把握數學本質尋同求異
——《射線、直線和角》的教學思辨

林 萍 林錦城

人們常說“教無定法，貴在得法”，教師個體對教法、學法的選擇也是因人而異，因課而定。雖然教法千變萬化，但教學規律卻有章可循。對于同課異構，我們希望能“尋同”——科學解讀，突出學習內容對發展學生數學素養的價值；“求異”——倡導百花齊放、個性飛揚，以不同方式演繹出生動的課堂。下面，筆者以陳杰、孫婷兩位老師的《射線、直線和角》教學設計為例談如何殊途同歸發展學生的數學素養。

一、在知識結構體系中把握概念

布魯納認為，學習是認知結構的組織和重新組織，對新的知識經驗進行加工改造并形成新的認知結構的過程，強調知識間的聯系與溝通。本課所學習的射線、直線與第一學段學習的線段，這三種幾何圖形也是不同的數學概念，以線段概念為生長點教學射線、直線，并及時比較三者之間的聯系與區別，能有效促進理解三個數學概念的本質特征。

學生已經知道線段有兩個端點、直直的，長度是有限的，這些認知是學習射線、直線的邏輯起點。陳老師從直觀入手，引導學生觀察并尋找新舊知識的聯系點，即三種線的端點、延伸、長度。開門見山就指出“把手上這支激光筆看成一條線段”，一下子就切入端點與有限長，有利于學生在觀察激光束時，快速舍棄教具的物質元素，直奔空間形式與數量上的數學信息，體會端點、無限長。孫老師的《研學單》也注重三種線之間的比較與分析，以回顧線段特征為著眼點，嘗試畫圖并思考三者的相同點與不同點。

兩位老師都重視在課堂上，組織射線、直線與線段的相互比較，有利于學生弄清三種圖形的端點個數、延長和度量情況，溝通三者的聯系與區別。在學生形象感知射線、直線后，教師引導學生從數學的角度，即將線段的一端無限延長，就得到一條射線；將線段的兩端無限延長，就得到一條直線。利用線段改畫成射線、直線，可以幫助形成射線、直線的表象，也加深對圖形之間內在聯系的認識，滲透圖形之間變與不變的思想。

有關角的認識同樣溝通新舊知識的聯系，學生已初步知道角有一個頂點與兩條邊，本課重在引導將頂點、邊的直觀認識抽象為“從一點引出的兩條射線可以組成角”。陳、孫兩位老師引出角的方式不同，但都放手讓學生畫一畫、看一看，理解“角是從一點引出兩條射線”。

以上射線、直線、線段等三個不同概念的橫向比較和角的認識在不同學段的縱向比較，都強調將概念的學習用聯系的方法放在知識體系中對比、分析，掌握同類事物的共同本質屬性，實現知識結構的重組。

二、基于發展核心素養組織教學

“核心素養”是當前教育領域最受關注的熱詞之一，而對于數學學科核心素養的界定更是莫衷一是，但通常認同2011年版《課標》中的十大“核心概念”與“核心素養”的緊密關系。如著名特級教師吳正憲老師在中國教研網舉辦的“小學數學核心素養”的專題培訓中提出：學生的應用意識和創新意識是數學課程培養的重點，學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想是促進數學課程學習和數學思想形成的源動力。

圍繞學科核心素養組織教學是課堂實踐的靈魂?！渡渚€、直線和角》一課屬于“圖形與幾何”領域內容，其教與學，不僅僅為了知道或理解基本知識與技能，更貴在于培養與發展學生空間觀念。陳杰老師在授課伊始，以演示激光筆著手，從直觀現象中引發學生的觀察與想象，體會“端點”“無限延長”，初步引入數學概念“射線”和“直線”，進而在交流線段、射線和直線三者的聯系與區別的基礎上畫出圖形。以上“根據物體特征抽象出幾何圖形”與“依據語言的描述畫出圖形”就是培養空間觀念的具體表現。孫婷老師在課堂上，以小信封為交流平臺融合了“猜”“畫”“量”“剪”等多層次活動，以引導學生想象圖形的運動與變化為主線貫穿始終，學生的空間觀念在趣味互動中得以滋生、成長。

在處理射線與直線的畫法時，兩位老師都抓住“在有限大小的紙張上畫出無限長的射線”這看似悖論的話題，引發學生的積極的思考與爭辯。從形象感知射線，以畫線為契機上升為符號表征，借助想象、比較、分析、抽象等思維活動，令難以在生活中尋找到原型，想象出來的“虛幻”射線數學化為“直觀”射線。射線需要這個具有高度抽象性的數學模型得以具體化，也體會到圖形符號是進行數學思考和表達的重要形式。

三、駐足關鍵問題突破難點

基于小學生的思維發展水平，在小學階段，許多數學概念都沒有嚴格地下定義，往往注重結合實物或具體情境，在描述中引出概念。如人教版教材用舉例的方式呈現射線概念“像手電筒、汽車燈和太陽等射出來的光線，都可以近似地看成是射線”；蘇教版教材在用生活中的射線（射燈）實例感知基礎上，以線段為基礎運動形成射線“把線段的一端無限延長，就得到一條射線”。其概念的形成通常經歷“直觀—表象—抽象—應用”的認識過程，所以教學中一方面應重視從生活實例引入，為概念的形成提供直觀觀察，建立表象，另一方面還要注意幫助學生適時脫離生活直觀，抽象出數學概念。

在生活的數學化的過程中，陳老師主要安排如下四個層次的活動：一是借助激光筆動態演示，感受“無限延伸”；二是通過比較、交流，體會射線、直線與線段不同，想象中體會“無限長”；三是回溯生活，在舉例過程中豐富表象，建立射線的空間觀念；四是畫法比較，引導學生展開想象、思辨，突破以“有限”表示“無限”的難點。孫老師采用利用《研學單》，課前布置學生自主探究，喚醒原有認知經驗，在對比中尋找新知的生長點。課堂展學匯報時，孫老師緊扣“將無限畫出來”的學習難點，變教為探，引導學生經歷精彩地思維碰撞的過程。

圖形的畫法可以通過示范與模仿，在較短時間內貌似“高效”掌握，但兩位老師均以畫法作為幫助學生撥開認知“茫點”，突破知識“節點”的重要契機，賦予其濃墨重彩。陳老師在放手讓學生嘗試畫圖時，采訪“三種線哪種最難畫？難在哪里？”追問“本子是有限的，怎么畫得下無限長的直線與射線呢？”孫老師在該環節時，設計問題串“什么是無限長”“如何畫出無限長”“為什么可以畫出無限長”。兩位老師所創設情境手法略有不同，但異曲同工之妙在于，均恰當預設了認知難點，并不吝教學時間，將學習的主動權交給學生，在教師點撥下，針對認知的迷茫處進行了有效爭辯。教師提煉的有效問題，幫助學生對射線、直線的認識不僅僅停留在“幾個端點”“是不是無限長”等通過識記就可解決問題的低層次認知，貴在深化對“無限長”的理解，感悟到用數學符號表達無限的合理性，實現認識上質的飛躍。

本課教學射線、直線和角是在學生原有認知線段和初步認識角的基礎上進行的，同時本課也為后續學習平行、垂直等做了鋪墊。需要指出的是，本課教學內容的教育教學價值不僅僅是以上知識與技能方面，更要從有利于學生終身可持續發展的角度，賦予教學更為深遠的意義，如培養理性探索的數學思維，激發積極的數學學習體驗，積累豐富的數學活動經驗等等。