摩擦振動信號的經驗模式分解和多重分形研究

李精明， 魏海軍， 魏立隊， 楊智遠， 劉　竑

(1.大連海事大學 輪機工程學院，大連　116026； 2.上海海事大學 商船學院，上海　201306)

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摩擦振動信號的經驗模式分解和多重分形研究

李精明1,2， 魏海軍2， 魏立隊2， 楊智遠2， 劉竑2

(1.大連海事大學 輪機工程學院，大連116026； 2.上海海事大學 商船學院，上海201306)

摘要：為提取摩擦振動的特征信號和實現摩擦振動特征信號的定量表征，在摩擦磨損試驗機上進行了船用柴油機缸套—活塞環摩擦副摩擦磨損模擬試驗，應用經驗模式分解(Empirical Mode Decomposition,EMD)對非線性、非平穩的摩擦振動信號進行分解，獲得若干個本征模式分量(Intrinsic Mode Function,IMF)。根據振幅范圍和互相關系數，從EMD的所有IMF中選擇反映摩擦振動特征的IMF分量重新合成摩擦振動特征信號，利用改進的多重分形算法對摩擦振動特征信號進行多重分形分析，得到摩擦振動信號的多重分形譜，進一步求取摩擦振動信號多重分形譜的寬度、極大值、維差以及非對稱指數。研究結果表明，經驗模式分解能夠實現微弱摩擦振動特征信號的提取，多重分形譜參數可以作為摩擦振動信號的特征值。

關鍵詞：經驗模式分解；多重分形；譜參數；摩擦振動

摩擦振動是機械運動接觸副在摩擦磨損過程中產生的現象，蘊含著許多反映摩擦學系統特征和狀態的信息[1]。摩擦振動信號是微弱信號，往往堙沒于背景噪聲之中，未經處理的摩擦振動信號不能真實反映摩擦振動特征[2]。因此，如何從強噪聲中提取有用信號，以及根據此有用信號找出摩擦振動信號的特征，是摩擦振動研究的關鍵問題。經驗模式分解(Empirical Mode Decomposition,EMD)是針對非線性、非平穩信號而提出的一種方法[3]，能自適應地把信號按照自身的內在特性正交地分解成一系列本征模式分量(Intrinsic Mode Function,IMF)。該方法得到了廣泛應用，成功地應用于信號處理[4]、機械故障診斷[5,6]等的研究。EMD目前在理論上還無法獲得較好的解釋[7]，但由于分解是基于信號時域局部特征的，特別適合分析非平穩非線性的時變過程，能清晰地分辨出交疊復雜數據的內蘊模式。自Mandelbrot提出分形基本理論以來，分形成為應用極為廣泛的學科[8]。近年來，隨著多重分形理論研究的深入，人們已成功地將它應用到地質學[9]、生物特征識別[10]、機械故障診斷[11]等領域。有學者將多重分形應用于柴油機磨合的研究[12]，取得了較好的效果。多重分形譜能很好地刻畫振動信號的奇異性，但多重分形的計算比較復雜，只有少數比較特殊的集合才有解析解，對一般的集合只能用數值計算的方法間接進行估計[12]，因此要利用多重分形來分析首先要求算法有高精度。許多學者從定量的角度，應用時頻譜圖[13]和諧波小波[2]提取摩擦振動信號的特征，取得一定的成果。摩擦振動信號具有頻率高、振幅小等特點[2]，但時頻譜圖方法未能從振幅角度濾除干擾信息，諧波小波方法只能選取頻段來重構特征信號，不能選取振幅范圍來重構特征信號。

