不同邊界條件下截頂正交各向異性圓錐殼的振動和聲輻射研究

趙　鑫, 張　博, 李躍明

(1.西安交通大學 機械結構強度與振動國家重點實驗室，西安　710049； 2. 中國華陰兵器試驗中心，陜西 華陰　714200)

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不同邊界條件下截頂正交各向異性圓錐殼的振動和聲輻射研究

趙鑫1,2, 張博1, 李躍明1

(1.西安交通大學 機械結構強度與振動國家重點實驗室，西安710049； 2. 中國華陰兵器試驗中心，陜西 華陰714200)

摘要：采用波傳播法和Galerkin法，研究了兩端簡支和固支邊界條件對截頂正交各向異性圓錐殼的固有頻率和聲輻射的影響，通過與現有文獻及數值仿真結果相比較，驗證了理論分析的正確性。結果表明，簡支和固支邊界對正交各向異性圓錐殼固有頻率的影響與圓錐殼半頂角的大小和母線與環向方向的彈性模量比的大小相關。當正交各向異性圓錐殼的半頂角較大時，對與不同的彈性模量比，固支圓錐殼的固有頻率都大于簡支圓錐殼的固有頻率；而對于小半頂角的正交各向異性圓錐殼，當彈性模量比較小時，簡支圓錐殼在大周向波數處的固有頻率略大于固支圓錐殼的固有頻率。隨著圓錐殼半頂角的增大，兩種邊界對正交各向異性圓錐殼的聲壓級的影響也逐漸增大。

關鍵詞：正交各向異性圓錐殼；固有振動；聲輻射；邊界條件

由復合材料制成的截頂正交各向異性圓錐殼是航天航空領域中廣泛使用的結構形式。對其開展相關的固有振動及聲響應特性研究，是領域內進行圓錐殼設計和使用的現實需求。國內外學者已經對圓錐殼的自由振動開展了廣泛的研究。Irie等[1-2]采用傳遞矩陣法對九種邊界條件下以及不同厚度形式下的各向同性圓錐殼的頻率特性進行了研究。Tong[3]對正交各向異性圓錐殼在多種邊界條件下的自由振動進行了研究，位移解是通過冪級數方法獲得，得到了較好精度的近似解析解。Mecitoglu[4]對加肋各向同性錐殼的自由振動開展了研究，通過平均能量法，得到一個簡單的正交各向異性圓錐殼模型。Lam等[5]對旋轉狀態下的各向同性截頂圓錐殼在簡支邊界條件下的自由振動進行了研究。Lam等[6]采用Galerkin法對不同邊界條件下各向同性旋轉圓錐殼的頻率特性開展了研究。基于Reissner薄殼理論，吳仕昊等[7]采用區域分解法分析了不同邊界條件下圓錐殼-圓柱殼-球殼組合結構的自由振動。

圓錐殼體的聲輻射的研究工作相對比較少。Caresta等[8]用冪級數序列求解了流體作用下錐殼的動力響應。通過將圓錐殼分段并近似為小圓柱殼，然后確定每一小段圓柱的流體載荷。曹雄濤等[9]研究了簡支邊界條件下正交鋪設層合錐殼的聲輻射理論模型。錐殼的位移利用波傳播法和Galerkin法求解。通過將圓錐殼劃分為多個小段圓柱來疊加成錐殼的遠場聲輻射。Luo等[10]將一個錐形海底山峰進行了分段，每個小錐段近似圓柱，并分析了圓錐山峰在偏置聲源作用下的三維聲傳播和散射特性。

綜上所述，國內外對各向同性圓錐殼在簡支邊界條件下的固有振動研究較為廣泛，而針對正交各向異性圓錐殼在不同邊界條件下的振動和聲輻射特性的研究較少。本文采用波傳播法和Galerkin法對截頂正交各向異性圓錐殼在兩端簡支和固支邊界條件下的固有頻率和遠場聲壓進行了對比研究。為驗證理論模型的正確性，本文將兩種邊界條件下圓錐殼的固有頻率值同已有文獻的結果進行了對比；同時，采用有限元和邊界元相結合的數值模擬方法，對圓錐殼的遠場聲壓進行了對比驗證。

