平面整體式三自由度全柔順并聯機構拓撲優化構型設計及振動頻率分析

朱大昌, 宋馬軍

(江西理工大學 機電工程學院，江西 贛州　341000)

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平面整體式三自由度全柔順并聯機構拓撲優化構型設計及振動頻率分析

朱大昌, 宋馬軍

(江西理工大學 機電工程學院，江西 贛州341000)

摘要：通過建立并聯原型機構的微分雅克比矩陣方程，實現平面整體式三自由度全柔順并聯機構與并聯原型機構之間的矢量同構映射。在此基礎上，建立平面整體式3-PRR型全柔順并聯機構SIMP(Solid Isotropic Microstructure with Penalization Method)拓撲優化模型，并采用優化準則算法，結合矢量同構映射方程，進行了平面整體式3-PRR型全柔順并聯機構同構構型設計，通過應力分布和前四階振動固有頻率仿真對比研究表明：所采取的拓撲優化設計方法使平面整體式全柔順并聯機構具有一定的均布剛度和較好的振動抑制性能，且對其振動頻率的分析可為機構尺寸優化及振型優化提供了重要的依據。同時，微運動特性的仿真表明其與傳統并聯原型機構之間的運動學同構性一致。該結果對平面整體式全柔順并聯機構的構型拓撲優化設計有實際意義。

關鍵詞：平面整體式三自由度全柔順并聯機構；微分矢量同構映射；拓撲優化；振動固有頻率

微納制造技術是衡量一個國家制造水平的重要標志，已經滲透到信息、汽車、工業控制、航空、國防等各個領域，在推動科技進步、促進產業發展、保障國防安全等方面發揮著重要作用[1]。微納機構學作為微納制造技術中的一個重要組成部分，成為當前微納制造領域中研究的重點。其傳統表現形式為柔順機構(Compliant Mechanism)：以柔性關節代替傳統剛性運動鉸鏈，利用自身柔性構件的彈性變形來轉換力、運動或者能量的免裝配機構[2-3]。為實現柔順機構空間多自由度運動特性，學者們提出用柔性鉸鏈取代傳統剛性鉸鏈的機構組成形式，從而形成全柔性并聯機構[4-6]。然而，這種“堆積木式”機構構型僅在鉸鏈處實現了柔性化，其他構件仍為剛性體，導致形成的剛柔混合體使其運動學和動力學分析非常復雜，且無法滿足微納制造領域對整體剛度和精度的要求。此類柔性機構分析方法主要采用Howell和Midha提出的“偽剛體模型”法[7]，但該方法既不能真實地反映全柔性并聯機構的運動性能和力學性能，也不能滿足微納精密定位技術的高精度要求。

為了克服以上缺陷，朱大昌等[8-9]提出采用柔性鉸鏈集成在一塊整體材料上，通過線切割方式得到全柔性并聯機構支鏈整體集成式結構，并通過多支鏈的組合形成新型全柔性并聯機構。然而，由于柔性鉸鏈在整體材料上的分布僅由設計者經驗決定，具有較強的任意性。因此，提出一種具有一定剛度和抗振性能的新型全柔性并聯機構構型設計方法具有實際意義。

本文根據微納制造技術對微納定位平臺的更高精度要求及其自身的運動特性，為區別傳統柔順并聯機構而提出全柔順并聯機構的概念：即采用拓撲優化理論[10-11]，以傳統并聯機構空間矢量約束為輸出條件、支鏈柔度最小化為優化目標、實現全柔順并聯機構構型設計[12-14]。以平面整體式3-PRR全柔順并聯機構構型設計為例，建立傳統并聯機構空間微分矢量同構映射方程并將其作為構型拓撲優化的輸入輸出條件，采用連續體SIMP方法構建全柔順并聯機構拓撲優化模型，應用Optistruct對其進行拓撲優化。同時，還分析了平面整體式3-PRR型全柔順并聯機構的應力分布、前四階固有振動頻率及振型和全柔順并聯機構的微運動特性。通過與傳統同構型并聯機構微運動特性對比，證明了該方法的有效性，且能滿足微納定位平臺的精度要求。

1矢量同構映射方程

1.1傳統平面3-PRR型并聯機構構型

傳統平面3-PRR型并聯機構由動平臺、定平臺及連接兩平臺的三個支鏈所組成，每個支鏈由一個P副(移動副)和兩個R副(轉動副)所組成，如圖1所示。根據驅動副P的平面配置不同，平面3-PRR型并聯機構可實現兩種不同的運動形式，即平面兩平移運動形式和兩平移一轉動運動形式，分別如圖1(a)和圖1(b)所示。本文中研究對象采用圖1(a)配置形式。

