初中數(shù)學(xué)分類討論思想運(yùn)用的案例分析

周務(wù)新

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 分類思想

案例分析

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2016）02A-0073-02

分類思想是基于對(duì)象本質(zhì)屬性的異同，將數(shù)學(xué)研究對(duì)象根據(jù)一定的關(guān)系，合理劃分為不同的種類進(jìn)行分類討論，再將討論的結(jié)果進(jìn)行總結(jié)歸納，得出題目和要研究問題的答案。比較是分類討論的基礎(chǔ)，分類討論思想是深入研究問題的一種常用思想方法，需要在實(shí)踐應(yīng)用中掌握解題思路與技巧，做到觸類旁通，舉一反三。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類討論思想的運(yùn)用較為廣泛，關(guān)于絕對(duì)值、有理數(shù)、與圓有關(guān)的位置關(guān)系等概念的分類，還有不等式、含有字母的方程相關(guān)解題方法的分類，圖形位置關(guān)系、等腰三角形頂點(diǎn)不確定問題的分類等。本文就幾個(gè)重要的分類思路與解題策略進(jìn)行討論分析。

一、坐標(biāo)與圖形分類問題

分類討論思想的運(yùn)用中，坐標(biāo)與圖形分類的運(yùn)用較多，大多將重點(diǎn)集中在坐標(biāo)系中各類圖形的變換方式，將坐標(biāo)與矩形、三角形、拋物線、雙曲線等圖形相結(jié)合，綜合考查這些圖形的基本性質(zhì)在坐標(biāo)系下的運(yùn)用，增加了題型的難度與變化程度，也重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了對(duì)學(xué)生想象力的培養(yǎng)。

例1：在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，√3），M為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且使得△MOA為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)有幾個(gè)？

【解答】本題考查等腰三角形的判定、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、分類討論等相關(guān)知識(shí)，通過數(shù)形結(jié)合，畫圖分析，了解到滿足條件的M的個(gè)數(shù)有6個(gè)。

例2：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)E（-4，2），F(xiàn)（-2，-2），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△EFO縮小，則點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E′的坐標(biāo)是？

【解答】本題考查位似變換、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、操作題、分類討論等相關(guān)知識(shí)。根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，可以分析出點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E′的坐標(biāo)是（-2，1）或（2，-1）。

例3：（如圖1）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（10，0）、（0，4），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為？

【解答】當(dāng)△ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，有三種情況，需要分類討論：（1）PD=OD=5，點(diǎn)P在點(diǎn)D的左側(cè)，計(jì)算出P的坐標(biāo)為（2，4）;（2）P在D的左側(cè)，OP=OD=5，計(jì)算出P的坐標(biāo)為（3，4）;（3）PD=OD=5，點(diǎn)P在點(diǎn)D的右側(cè)，計(jì)算出P的坐標(biāo)為（8，4）。

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等動(dòng)點(diǎn)型相關(guān)知識(shí)，需要運(yùn)用到分類討論的思想進(jìn)行解答。P是一個(gè)不確定的點(diǎn)，在矩形與等腰三角形性質(zhì)下，有三種不同的位置，再運(yùn)用勾股定理，可以解答出P點(diǎn)的坐標(biāo)。

二、等腰三角形分類問題

等腰三角形分類問題屬于分類討論中經(jīng)常考查的一類問題，中考考查頻率高。常會(huì)涉及腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)的確定、底角與頂角的確定等。較為復(fù)雜的是與圓、坐標(biāo)等結(jié)合起來(lái)進(jìn)行綜合考查，綜合題型較為復(fù)雜，學(xué)生要把握等腰三角形性質(zhì)的核心，有效變通。

例4：若（a-1）2+|b-2|=0，則以a、b為邊長(zhǎng)的等腰三角形周長(zhǎng)為多少？

【解答】先根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)求解出a與b的結(jié)果，得出a=1，b=2。再結(jié)合三角形三邊的關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，得出腰只能為2，底只能為1，所以，周長(zhǎng)為2+2+1=5。

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)—絕對(duì)值、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)—偶次方、三角形三邊關(guān)系的相關(guān)知識(shí)，需要運(yùn)用到分類討論思想，進(jìn)行結(jié)果的分類討論與說(shuō)明。難點(diǎn)在于討論求解的思路。

