖5　隧道斷面內(nèi)測(cè)點(diǎn)分布圖

2.2　計(jì)算參數(shù)的選取及溫度場(chǎng)的計(jì)算

應(yīng)用式(3)、式(5)和式(8)計(jì)算隧道貫通后的溫度場(chǎng)。選擇洞內(nèi)距離小里程端洞口2 211 m(DK493+760)斷面(簡(jiǎn)稱(chēng)為計(jì)算斷面)上的溫度進(jìn)行分析。

根據(jù)當(dāng)?shù)氐牡貙訙囟忍荻? ℃·(100 m)-1和隧道斷面埋深得出計(jì)算斷面上原始巖溫tw=9.35 ℃。隧道斷面的等效水力半徑R′=2.5 m，即當(dāng)量半徑R=5 m。參考關(guān)于對(duì)流換熱系數(shù)的實(shí)驗(yàn)研究[18]，取對(duì)流換熱系數(shù)h=15.9 W·(m2·℃)-1。斷面各介質(zhì)材料參數(shù)見(jiàn)表1。

表1　介質(zhì)材料參數(shù)

對(duì)綏陽(yáng)隧道所在綏芬河地區(qū)自該隧道貫通時(shí)起至溫度實(shí)測(cè)時(shí)止的氣流溫度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得出風(fēng)流溫度tf(℃)隨時(shí)間i(自隧道貫通之日開(kāi)始統(tǒng)計(jì)的天數(shù))變化的關(guān)系，并根據(jù)實(shí)測(cè)隧道內(nèi)氣溫對(duì)洞口風(fēng)流溫度隨時(shí)間的變化函數(shù)進(jìn)行修正，修正后的計(jì)算斷面處風(fēng)流溫度的計(jì)算公式見(jiàn)式(9)，可見(jiàn)風(fēng)流溫度變化曲線為正弦曲線。

(9)

在隔熱層厚度為0(即無(wú)隔熱層)的條件下，徑向距離分別取5.0，5.6，12.6，22.6，32.6，42.6，52.6 m(其中，徑向距離5.0 m對(duì)應(yīng)于對(duì)流換熱節(jié)點(diǎn)1，徑向距離5.6 m對(duì)應(yīng)于初支與圍巖交界的節(jié)點(diǎn)，徑向距離12.6～52.6 m分別對(duì)應(yīng)于圍巖內(nèi)部的5個(gè)節(jié)點(diǎn))，計(jì)算自隧道貫通時(shí)起共24個(gè)月的隧道計(jì)算斷面沿徑向各點(diǎn)的各月平均溫度隨貫通時(shí)間的變化，如圖6所示。

圖6　隧道計(jì)算斷面徑向各點(diǎn)溫度隨貫通時(shí)間的變化曲線

由圖6可知：隧道貫通后，隨著時(shí)間的推移，距離襯砌表面一定范圍內(nèi)襯砌和圍巖溫度的變化曲線也為正弦曲線，與風(fēng)流溫度的相同；越往斷面徑向深處，溫度的變化越小且相位滯后越大；隨著徑向深度的增加，圍巖溫度振幅(最高溫與最低溫之差)劇烈衰減，在r≈10R時(shí)，振幅衰減為0，深度繼續(xù)增加，圍巖溫度不再隨氣流溫度作周期性變化。

2.3　溫度場(chǎng)的實(shí)測(cè)值與計(jì)算值的對(duì)比

在隧道貫通后第455天，計(jì)算斷面上測(cè)點(diǎn)1到測(cè)點(diǎn)4的溫度實(shí)測(cè)值分別為-8.300，-8.600，-8.675，-9.125 ℃，這4個(gè)測(cè)點(diǎn)的實(shí)測(cè)平均值為-8.675 ℃；保溫側(cè)溝測(cè)點(diǎn)的溫度實(shí)測(cè)值為-5.080 ℃。此時(shí)計(jì)算斷面的計(jì)算值(圖2中的節(jié)點(diǎn)1)為-9.050 ℃，計(jì)算斷面襯砌背后圍巖(圖2中的節(jié)點(diǎn)13)的溫度計(jì)算值為-5.555 ℃。