1數學模型

圖1所示為一個薄壁截頂正交各向異性圓錐殼。α是圓錐的半頂角；L1和L分別是圓錐體小端母線方向和大端母線方向的長度；r1和r2分別是圓錐殼小端和大端的半徑；h是殼體厚度；E1和E2分別為母線方向和圓周方向的彈性模量；u，v和w分別是殼體中面在母線方向x，圓周方向θ和法線方向z的位移。F(x,θ)為作用在殼體中面的簡諧點激勵。

圖1　正交各向異性圓錐殼坐標系Fig.1 The coordinates of an orthotropic conical shell

1.1基本方程

基于經典的Reissner薄殼理論[11]，正交各向異性圓錐殼的運動方程可以寫為：

(1)

式中Fx，Fθ，Fz和pa分別是作用在x，θ和z方向上的表面力載荷和作用于錐殼表面法向的空氣載荷。

Lij(i,j=1,2,3)為微分算子，表示如下：

(2)

式中ρ為材料的體積密度。薄膜剛度和彎曲剛度分別為：

(3)

式中E1，E2，G12，μ12和μ21為正交各向異性圓錐殼的彈性常數。

圓錐殼兩端簡支邊界條件(S-S)為：

v=0，w=0 ，Nx=0，Mx=0，x=L1,L

(4)

對于穩態振動，時間因子e-jωt可略去不寫；采用波傳播的形式，對應的位移場可寫為[6, 9]，

(5)

式中km=mπ/(L-L1)是母線方向的波數；ε=0(或1)表示反對稱(或對稱)模態；m和n分別表示母線和圓周方向的波數；上標s表示簡支邊界條件(下同)。

圓錐殼兩端固支邊界條件(C-C)為：

(6)

對應的位移場可寫為[6, 9]

(7)

式中上標c表示固支邊界條件(下同)，λm和γm應滿足下面的條件：

(m=1,2,…)

(8)

由于方程(1)是一組變系數的偏微分方程，無法用解析法來求解，因此，采用加權積分的Galerkin方法來求解，

∫θ∫x(L11u+L12v+L13w-Fx)δudxdθ=0∫θ∫x(L21u+L22v+L23w-Fθ)δvdxdθ=0∫θ∫x(L31u+L32v+L33w+pa-Fz)δwdxdθ=0

(9)

1.2空氣載荷的作用

Helmholtz方程在錐殼的正交曲線坐標系中是不能用分離變量法來處理的。因此，一個分段加載方法來近似圓錐殼的空氣載荷[9]，如圖2所示。

圖2　圓錐殼的劃分Fig.2 Segments of conical shell

空氣中的聲壓滿足柱坐標系下的Helmholtz方程：

(10)

式中：波數k0為ω/c0，ω是角頻率，c0是空氣中的聲速。 Laplace算子為：

(11)

第j個圓錐段(近似為圓柱段)與空氣間的邊界條件為[9, 12]：

(12)

(13)

(14)

sin2[km(x-L1)]dx

(15)

(16)

1.3正交各向異性圓錐殼的聲輻射求解

通過求解方程(9)，可得到空氣載荷作用下的圓錐殼的動力響應。圓錐殼的遠場聲輻射可以通過在波數域求解得到。

1.3.1空氣加載下的圓錐殼的振動

將位移場函數方程組(5)或(7)代入方程組(9)，假設圓錐殼只受徑向點激勵Fz的作用，其幅值為Fzj，得到：

(17)

(18)

(19)

式中(xj,θj)是激勵點坐標。當n=0時，εn為2π；否則，εn為π。這里的系數Cij(i,j=1,2,3)是非常復雜的表達式，涉及到頻率、材料彈性常數和幾何參數。附錄中僅給出了簡支邊界條件下C11的表達式。通過求解方程(17)左邊的行列式問題，可以得到圓錐殼在真空中的固有頻率和在空氣中的固有頻率[11]。求解方程(17)，可得到圓錐殼的徑向位移幅值，

(20)

1.3.2波數域內的遠場聲壓

圓錐殼的聲輻射可通過將圓錐殼分割成的各段圓柱殼的聲輻射聲壓疊加而成，每一個圓柱殼段的兩端都假定有無限長圓柱障板，圓錐殼的遠場聲壓將在波數域推導。

傅里葉變換定義為，

(21)

逆變換為，

(22)

對方程(10)中的x做傅里葉變換，得到

(23)

(24)

(25)

(26)

(Lj≤x≤Lj+1)

(27)

(Lj≤x≤Lj+1)