本文針對船用柴油機缸套—活塞環摩擦副摩擦磨損試驗過程中獲得的摩擦振動信號進行EMD分解，獲得若干個IMF分量，從IMF分量中選擇反映低振幅摩擦振動的IMF分量重新合成摩擦振動信號，并對此信號再次進行EMD分解，利用互相關系數準則進行篩選，選擇若干個IMF分量合成摩擦振動特征信號。將多重分形理論引入到摩擦振動信號的特征提取，應用改進的多重分形算法對摩擦振動特征信號進行多重分形分析，得到摩擦振動信號的多重分形譜，進一步求取摩擦振動信號多重分形譜的寬度、極大值、維差以及非對稱指數，實現特征參數對摩擦副摩擦磨損狀態的定量表征，為基于摩擦振動信號的機械摩擦副摩擦磨損行為的研究提供了新的途徑。

1實驗部分

1.1試驗方法與材料

試驗的設備采用濟南試驗機械廠生產的MMW-1型立式萬能摩擦磨損試驗機，圖1示出了該試驗機的原理。銷試樣通過專用夾具安裝于主軸的下端部，盤試樣安裝在托盤內并通過托盤下的施力系統對試樣加載，主軸電機在直流電機的驅動下帶動銷試樣做回轉運動。系統采用PCB PIEZOTRONICS公司生產38630型ICP加速度傳感器測量摩擦振動信號，其水平固定在托盤下方，靈敏度為103.4mV/g，量程為50g。銷試樣和盤試樣用線切割方法從6S50MC船用柴油機的活塞環和缸套上截取。為滿足實驗需要，銷試樣和盤試樣制備了兩套。銷試樣尺寸φ3 mm×20 mm，材質為合金鑄鐵，主要成分為鐵、碳、硅、鉬、磷等，組織結構為石墨、索氏體、珠光體基體和少量磷化物，硬度HV600～720，表面粗糙度Ra為3.7 μm；盤試樣尺寸φ30 mm×10 mm，材質為合金鑄鐵，主要成分為鐵、碳、硅、錳、磷等，組織結構為石墨、索氏體、珠光體基體，硬度HV300～420，表面粗糙度Ra為1.1 μm。

為提取不同摩擦磨損狀態下柴油機缸套—活塞環摩擦副的摩擦振動信號，根據船用大型柴油機的主要性能指標：氣缸最大爆壓14～15.5 MPa，活塞運行速度3～5 m/s，設計模擬實驗施加的試驗力、運行速度和潤滑狀態。兩組摩擦磨損試驗：試驗Ⅰ施加的試驗力為30 N，運行時間為120 min；試驗Ⅱ施加的試驗力為50 N，運行時間為600 min；兩組試驗銷試樣轉速均為600 r/min，旋轉半徑均為0.05 m，兩組試驗均采用浸油潤滑，潤滑油選用殼牌CAPRINUS XR40船用潤滑油。

圖1　MMW-1型摩擦磨損試驗機原理圖Fig.1 Schematic diagram of MMW-1 tester

1.2摩擦振動信號的采集

摩擦磨損試驗的摩擦振動信號采用比利時LMS公司生產的SCADAS型前端數據采集系統采集，采樣頻率51 200Hz，對兩組試驗全程進行數據采集，所采集的數據每0.16s自動生成一個文本文件，存入計算機。

圖2　兩組試驗條件下摩擦振動信號時域波形Fig.2 Time domain waveform of frictional vibration signal under two groups of test conditions

圖2為兩組摩擦磨損試驗在初期、末期采集的摩擦振動信號時域波形，即對于試驗Ⅰ的數據，在第1 min、120 min各選取一個0.16 s的數據；對于試驗Ⅱ的數據，在第1 min、600 min各選取一個0.16 s的數據。從圖2可以看出，所獲得的摩擦振動信號是非線性、非平穩信號，信號波動復雜，呈現周期變化，微弱的摩擦振動信號堙沒于周期變化的信號之中，如果利用此信號來分析，則無法提取正確的摩擦振動特征。

2摩擦振動信號EMD方法

EMD是一種適用于非線性、非平穩信號的分析方法，該方法可將任意信號分解為若干個IMF和一個余項之和。分解得到的IMF是滿足如下兩個基本條件的函數或信號：①在整個數據序列中，極值點的數量(包括極大值點和極小值點)與過零點的數量相等，或最多相差一個；②在任意時刻，由局部極大值形成的上包絡線和局部極小值形成的下包絡線的平均值為零，即上、下包絡線相對于時間軸局部對稱。