圖1　平面3-PRR型并聯原型機構構型簡圖Fig.1 Structure of planar 3-PRR parallel prototype manipulator

1.2矢量同構雅克比方程

所設計的平面整體式全柔順并聯機構應與并聯原型機構在運動特性上保持一致，即兩種機構之間的同構性能。機構運動學雅可比矩陣揭示了操作空間與關節空間的映射關系，而這種關系如果能在機構拓撲中實現，則經拓撲優化所得出來的全柔順并聯機構與并聯原型機構之間存在同構性，即兩者具有相同的運動特性。基于以上分析，在本節中將求出3-PRR型平面并聯原型機構的運動矢量雅克比矩陣，并將其作為3-PRR型平面整體式全柔順并聯機構構型拓撲優化的輸入輸出同構矢量方程約束條件。

取AR31R32支鏈分析，其環路矢量方程如圖2(a)所示，有：

(1)

等式兩邊微分，得：

(2)

等式兩端點乘R31R32，則有：

(3)

同理，可得出另外兩支鏈的環路矢量方程。

寫成矩陣形式如下：

(4)

式中：

根據雅克比矩陣表示為輸入輸出的映射關系，在式(4)等式兩邊左乘Jx的逆，得到：

(5)

1.3矢量同構微分運動雅克比方程

本文所研究平面3-PRR型并聯機構配置形式為1.1節中的圖1(a)。假設動平臺三角形邊長為e，移動副CR11、BR21、AR31的長度分別為p1、p2、p3；各支鏈兩個轉動副之間的連桿R11R12、R21R22、R31R32的長度分別為r1、r2、r3；以C為坐標系原點，CR11方向為X軸，CA方向為Y軸建立笛卡爾坐標系；連桿R11R12、R21R22、R31R32與X軸正向的夾角分別為φ1、φ2、φ3；動平臺其中一邊R32R12與X軸正向的夾角為δ，如圖2所示。

當壓電陶瓷驅動移動副CR11、BR21、AR31，在微運動過程中，其所在桿長度分別由p1、p2、p3變為p1+Δp1、p2+Δp2、p3+Δp3；連桿R11R12、R21R22、R31R32與X軸正向夾角也分別由φ1、φ2、φ3變為φ1+Δφ1、φ2+Δφ2、φ3+Δφ3。

圖2　平面3-PRR并聯原型機構結構示意圖Fig.2 planar 3-PRR parallel prototype mechanism

依據1.2節中矢量同構映射法所得的并聯機構原型運動雅克比矩陣JD和微分運動學[15]，即對雅克比矩陣JD中的變量微分求解。結合等價無窮小原理可得到平面整體式3-PRR型全柔順并聯機構的微分Jacobian矩陣為：

(6)

式(6)反映了3-PRR型并聯原型機構末端操作空間與各關節間的同構映射關系，在平面整體式3-PRR型全柔順并聯機構的表現為如下：

23-PRR型平面整體式全柔順并聯機構拓撲優化模型

2.13-PRR型全柔順并聯機構SIMP插值模型

固體各向同性材料懲罰模型(Solid Isotropic Microstructures with Penalization, SIMP)是通過引入懲罰因子，在材料的彈性模量和單元相對密度之間建立起一種顯性非線性對應關系，使得中間密度值逐漸向0或1聚集。本文采用的SIMP插值模型數學表達式為：

(8)

2.2敏度分析

在SIMP模型中，通過目標函數敏度值和約束函數敏度值可確定拓撲優化中設計變量的更新迭代變化方向。

2.2.1目標函數敏度分析

目標函數敏度分析為目標函數對設計變量的梯度形式，將式(7)的目標函數C對單元密度ρe求偏導，可得：

(9)

假設載荷輸入與設計變量無關，式(7)中對總剛度矩陣按設計變量求導，可得：

(10)

(11)

(12)

2.2.2約束函數敏度分析

平面3-PRR型全柔順并聯機構拓撲優化中以體積作為優化約束，體積對材料密度導數的偏導即為約束函數敏度。其表達如下：

(13)