(28)

(29)

(30)

(31)

方程(30)和(31)的積分變換很容易獲得。聯立方程(25)和(29)，得到

(32)

將方程(32)代入(24)，并對方程(24)進行傅里葉逆變換可得

pja(x,θ,z)=

(33)

利用大參數漸進表示和穩相法[13]，遠場聲壓pja能夠在球坐標中表示為(穩相點k=k0cosθ)

式中R是原點到遠場點的距離，θ是方向角，φ是極角，如圖2所示。圓錐殼輻射的遠場聲壓pa(R,θ,φ)表示為[9, 12]

(35)

式中s表示圓錐殼的分段數。聲壓級(SPL)定義為：

(36)

式中p0是參考聲壓2.0×10-5Pa。

彈性結構中心到流體區域最外層邊界的距離R0所滿足的遠場條件為[14-15]：

R2>(5~10)λ,低頻限制

(37)

式中,R0取R1和R2中的最大值。在實際計算中，R0=5λ即可滿足工程計算精度的需要。

2模型有效性驗證

2.1固有振動驗證

令本模型中的E1=E2，則正交各向異性圓錐殼近似為各向同性圓錐殼。將計算得到的無量綱頻率參數同Lam[6]的結果進行比較。無量綱頻率定義為：

(38)

各向同性圓錐殼的參數為m=1，h/r2=0.01，μ=0.3，(L-L1)sinα/r2=0.25。表1和表2分別給出了圓錐殼在簡支和固支邊界條件下的無量綱頻率的對比結果。

表1　簡支圓錐殼無量綱頻率ωc

表2　固支圓錐殼無量綱頻率ωc

從表1和表2中的數據對比可以看出，當前給出的結果同Lam[6]給出的結果吻合的很好。

為驗證空氣載荷對圓錐殼固有頻率的影響，表3給出了簡支條件下各向同性圓錐殼在真空中和空氣中的無量綱頻率的對比。從表3中可見，由于空氣載荷的作用，圓錐殼的固有頻率有所下降，但通過與真空中的頻率對比可以看出，空氣載荷對圓錐殼動態特性的影響極小，在實際工程中可以不予考慮。

表3　真空中和空氣中簡支圓錐殼的無量綱頻率ωc對比

2.2聲輻射驗證

為驗證聲輻射模型的有效性，本節采用有限元與邊界元相結合的數值方法獲得圓錐殼的遠場聲壓，并同理論模型做對比。

圓錐殼的邊界條件為兩端簡支，圓錐的小端和大端的半徑分別為r1=0.6 m和r2=0.8 m；L1和L分別為1.2 m和1.6 m；圓錐殼的厚度h和半頂角α分別為0.005 m和30°。圓錐殼的材料參數為：E1=E2=210 GPa，μ12=0.3，ρ=7 800 kg/m3和結構阻尼η=0.01。空氣密度ρ0=1.21 kg/m3；聲速c0=340 m/s。

首先對聲壓級的收斂性進行檢驗。根據式(37)，可取遠場距離R0為10 m。聲場的指向性場點定義在一個隨φ變化的圓上，由R0=10 m，這個圓定義為[9]

圖3　圓錐殼聲壓級的收斂性Fig.3 SPL convergence for conical shell

圖4為在商用軟件VA One中，采用有限元和邊界元相結合的方法建立的圓錐殼的聲輻射模型。

圖4　圓錐殼聲輻射的有限元/邊界元模型Fig.4 FEM/BEM model for the acoustic radiation of conical shell

圖5為聲壓級的理論解與數值仿真解的對比，可見在整個計算頻率帶內，二者整體吻合的較好。

圖5　聲壓級的理論解與數值仿真解的對比Fig.5 A comparison for the sound pressure level between the theoretical and numerical solution

3數值算例和討論

3.1不同邊界條件下圓錐殼的固有頻率的對比研究

通過對簡支和固支邊界條件下的正交各向異性圓錐殼的頻率參數的對比研究，得到兩種邊界條件下圓錐殼固有頻率的變化特點。

圓錐殼體的正交各向異性復合材料參數為：E1=172.5 GPa，E2=E1/r12，μ12=0.25，η=0.01，ρ=1 600kg/m3。其中，彈性模量和泊松比的關系滿足E1μ21=E2μ12。圓錐殼的幾何參數為：h/r2=0.01，(L-L1)sinα/r2=0.25。