EMD方法將一個復雜的信號分解為若干個IMF之和，它基于如下基本的假設：①任何復雜的信號都是由一些不同的本征模式分量組成；②每一本征模式分量可以是線性的，也可以是非線性的，滿足本征模式分量的兩個基本條件；③任何時候，一個信號都可以包含多個本征模式分量，如果本征模式分量相互重疊，便形成復合信號。在此假設的基礎上，可以采用EMD方法對信號進行分解，EMD的分解過程也稱為“篩選”過程，具體步驟如下：

(1)假設信號為x(t)(t為采樣時間)，首先找出x(t)中的所有局部極大值以及局部極小值，利用三次樣條，將局部極大值點連接起來形成上包絡線，將局部極小值點連接起來形成下包絡線。

(2)求出上下包絡線的平均值，得到均值包絡線m1(t)，將原始信號x(t)與均值包絡線相減，得到第一個分量h1(t)，即有：

h1(t)=x(t)-m1(t)

(1)

(3)考察h1(t)是否滿足IMF的兩個條件，如果滿足條件，則h1(t)就是x(t)的第一個IMF分量。對于非線性、非平穩信號而言，一般一次處理不足以使h1(t)滿足IMF的兩個條件，則把h1(t)看做待處理數據，重復步驟(1)~(2)，假設當重復了k次，得到：

hk(t)=hk-1(t)-mk(t)

(2)

滿足了IMF的兩個條件，則獲得了第一個IMF，記為：c1=hk(t)。

(4)將第一個IMF從信號x(t)中分離出來，得到剩余信號：

r1(t)=x(t)-c1(t)

(3)

(5)把r1(t)作為待分解信號，重復步驟(1)~(4)，依次分解得到r2(t)、r3(t)、…，直至剩余信號rn(t)成為一個單調函數不能再從中提取滿足IMF條件的分量時，循環結束。這樣，信號x(t)被分解為n個IMF分量ci(t)(t=1,2，…，n)與一個余項rn(t)之和，即：

(4)

式(4)表明信號的EMD分解具有完備性，這是由分解過程本身決定的。

圖3　試驗Ⅰ初期摩擦振動信號的EMD分解結果Fig.3 EMD decomposition results of frictional vibration signal at the beginning of the testⅠ

圖3是對摩擦磨損試驗Ⅰ初期的摩擦振動信號進行EMD分解得到的8個IMF分量c1~c8和一個殘差r8，限于篇幅，摩擦磨損試驗Ⅰ末期，試驗Ⅱ初期、末期的摩擦振動信號EMD分解結果圖從略。從圖3可以看出，高頻率和小振幅集中出現在前幾個分量中，EMD方法適合用來提取摩擦振動特征信號，得到的各個IMF分量包含了不同的時間尺度，可使摩擦振動信號的特征在不同的分辨率下顯現出來，而且這種分辨率是自適應的[14]。同時，EMD方法也是一種主成分提取方法，分解結果中前幾個IMF分量包含了原始信號的主要信息。摩擦振動的信息主要包含在振幅較小分量中，IMF分量c1、c2、c3、c7的振幅較小，故從摩擦振動信號EMD分解結果中選取c1、c2、c3、c7這四個IMF分量重新合成試驗Ⅰ初期摩擦振動信號。試驗Ⅰ末期，試驗Ⅱ初期、末期的摩擦振動信號也按此方法合成摩擦振動信號，為獲得去噪的摩擦振動特征信號，對合成的摩擦振動信號，再一次進行EMD分解，計算各IMF分量與分解前信號的互相關系數。

表1為兩組試驗IMF分量與信號的互相關系數。從表1可知，前5階的IMF分量與信號的互相關系數遠大于其余高階IMF分量的互相關系數，即前者與信號的相關性較大，因此選擇前5階的IMF分量作為主IMF分量，將其合成得到摩擦振動特征信號。圖4為兩組試驗IMF分量合成的摩擦振動特征信號，可以看出IMF分量合成的信號幅值顯著減小，周期波動變化消失，摩擦振動的沖擊信息清晰出現。

