譜負Lévy過程位勢測度的推廣

周林　陳曄　鄺雪冰

1 引 言

位勢測度也稱預解測度，它是隨機過程理論研究中的熱門話題.譜負Lévy過程是沒有向上的跳的Lévy 過程，被廣泛應用于金融模型和風險理論.在過去的幾十年中，一些學者對譜負Lévy過程在不同區間上的位勢測度進行了研究，他們發現該過程的位勢密度函數存在，并能維納霍夫分解得到，而且位勢密度函數的表達式可以由譜負Lévy過程的拉普拉斯指數的逆函數和尺度函數表示.讀者可以參考文獻[1-4]等了解更多關于位勢測度的細節.

在本文中，主要采用文獻[2]第八章中的維納-霍夫分解方法，研究譜負Lévy過程在區間（τ+a，τ+b）上的位勢測度，并求出了具體表達式，其表達式仍然用譜負Lévy過程的拉普拉斯指數的逆函數和尺度函數表示.在文章的最后，利用本文的結論計算了帶漂移的布朗運動位勢測度，其結果與已有結論符合.

4 總 結

譜負Lévy過程是一具有獨立平穩增量的隨機過程，具有如馬爾可夫性，無窮可分性等許多良好的性質，在金融數學中一直扮演著重要的角色.另一方面，風險理論中的許多風險模型，如經典風險模型（復合泊松過程），帶干擾的經典風險模型，布朗運動等，均是一些特殊的Lévy過程，那其破產問題會是什么樣子的.所以近幾年來，許多學者對基本盈余過程為譜負的Lévy過程的風險模型進行了研究.通過研究譜負萊維過程的占位時來研究其破產的時間問題.而位勢測度就是一種特殊的占位時，并且是求解復雜聯合占位時的一個很有力的工具，所以位勢測度的研究在經濟研究是非常重要的內容，故其研究是具有重要意義的.

參考文獻

[1] A KUZNETSOV， A E KYPRIANOU，V RIVERO.The theory of scale functions for spectrally negative Lévy processes [M]. Berlin： Springerverlag， 2013.

[2] A E KYPRIANOU. Fluctuation of Lévy process with applications[M]. Berlin： Springerverlag，2006.

[3] Y LI ，X ZHOU，N ZHU.Twoside discounted potential measure for spectrally Lévy process[J]. Statistics and Probability Letters， 2015， 100： 67-76.

[4] Y LI，X ZHOU.On preexit joint occupation timers for sepctrally negative Lévy processes[J].Statistics and Probability Letters，2014，94（1）：48-55.

[5] J BERTOIN. Lévy process[M].London： Cambridge University Press， 1996.

[6] J BERTOIN. Exponential decay and ergodicity of completely asymmetric Lévy processes in a finite interval[J]. Ann.Appl， 1997， 7（1）： 156-169.

[7] A N BORODIN，P SALMINEN.Handbook of brownian motionfacts and formulae[M].Second edition.Basel： Birkhauser Verlag， 2002.