圖6～8給出了母線波數m=1時，兩種邊界條件下正交各向異性圓錐殼的頻率隨環向波數增大時的變化特性。其中，對每個半頂角的圓錐殼，給出了幾個不同的彈性模量比組合，r12=25,5,1。隨著r12的減小，圓錐殼的整體剛度增大，當r12=1時，圓錐殼近似為各向同性圓錐殼。

在圖6中，圓錐殼的半頂角α=5°，兩種邊界下的圓錐殼的頻率都是先減小后增大；在n=0和大周向波數(n>11)時，不同彈性模量比的圓錐殼在兩種邊界條件下的頻率之差都較小。對任意的彈性模量比率，當011)，簡支圓錐殼的頻率略大于固支圓錐殼的頻率。

圖7給出了兩種邊界條件下，半頂角α=30°的正交各向異性圓錐殼的無量綱頻率的對比。當r12=25和r12=5時，固支圓錐殼的固有頻率明顯大于簡支圓錐殼的固頻率。對r12=1，當周向波數較大時(n>11)，簡支邊界下的固有頻率略大于固支邊界下的固有頻率。

圖6 兩種邊界下正交各向異性圓錐殼的固有頻率比較,α=5°Fig.6ComparisonofnondimensionalfrequenciesfororthotropicconicalshellwithS-SanC-Cboundaryconditions,α=5°圖7 兩種邊界下正交各向異性圓錐殼的固有頻率比較,α=30°Fig.7ComparisonofnondimensionalfrequenciesfororthotropicconicalshellwithS-SandC-Cboundaryconditions,α=30°圖8 兩種邊界下正交各向異性圓錐殼的固有頻率比較,α=60°Fig.8ComparisonofnondimensionalfrequenciesfororthotropicconicalshellwithS-SanC-Cboundaryconditions,α=60°

圖8給出了兩種邊界下，半頂角α=60°的正交各向異性圓錐殼的固有頻率的對比。可以看到，對任意的彈性模量比率r12，固支圓錐殼的頻率都明顯大于簡支圓錐殼的頻率。

3.2不同邊界條件下圓錐殼的遠場聲壓的對比研究

采用上節中的正交各向異性圓錐殼來研究簡諧激勵下圓錐殼的聲輻射特性。為方便討論，假設彈性模量比r12=25。參照2.2節的方法，可設定遠場距離R0=50 m，單位法向力位于圓錐殼的中面((L1+L)/2,0)處。經計算，可確定圓錐殼分段數s=10，波數m和n都取到20時，不同半頂角下的圓錐殼的聲壓級可全部收斂。

圖9～11給出了簡支和固支邊界條件的正交各向異性圓錐的遠場聲壓級的對比。

在圖9可見，圓錐殼的半頂角為5°時，由于在計算頻率范圍內的模態密度較大，因此聲壓級曲線有較多的波動，兩條曲線的聲壓級在量級上相差不大。對簡支和固支邊界條件，圓錐殼的一階固有頻率分別為92和174 Hz，在圖中可以看到，兩條曲線在上述兩個頻率處分別出現了第一個峰值。可觀察到，在中高頻段，固支圓錐殼的聲壓級略大于簡支圓錐殼的聲壓級。

圖9 半頂角為5°的正交各向異性圓錐殼在兩種邊界下的聲壓級比較Fig.9ComparisonofSPLfororthotropicconicalshellwithS-SandC-Cboundaryconditionsforhalfconeangleα=5°圖10 半頂角為30°的正交各向異性圓錐殼在兩種邊界下的聲壓級的比較Fig.10ComparisonofSPLfororthotropicconicalshellwithS-SandC-Cboundaryconditionsforhalfconeangleα=30°圖11 半頂角為60°的正交各向異性圓錐殼在兩種邊界下的聲壓級比較Fig.11ComparisonofSPLfororthotropicconicalshellwithS-SandC-Cboundaryconditionsforhalfconeangleα=60°