表1　兩組試驗IMF分量與信號的互相關系數

圖4　兩組試驗IMF分量合成的摩擦振動特征信號Fig.4 The recombined frictional vibration characteristic signals of IMF

3摩擦振動信號多重分形分析

3．1多重分形理論及算法

計算多重分形譜的方法一般有盒計數法、柱狀圖法、結構函數法和小波極大模法等。本文采用盒計數法，在文獻[12]中多重分形算法的基礎上，對算法進行了改進，實現多重分形的數值計算。

將摩擦振動信號時間序列沿時間軸劃分為許多尺寸為ε(ε<1)的一維小盒子，Si(ε)為盒子尺寸在ε時第i個小盒子內所有摩擦振動信號的幅值之和，全部摩擦振動信號幅值之和為∑Si(ε)，則概率測度為：

(5)

在無標度區域內，概率測度pi(ε)所組成的集可劃分為一系列子集，即按pi(ε)的大小劃分為滿足下面的冪函數子集：

pi(ε)=εα

(6)

式中，指數α稱為奇異指數，反映了分形體上各個尺寸ε下，物理量分布概率隨ε變化的各個子集的性質，α愈大，子集的概率愈大。

若具有α相同的盒子數為N(pi(ε))，N(pi(ε))在無標度區域內與ε也存在著標度關系，則：

N(pi(ε))=ε-f(α)

(7)

式中，f(α)表示相同α值的子集的分形維數。由于α∈[αmin,αmax]，故f(α)通常為光滑的單峰函數，稱為多重分形譜。

(8)

式中,n(t)是在t精度下所有小盒子的個數，q為權重因子，當q>1時，pi(ε)的較大值對χt(q)的貢獻占優勢；當q<1時，pi(ε)的較小值對χt(q)的貢獻占優勢。Renyi信息維就是這個量當t趨于無窮大時的極限，即定義為：

(9)

在給定精度t下，根據χ(q)的定義，在這些盒子中，有很多盒子具有相同的概率測度，即對于每個pi(ε)都有N(pi(ε))個小盒子，則上式中的和式可以寫為：

(10)

將式(6)和式(7)代入式(10)，可得：

(11)

當t趨于無窮大的時候，和式中的ε?1，于是最小的那一項α會起到最主要的貢獻，故可得如下的近似式：

(12)

則求和相應地轉變成使得等式qα-f(α)最小的α所對應項的值。將這些結果代入到Renyi信息維的定義，可得：

(13)

函數χ(q)和f(α)構成了一個Legendre變換對。由Legendre變換的性質[15]，可以根據函數χ(q)而反過來求出f(α)，即：

(14)

從而實現通過全局的Renyi信息維計算出多重分形譜。

根據以上算法，在Matlab環境的M文件中編寫程序，摩擦振動信號多重分形譜的計算步驟如下：

(1)初始化，計算出數據空間總共能分成多少個盒子；

(3)對不同的q進行循環(預先給q一個預設的取值范圍)；在循環體內，對所有邊長的盒子(分辨率)循環；在不同的分辨率下，對盒子大小在雙對數坐標下做回歸，計算出α和f(α)。

(4)輸出結果，繪制多重分形譜。

為驗證改進的多重分形算法的有效性，按文獻[16]的驗證方法對算法進行驗證。往康托爾集上賦予質量而構造一個質量分布，構造方法是：將區間[0,1]均分為三份，去掉中間的那個小區間，剩下的兩個小區間為[0,1/3]和[2/3,1]，給左邊的小區間分配質量1/3，右邊的小區間分配質量2/3，再按同樣的質量比1/3比2/3對每個子區間進行同樣的迭代操作，最終得到具有典型多重分形特性的質量分布。圖5(a)為康托爾集構造質量分布迭代9次和15次得到的質量分布情況，從圖中可以看出，迭代次數越多，越多的康托爾集小區間具有相同的質量；圖5(b)為康托爾集質量分布迭代15次多重分形理論值和用多重分形改進算法計算結果，計算值與理論值十分接近，表明了改進算法的有效性。