式(13)所得體積約束敏度為常數1，它確定了設計變量的迭代更新方向。

2.3優化模型求解

本文采用的優化模型求解思路為：基于變分原理，采用拉格朗日乘子構造含有目標函數與約束函數的泛函方程，并確定設計變量的穩態條件，通過求解拉格朗日函數極值實現機構的拓撲優化。輸入輸出更新迭代如下：

(14)

(15)

式中Λ(k)為第步迭代的體積約束拉格朗日乘子，其更新采用雙向凸線性規劃法。Ve為單元第k步迭代的體積。

33-PRR型平面整體式全柔順并聯機構同構構型

3.13-PRR型全柔順并聯機構拓撲優化工況

分析圖1(a)中的3-PRR型并聯原型機構，其拓撲優化工況圖如圖3所示。

圖3所示的拓撲優化工況表示了在設計過程中支鏈與動平臺之間的連接發生了本質的變化：通過拓撲優化設計之后的3-PRR型全柔順并聯機構采取的是一種無鉸鏈的連接方式。本文在設計過程中，設定驅動器放置位置為非設計區域，區域范圍根據驅動器規格確定。根據圖3的輸入輸出配置，在SolidWorks中建立相應的平面幾何模型，并在Hypermesh中進行前處理，如網格劃分、材料單元屬性分配及施加輸入載荷，如圖4所示。

圖4　拓撲優化模型結構圖Fig.4 Structure of topology optimization model

3.23-PRR型全柔順并聯機構同構構型

選取材料屬性如下：

材料：不銹鋼304；楊氏模量：2.05×10-5F/mm2；

泊松比：0.3；材料密度：7.85×10-9t/mm3。

施加載荷：1 kN。

根據拓撲優化模型求解方程(7)，可得經拓撲優化后平面整體式3-PRR型全柔順并聯機構構型的材料最佳分布，如圖5所示。圖中，白色封閉區域內為非設計區域和密度為1的材料，需要保留，這樣的材料分布也最符合應力的流向。白色封閉區域外是密度為0的材料，予以去掉。圖6是目標函數柔度與優化迭代的曲線圖，圖中可得在0~4步是柔度下降幅度最快的階段，并在第5步開始趨于收斂。

圖5　3-PRR型全柔順并聯機構拓撲優化構型Fig.5 Topology optimization structure of planar 3-PRR fully compliant parallel manipulator

圖6　拓撲優化迭代收斂曲線Fig.6 Iteration convergence curve of topology optimization

3.3仿真對比研究

將拓撲優化所得的3-PRR型平面整體式全柔順并聯機構構型用Solidworks進行光滑處理，并將處理后的結果導入Hypermesh中進行靜力學仿真，其應力分布如圖7所示。從應力云圖分析可得，最大應力主要集中在驅動裝置的輸出端，最大應力為29.64 MPa，小于材料的屈服強度。

圖7　3-PRR型平面整體式全柔順并聯機構應力分布圖Fig.7 The stress distribution graph of 3-PRR type planar integrated fully compliant parallel manipulator

在相同載荷輸入工況及邊界約束條件下，優化前后機構參數如表1所示。

表1　優化前后機構應力分布情況對比

結果表明：優化后的最大應力比優化前最大應力減少47%，最小應力較優化前有所增大，優化后機構應力均勻性分布優于原機構。

圖8為拓撲優化后平面整體式3-PRR型全柔順并聯機構構型動平臺在沿著X、Y方向及繞著Z轉動方向的運動特性，相應的參數見表2。

圖8　平面整體式3-PRR型全柔順并聯機構運動特性Fig.8 Kinetic characteristics of planar integrated fully compliant parallel mechanism

根據式(6)的微運動Jacobian矩陣進行并聯機構微分運動學分析，假設某個狀態下該并聯機構的初始條件設置為：

代入式(6)求解得到：

從而求得微運動Jacobian矩陣為：

表2　優化后動平臺運動特性

結果表明：優化后的機構運動特性與式(6)的理論計算值處同一數量級，符合微運動特性。優化后的3-PRR型平面整體式全柔順并聯機構與3-PRR型并聯原型機構具有運動同構性。

Optistruct拓撲優化的輸入為靜態載荷，運動特性仿真值為最后迭代步所測值。而基于微分Jacobian求解的理論值，因初始取值為運動空間內某一時刻。故仿真值與理論值的符號和數值上有明顯的差異。

3.4振動模態分析

模態是機械結構固有振動特性，對于微納制造領域的機構而言尤為重要。本文采用Optistruct對拓撲優化后的3-PRR型平面整體式全柔順并聯機構，在相同載荷輸入工況及邊界約束條件下進行模態分析，并選取該機構前四階振動模態，如圖10~12所示。