對(duì)比計(jì)算斷面的實(shí)測(cè)溫度與計(jì)算溫度可知：測(cè)點(diǎn)1(拱頂)的溫度最高，測(cè)點(diǎn)4(軌面)的溫度最低；從拱頂?shù)杰壝?測(cè)點(diǎn)1到測(cè)點(diǎn)4)的溫度逐漸降低，且這4個(gè)測(cè)點(diǎn)的溫度平均值與測(cè)點(diǎn)3(拱腰)的溫度接近；溫度的計(jì)算值低于4個(gè)測(cè)點(diǎn)的實(shí)測(cè)平均值約0.375 ℃，但滿(mǎn)足工程使用精度要求；保溫側(cè)溝測(cè)點(diǎn)的溫度高于4個(gè)測(cè)點(diǎn)的實(shí)測(cè)平均值約3.595 ℃，經(jīng)查，與計(jì)算斷面襯砌背后圍巖溫度接近，保溫側(cè)溝測(cè)點(diǎn)的溫度高出計(jì)算斷面襯砌背后圍巖溫度約0.475 ℃。

3　加設(shè)隔熱層對(duì)溫度場(chǎng)的影響

選用硬泡聚氨酯保溫材料作為隔熱材料，該材料的密度為ρ=370 kg·cm-3，恒壓比熱容為cp=1 500 J·(kg·℃)-1，導(dǎo)熱系數(shù)為λ=0.021 5 W·(m·℃)-1。圍巖初始溫度取tw=12℃，參考隧道內(nèi)最冷月平均溫度選取恒定風(fēng)溫tf=-11.8 ℃。隔熱材料分為2種鋪設(shè)方式：中隔式(在初支和二襯之間)，外貼式 (在二襯表面)。隔熱層厚度分別取0(無(wú)隔熱層)，0.03， 0.05， 0.07， 0.09， 0.10 m。取連續(xù)30 d的計(jì)算斷面溫度進(jìn)行分析，不同工況下隔熱層對(duì)隧道二襯背后節(jié)點(diǎn)(圖2中的節(jié)點(diǎn)6)溫度場(chǎng)的影響如圖7和圖8所示。選取2種鋪設(shè)方式中分別設(shè)置0.03和0.05 m厚隔熱層后隧道二襯背后節(jié)點(diǎn)(圖2中的節(jié)點(diǎn)6)的溫度進(jìn)行對(duì)比，如圖9所示。

圖7不同厚度的中隔式隔熱層對(duì)隧道二襯背后節(jié)點(diǎn)溫度的影響

圖8不同厚度的外貼式隔熱層對(duì)隧道二襯背后節(jié)點(diǎn)溫度的影響

由圖7和圖8可知：采用硬泡聚氨酯保溫材料作為隔熱層，可以有效提高寒區(qū)隧道襯砌和圍巖溫度；隔熱層厚度越大，二襯背后初襯以及圍巖的降溫越慢；隔熱層厚度為0.05 m左右時(shí)，工作效率最高；厚度大于0.07 m后，繼續(xù)增加厚度所提升的保溫效果不再顯著，通過(guò)增加隔熱層厚度來(lái)提高隧道襯砌和圍巖溫度的效果也是有限的。

如圖9可知：外貼式和中隔式隔熱層均能起到較好的保溫效果；相比較而言，對(duì)于二襯背后節(jié)點(diǎn)溫度，鋪設(shè)0.03 m厚的隔熱層時(shí)，外貼式比中隔式高0.36 ℃左右，鋪設(shè)0.05 m厚的隔熱層時(shí)，外貼式比中隔式高0.45 ℃左右，可見(jiàn)外貼式的保溫效果更好。考慮到外貼式隔熱層便于維護(hù)和更換，而中隔式隔熱層遇水及受擠壓均易變形，因此，在施工工藝允許的前提下，建議采用外貼式隔熱層。

圖9不同隔熱層鋪設(shè)方式及厚度對(duì)隧道二襯背后節(jié)點(diǎn)溫度的影響

4　結(jié)　論

通過(guò)推導(dǎo)寒區(qū)隧道斷面內(nèi)非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)的有限差分方程，得到了隧道襯砌及圍巖的溫度場(chǎng)數(shù)值解，通過(guò)對(duì)寒區(qū)隧道溫度場(chǎng)的計(jì)算和現(xiàn)場(chǎng)溫度實(shí)測(cè)及保溫隔熱材料的分析，得到以下結(jié)論。