圖5　康托爾集質量分布驗證算法有效性Fig.5 The algorithm validity vertified by the mass distribution of Cantor set

3．2摩擦振動信號的多重分形分析

圖6　兩組試驗摩擦振動特征信號多重分形譜Fig.6 Multifractal spectrum of frictional vibration characteristic signals

試驗ΔαΔffmaxIAsⅠ初期1.1742-0.30320.9253-0.4956Ⅰ末期1.2688-0.18700.9370-0.5627Ⅱ初期1.2608-0.12690.9148-0.3378Ⅱ末期1.4568-0.12230.9629-0.3080

從表2可以看出，兩組試驗條件下多重分形譜參數寬度Δα、維差Δf、極大值fmax隨摩擦磨損時間的增加呈增大趨勢。由多重分形譜參數的意義可知，摩擦振動信號的波動程度及摩擦振動劇烈程度呈現上升趨勢。試驗Ⅰ與試驗Ⅱ相比，試驗Ⅰ的運行時間相對較短，多重分形譜參數略有上升，上升幅度較小，試驗Ⅱ的運行時間相對較長，多重分形譜參數上升幅度較大。兩組試驗條件下，多重分形譜前三個參數有相似的變化規律。多重分形譜IAs表征摩擦振動信號振幅分布和數量的均勻性，表明隨試驗時間的增長，摩擦振動信號振幅分布和數量的均勻性由不均勻向均勻變化的趨勢。

上述分析表明，多重分形譜參數能定量地體現摩擦振動信號的特征，反映摩擦副所處的摩擦振動狀態。

4結論

(1)應用經驗模式分解對非線性、非平穩的摩擦振動信號進行分解，適當選擇本征模式分量，可以獲得反映摩擦振動特征的特征信號。

(2)利用Renyi信息維和Legendre變換能實現多重分形的數值計算。針對摩擦振動信號的特點，提出了應用多重分形譜參數提取摩擦振動信號特征的方法。

(3)多重分形譜參數能夠反映摩擦振動的狀態，定量地表征摩擦振動信號的特征，反映摩擦副所處的摩擦振動狀態。

參 考 文 獻

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Empirical mode decomposition and multifractal of frictional vibration signal

LIJing-ming1,2,WEIHai-jun2,WEILi-dui2,YANGZhi-yuan2,LIUHong2

(1. Marine Engineering College, Dalian Maritime University, Dalian 116026, China;2. Merchant Marine College, Shanghai Maritime University, Shanghai 201306, China)

Abstract:For the purpose of extracting and quantitatively characterizing the characteristic signal of frictional vibration, the simulation experiments of friction and wear of a piston ring against a cylinder in marine diesel engine were conducted on a testing machine. The nonlinear and nonstationary frictional vibration signals were decomposed and several intrinsic mode functions (IMFs) were acquired by using the empirical mode decomposition (EMD). According to the range of amplitudes and the crosscorrelation coefficient, the IMFs involving the characteristics of frictional vibration were extracted to resynthesize the characteristic signal of frictional vibration which was then analyzed by utilizing the improved multifractal algorithm to derive the multifractal spectrum as well as its width, peak value, dimensional difference and asymmetric index. It is shown by the results that the weak characteristic signal of frictional vibration can be extracted by EMD and the frictional vibration signal can be characterized by the parameters of the multifractal spectrum.

Key words:empirical mode decomposition; multifractal; spectrum parameter; frictional vibration

中圖分類號:TK4

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.03.031

通信作者魏海軍 男，博士，教授，博士生導師，1971年7月生

收稿日期：2014-11-10修改稿收到日期：2015-02-16

基金項目：國家高技術研究發展計劃(863計劃;2013AA040203)

第一作者 李精明 男，博士生，講師，1981年5月生