圖10給出了半頂角為30°的正交各向異性圓錐殼在兩種邊界下的聲壓級的比較。對簡支和固支邊界條件，圓錐殼的一階固有頻率分別為378和535 Hz，兩條曲線在上述兩個頻率處分別出現了第一個峰值。而在固支圓錐殼的一階固有頻率之前(535 Hz)，固支圓錐殼的聲壓級小于簡支圓錐殼的聲壓級。在大于固支圓錐殼一階頻率的頻率段，即535~1 290 Hz，固支圓錐殼的聲壓級明顯高于簡支圓錐殼的聲壓級。由于兩條曲線在1 290 Hz處交匯，在1 290~1 600 Hz頻率段，簡支圓錐殼的聲壓級在整體上高于固支圓錐殼的聲壓級。

在圖11中，圓錐殼的半頂角α=60°，簡支和固支邊界條件下圓錐殼一階固有頻率分別為594和1 283 Hz。在1 283 Hz之前的頻率段，簡支圓錐殼的聲壓級整體上遠大于固支圓錐殼的聲壓級。在1 283~1 600 Hz的頻率段，二者聲壓級的幅值相差很小。

4結論

本文采用波傳播法和Galerkin法研究了兩端簡支和固支邊界條件對正交各向異性截頂圓錐殼的振動和聲輻射特性的影響。通過與現有文獻結果、以及有限元和邊界元數值結果的對比，驗證了本文振動和聲輻射模型的正確性。通過數值算例，可得到以下結論：

(1)簡支和固支邊界條件對圓錐殼固有頻率的影響與圓錐殼的半頂角的大小以及母線與環向方向的彈性模量比的大小相關。對于小半頂角的圓錐殼(α=5°)，當彈性模量比較小時(r12=5,1)，在大周向波數(n>11)處，簡支圓錐殼的頻率略大于固支圓錐殼的頻率；同時，在周向波數n=0和大周向波數(n>11)處，兩種邊界條件下的圓錐殼的頻率差很小。隨著半頂角的增大，兩種邊界條件下的頻率差也隨之增大。對于大半頂角(α=60°)的圓錐殼，固支圓錐殼的固有頻率整體上都大于簡支圓錐殼的固有頻率。

(2)隨著圓錐殼半頂角的增大，兩種邊界條件下的圓錐殼的一階固有頻率之差也隨之增大；反映在遠場聲壓級曲線上，表現為兩種邊界條件下聲壓級曲線的第一個峰值的距離隨半頂角的增大而增大。對于小半頂角(α=5°)的圓錐殼，兩種邊界條件的聲壓級的幅值在整體上相差不大，在中高頻段，固支圓錐殼的聲壓級略大于簡支圓錐殼的聲壓級。對于較大半頂角的圓錐殼(α=30°,60°)，在小于固支邊界條件下的圓錐殼的一階固有頻率處，簡支圓錐殼的聲壓級明顯大于固支圓錐殼的聲壓級。

參 考 文 獻

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附錄

簡支邊界條件下的矩陣系數C11

Influences of boundary conditions on the vibration and sound radiation of a truncated orthotropic conical shell

ZHAOXin1,2,ZHANGBo1,LIYue-ming1

(1. Xi’an Jiaotong University, State Key Lab. for Strength and Vibration of Mechanical Structures, Xi’an 710049, China;2. Huayin Ordnance Test Centre, Huayin 714200, China)

Abstract:The wave propagation approach and Galerkin method were employed to study the influence of the simply-supported and clamp-supported boundary conditions at both ends on natural frequency and acoustic radiation of a truncated orthotropic conical shell. In order to validate the present analysis, the theoretical results were compared with those in published literatures and those by numerical simulation. The results indicate that the influences of simply-supported and clamp-supported boundary conditions are related to the half cone angle and the ratio of elasticity moduli in meridianal and circumferential directions. The natural frequencies of the orthotropic conical shell with clamp-supported boundary are greater than those with simply-supported boundary for the larger half cone angle, but the natural frequencies of the orthotropic conical shell with simply-supported boundary are only slightly larger than those with clamp-supported boundary under the modes with large circumferential wave number for the smaller half cone angle as the ratio of elasticity moduli is smaller. With the increase of the half cone angle, the effects of the two boundary conditions on the natural frequencies and sound pressure level both increase.

Key words:orthotropic conical shell; natural vibration; sound radiation; boundary condition

中圖分類號:V214.3；O422.6

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.03.016

通信作者李躍明 男，教授，博士生導師，1961年生

收稿日期：2014-10-08修改稿收到日期：2015-02-06

基金項目：國家自然科學基金項目(11321062;91016008;91216107)

第一作者 趙鑫 男，博士生，工程師，1977年生