(1)隧道貫通后，隨著時(shí)間的推移，距離襯砌表面一定范圍內(nèi)襯砌和圍巖溫度的變化曲線與風(fēng)流溫度的相同；往斷面徑向越深處，溫度的變化越小且相位滯后越大；隨著徑向深度的增加，圍巖溫度振幅劇烈衰減，在r≈10R時(shí)，振幅衰減為0，深度繼續(xù)增加，圍巖溫度不再隨氣溫做周期性變化。

(2)隧道二襯拱頂處的溫度最高，軌面處的溫度最低，從拱頂?shù)杰壝娴臏囟戎饾u降低，各測(cè)點(diǎn)溫度的平均值與拱腰處的溫度接近；二襯溫度的計(jì)算值稍低于實(shí)測(cè)平均值，但滿(mǎn)足工程使用精度要求。保溫側(cè)溝處的溫度與計(jì)算襯砌背后圍巖溫度接近。

(3)采用硬泡聚氨酯保溫材料作為隔熱層，可以有效提高寒區(qū)隧道襯砌和圍巖溫度。隔熱層厚度為0.05 m左右時(shí)，工作效率最高；厚度大于0.07 m時(shí)，繼續(xù)增加厚度所提升的保溫效果不再顯著。

(4)計(jì)算表明，外貼式和中隔式隔熱層均能起到良好的保溫效果，而外貼式的保溫效果更優(yōu)；同時(shí)，考慮到外貼式隔熱層便于維護(hù)和更換，而中隔式隔熱層遇水及受擠壓均易變形，因此在材料及施工工藝允許的前提下，建議采用外貼式隔熱層。

[1]乜風(fēng)鳴. 寒冷地區(qū)鐵路隧道氣溫狀態(tài)[J]. 冰川凍土，1988，10(4)：450-453.

(NIE Fengming. Dynamic State of Air Temperature in Railway Tunnel in Cold Regions[J]. Journal of Glaciology and Geocryology，1988，10(4)：450-453. in Chinese)

[2]張先軍. 青藏鐵路昆侖山隧道洞內(nèi)氣溫及地溫分布特征現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)研究[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2005，24(6)：1086-1089.

(ZHANG Xianjun. Field Experiment on Distribution Characters of Air Temperature and Ground Temperature in Kunlunshan Tunnel of Qinghai—Tibet Railway[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2005，24(6)：1086-1089. in Chinese)

[3]孫文昊. 寒區(qū)特長(zhǎng)公路隧道抗防凍對(duì)策研究[D]. 成都：西南交通大學(xué)，2005.

(SUN Wenhao. Study on Frost-Resisting and Anti-Freezing Strategies of Extra-Long Highway Tunnel in Cold Area[D]. Chengdu：Southwest Jiaotong University，2005. in Chinese)

[4]陳建勛，羅彥斌. 寒冷地區(qū)隧道溫度場(chǎng)的變化規(guī)律[J]. 交通運(yùn)輸工程學(xué)報(bào)，2008，8(2)：44-48.

(CHEN Jianxun，LUO Yanbin. Changing Rules Temperature Field for Tunnel in Cold Area[J]. Journal of Traffic and Transportation Engineering，2008，8(2)：44-48. in Chinese)

[5]賴(lài)金星，謝永利，李群善. 青沙山隧道地溫場(chǎng)測(cè)試與分析[J]. 中國(guó)鐵道科學(xué). 2007,28(5): 78-82.

(LAI Jinxing, XIE Yongli, LI Qunshan. In-Situ Test and Analysis of the Ground Temperature Field in Qingshashan Highway Tunnel[J]. China Railway Science, 2007,28(5):78-82. in Chinese)

[6]張耀，何樹(shù)生，李靖波. 寒區(qū)有隔熱層的圓形隧道溫度場(chǎng)解析解[J]. 冰川凍土，2009，31(1)：113-118.

(ZHANG Yao，HE Shusheng，LI Jingbo. Analytic Solutions for Temperature Fields of a Circular Tunnel with Insulation Layer in Cold Region[J]. Journal of Glaciology and Geocryology，2009，31(1)：113-118. in Chinese)

[7]張耀，賴(lài)遠(yuǎn)明，張學(xué)富. 寒區(qū)隧道隔熱層設(shè)計(jì)參數(shù)的實(shí)用計(jì)算方法[J]. 中國(guó)鐵道科學(xué)， 2009, 30(2): 66-70.

