索賠相關的Poisson—Geometric風險模型研究

周紹偉　南長全

摘 要 研究了保費到達為復合PoissonGeometric過程的索賠相關風險模型，通過模型轉化得到了破產概率的表達式及其上界.進一步地，將模型推廣為帶干擾的情形，得到了相應的結果.

關鍵詞 索賠相關；復合PoissonGeometric過程；破產概率；調節系數；鞅

中圖分類號 F840 文獻標識碼 A

1 引 言

風險理論是近代應用數學的一個重要分支，也是當前精算界研究的熱門課題，其研究對象是保險業的各種隨機模型.經典風險模型

U（t）=u+ct-∑N（t）-k=1-Zk

描述了盈余U（t）隨時間的積累過程[1，2].由于保費的掙得和對索賠的賠付，盈余會不斷變化，當它為負時，稱其破產發生了.破產概率作為刻畫保險公司穩健性的重要指標，是風險管理的有力工具，也成為風險理論研究的核心.

近年來，隨著對保險實踐的深入研究，越來越多的推廣模型被提出.例如，考慮到保險公司的回避風險制度，文獻[3]最早提出了索賠次數為復合PoissonGeometric過程的風險模型，得到了破產概率公式和更新方程.在此基礎上，文獻[4]作了推廣，建立了雙復合PoissonGeometric風險模型，證明了其調節系數是不存在的，故不能用鞅方法來處理，文獻[5]用全期望公式給出了這一模型的破產概率所滿足的積分方程.另外，經典風險模型中的獨立性條件在實際中是不滿足的，因此，眾多學者開始研究相關風險模型.文獻[6]研究了具有時間相依索賠的風險模型，其中一類索賠可產生另一類索賠且索賠時間可延遲，得到了破產概率的上下限.文獻[7]研究了索賠到達過程相關的風險模型，得到了最終生存概率的表達式.文獻[8]研究了保費到達為復合泊松過程的相關風險模型，給出了破產概率滿足的不等式.

5 結 論

索賠相關和復合PoissonGeometric過程都是為了深入描述保險實際而提出的，本文將兩者結合起來，建立了（帶干擾）索賠相關的PoissonGeometric風險模型，使其具有更好的應用前景.通過模型的等價變換以及鞅方法，得到了模型的破產概率及其性質，為保險實踐提供了有力參考.

參考文獻

[1] H U GERBER. 數學風險論導引[M]. 北京： 世界圖書出版公司， 1997.

[2] 李大潛. 風險理論[M]. 上海： 上海科學技術出版社， 1995.

[3] 毛澤春， 劉錦萼. 索賠次數為復合PoissonGeometric過程的風險模型及破產概率[J]. 應用數學學報， 2005， 28（3）： 419-428.

[4] 周紹偉. 雙復合PoissonGeometric風險模型及其破產概率[J]. 山東大學學報（理學版）， 2009， 44（12）： 60-63.

[5] 贠小青. PoissonGeometric風險模型調節系數不存在的破產概率[J]. 數學的實踐與認識， 2015， 45（15）： 189-195.

[6] Junyi GUO，Chunsheng ZHANG. Ruin probabilities for timecorrelated claims[J]. 南開大學學報：自然科學版，2003， 36（1）： 28-32.

[7] C YUEN Kam， Junyi GUO，Xueyuan WU. On a correlated aggregate claims model with Poisson and Erlang risk processes[J]. Insurance： Mathematics and Economics， 2002， 31（2）： 205-214.

[8] 杜春娟， 劉再明， 宋華. 一類索賠相關風險模型破產概率的研究[J]. 數學理論與應用， 2007， 27（2）： 56-59.

[9] J GRANDELL. Aspects of Risk Theory[M]. New York： SpringerVerlag， 1991.