圖9　一階振動模態Fig.9 The first order vibration mode

同時，表3為與優化前后1~4階振動模態相對應的固有頻率和振型描述。

圖10　二階振動模態Fig.10 The second order vibration mode

圖11　三階振動模態Fig.11 The three order vibration mode

圖12　四階振動模態Fig.12 The four order vibration mode

階數固有頻率優化前優化后振型說明1756.3260889.261縱向彎曲2863.29771042.444側向扭轉3863.53831043.140側向扭轉42322.0701673.653縱向彎曲

經過拓撲優化后，對平面整體式3-PRR型全柔順并聯機構進行模態分析，結果表明：優化后機構的低階固有頻率比優化前明顯提高。該方法能有效抑制振動，使其各低階固有頻率明顯提高，以免影響精密定位性能甚至造成“共振現象”。同時，對振動固有頻率和相應振型的分析可為機構在后續優化，如尺寸參數優化、形貌優化等提供切實可行的依據。

4結論

本文提出了一種基于微分矢量同構映射法并引入到平面整體式全柔順并聯機構同構構型拓撲優化設計中。通過構建并聯原型機構的微分雅克比矩陣方程，并采用拓撲優化設計方法，獲得與并聯原型機構微分運動特性一致性的全柔順并聯機構同構構型。通過平面整體式3-PRR型全柔順并聯機構構型設計，得出如下結論：

(1)本文提出的基于微分矢量同構映射的全柔順并聯機構構型設計方法可實現兩種機構之間的同構構型設計，并可在空間多維多尺度全柔順并聯機構構型設計中得以借鑒及應用；

(2)通過應力傳遞分布和前四階振動固有頻率仿真對比研究，表明所采取的方法可保證平面整體式全柔順并聯機構與傳統并聯原型機構之間的運動同構性的基礎上，具有剛度均布化和一定振動抑制性。且對其振動固有頻率和相應振型的分析可為機構在后續優化，如尺寸參數優化、形貌優化等提供切實可行的依據。

(3)通過對拓撲結果提取的平面整體式3-PRR型全柔順并聯機構進行運動學仿真分析可得：平面3-PRR全柔順并聯機構動平臺在X方向的位移為2.269×10-4mm、在Y方向的位移為-2.115×10-4mm和繞著Z軸轉動的角位移為-1.486×10-4rad，實現了平面整體式3-PRR型全柔順并聯機構的微運動特性。將其與理論計算值進行比較，各方向上位移均在同一個數量級表明基于微分矢量同構映射的平面整體式全柔順并聯機構拓撲優化設計方法的有效性。

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Configuration design with topology optimization and vibration frequency analysis for 3-DOF planar integrated fully compliant parallel mechanism

ZHUDa-chang,SONGMa-jun

(College of Mechanical and Electronic Engineering, Jiangxi University of Science and Technology, Ganzhou 341000, China)

Abstract:Through establishing the differential Jacobian matrix equation of parallel prototypical mechanism, the vector isomorphic mapping between planar integrated fully compliant parallel mechanism (PIFCPM) and parallel prototypical mechanism was realized. On this basis, the solid isotropic microstructure with penalization method(SIMP) topology optimization model of a 3-PRR type PIFCPM was built, an optimization criteria algorithm was introduced and combining with the vector isomorphic mapping equation, the isomorphic structure of the 3-PRR type PIFCPM was designed. Via a contrast simulation study on the stress distribution and first four vibration natural frequencies of the PIFCPM, it is shown that the topology optimization method introduced in the paper can achieve more uniform stiffness distribution and better performance of vibration suppression. The analysis of its vibration frequencies provides an important basis for the size and modal optimization of the mechanism. Meanwhile, the simulation regarding differential kinematical characteristics shows the kinematics isomorphism between PIFCPM and traditional parallel prototypical mechanism. The method and analysis results are helpful for structural design of PIFCPMs.

Key words:3-DOF planar integrated fully compliant parallel manipulator; differential vector isomorphic mapping; topology optimization; vibration natural frequency

中圖分類號:TH11

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.03.005

通信作者宋馬軍 男，碩士，講師，1990年4月生

收稿日期：2015-04-20修改稿收到日期：2015-07-15

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51165009);江西省自然科學基金重點項目(20142BAB206019);中國博士后科學基金(2013M541874)

第一作者 朱大昌 男，博士，教授，1973年10月生