(ZHANG Yao, LAI Yuanming, ZHANG Xuefu. A Practical Method for Calculating the Design Parameters of the Heat Insulation Layer in Cold Region Tunnel[J]. China Railway Science, 2009, 30(2): 66-70. in Chinese)

[8]肖琳，楊成奎，胡增輝，等. 地鐵隧道圍巖內(nèi)溫度分布規(guī)律的模型試驗(yàn)及其熱導(dǎo)率反算研究[J]. 巖土力學(xué)，2010，31(增刊2)：86-91.

(XIAO Lin，YANG Chengkui，HU Zenghui，et al. Model Test on Temperature Distribution in Metro Tunnel Surrounding Rock and Inverse Calculation of Its Thermal Conductivity[J]. Rock and Soil Mechanics，2010，31(Supplement 2)：86-91. in Chinese)

[9]KRARTI M，KREIDER J F.Analytical Model for Heat Transfer in an Underground Air Tunnel[J]. Energy Conversion and Management，1995，37(10)：1561-1574.

[10]LAI Y M， LIU S Y， WU Z W，et al. Approximate Analytical Solution for Temperature Fields in Cold Regions Circular Tunnels[J]. Cold Regions Science and Technology，2002，34：43-49.

[11]PRASHANT K J，SUNEET S，RIZWAN-UDDIN. Analytical Solution to Transient Asymmetric Heat Conduction in a Multilayer Annulus[J]. Journal of Heat Transfer，2009，131(1)：1-7.

[12]SUNEET S，PRASHANT K J，RIZWAN-UDDIN. Analytical Solution to Transient Heat Conduction in Polar Coordinates with Multiple Layers in Radial Direction[J]. International Journal of Thermal Sciences，2008，47：261-273.

[13]夏才初，張國(guó)柱，肖素光.考慮襯砌和隔熱層的寒區(qū)隧道溫度場(chǎng)解析解[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2010,29(9)：1767-1773.

(XIA Caichu，ZHANG Guozhu，XIAO Suguang. Analytical Solution to Temperature Fields of Tunnel in Cold Region Considering Lining and Insulation Layer[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2010，29(9)：1767-1773. in Chinese)

[14]陳功勝. 巷道圍巖調(diào)熱圈半徑及溫度場(chǎng)分布規(guī)律研究[J]. 煤炭技術(shù)，2014，33(4)：113-115.

(CHEN Gongsheng. Study on Cooled Zone Radius and Temperature Distribution Law of Surrounding Rock[J]. Coal Technology，2014，33(4)：113-115. in Chinese)

[15]江亦元，王星華. 昆侖山隧道滲漏水原因探討及治理[J]. 中國(guó)鐵道科學(xué)， 2005, 26(4): 52-56.

(JIANG Yiyuan, WANG Xinghua. Study on Waterproof Treatment and Causes for Leakage Water of Kunlun Mountain Tunnel[J]. China Railway Science, 2005, 26(4): 52-56. in Chinese)

[16]王引生，賈海鋒. 青藏鐵路昆侖山隧道排水側(cè)溝模型試驗(yàn)研究[J]. 中國(guó)鐵道科學(xué)， 2006,27(1): 28-31.

(WANG Yinsheng, JIA Haifeng. Model Test and Study on the Drainage Side Ditch of Kunlunshan Tunnel on Qinghai—Tibet Railway[J]. China Railway Science, 2006, 27(1): 28-31. in Chinese)

[17]俞佐平. 傳熱學(xué)[M]. 第2版. 北京：高等教育出版社，1985.

(YU Zuoping. Heat Trasfer[M]. 2nd ed. Beijing：Higher Education Press, 1985. in Chinese)

[18]張建榮，劉照球. 混凝土對(duì)流換熱系數(shù)的風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)研究[J]. 土木工程學(xué)報(bào), 2006,39(9): 39-42.

(ZHANG Jianrong, LIU Zhaoqiu. A Study on the Convective Heat Transfer Coefficient of Concrete in Wind Tunnel Experiment[J]. China Civil Engineering Journal,2006,39(9): 39-42. in Chinese)