例5：等腰三角形的一個(gè)角是80°，則它頂角的度數(shù)是多少？

【解答】①80°角是頂角時(shí)，三角形的頂角為80°，②80°角是底角時(shí)，頂角為180°-80°×2=20°。綜上，該等腰三角形頂角的度數(shù)為80°或20°。

【分析】本題考查等腰三角形兩個(gè)底角相等，兩腰長(zhǎng)度相等，再結(jié)合三角形基本性質(zhì)，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，就能得出問題的答案。

三、動(dòng)點(diǎn)型分類討論問題

動(dòng)點(diǎn)型分類討論問題一般是中考題型中的壓軸題，也是學(xué)生較為頭疼的問題。解決這類問題需要牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)，綜合運(yùn)用三角形、圓形、坐標(biāo)系、運(yùn)動(dòng)理論等相關(guān)知識(shí)，找準(zhǔn)問題的關(guān)鍵，把握變化量及運(yùn)動(dòng)要素，有效解決問題。

例6：射線QN與等邊△ABC的兩邊AB，BC分別交于點(diǎn)M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)Q出發(fā)，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動(dòng)，經(jīng)過t秒，以點(diǎn)P為圓心，√3cm為半徑的圓與△ABC的邊相切（切點(diǎn)在邊上），請(qǐng)寫出t可取的一切值。

【解答】結(jié)合切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)相關(guān)知識(shí)，已知△ABC為等邊三角形，AM=MB=2cm，在沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動(dòng)的過程中，會(huì)有3種切線情況，分別如下圖2、圖3、圖4。

運(yùn)用切線性質(zhì)中直角三角形的勾股定理、等邊三角形的相關(guān)知識(shí)，以及運(yùn)動(dòng)中速度、時(shí)間與路程的關(guān)系，得出圖2中t=2，圖3中t=3與t=7，圖4中t=8。由分類討論，總結(jié)得出答案為t=2或3≤t≤7或t=8。

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，含30°角的直角三角形性質(zhì)，切線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行計(jì)算的能力，注意要進(jìn)行分類討論，將分類討論的結(jié)果進(jìn)行總結(jié)歸納，得出正確結(jié)果，還需要進(jìn)行再次檢驗(yàn)，以求結(jié)果的準(zhǔn)確性，提高解題效果。

對(duì)于動(dòng)點(diǎn)型分類討論，重要是進(jìn)行分類思想與方法的運(yùn)用，全面考慮每種情況，并驗(yàn)證其正確性，再進(jìn)行分類計(jì)算，總結(jié)出最后的結(jié)果，確保結(jié)果的全面、準(zhǔn)確、有效。

四、圖形的拼接分類討論

在幾何圖形的拼接過程中，也運(yùn)用到了分類討論思想，拼接問題需要注意拼接的合理性，要從角度、長(zhǎng)度進(jìn)行配合，不能隨意拼接，觀察拼接后想要的圖形，再整體規(guī)劃拼接前的切線，找到切線，計(jì)算各部分線段的長(zhǎng)度，再計(jì)算面積、周長(zhǎng)等。

例7：如圖，有一張一個(gè)角為30°，最小邊長(zhǎng)為2的直角三角形紙片，沿圖中所示中位線剪開后，將兩部分拼成一個(gè)四邊形，所得四邊形的周長(zhǎng)是多少？

【解答】根據(jù)三角函數(shù)可以計(jì)算出BC=4，AC=2√3，再根據(jù)中位線的性質(zhì)可得CD=AD=√3，CF=BF=2，DF=1，然后拼圖，出現(xiàn)兩種情況，如圖5與圖6，一種是拼成一個(gè)矩形，另一種拼成一個(gè)平行四邊形，進(jìn)而算出周長(zhǎng)即可。結(jié)合計(jì)算得出，所得四邊形的周長(zhǎng)是8或4+2√3。

【分析】這道題主要考查了圖形的剪拼，關(guān)鍵是根據(jù)條件畫出圖形，要考慮全面。實(shí)施分類討論，采取數(shù)形結(jié)合的方法，全面分類與總結(jié)歸納。

【總結(jié)】對(duì)于該類型問題的分析，需要畫出圖形，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，再加上空間想象能力的運(yùn)用，有效實(shí)施分類討論，得出正確結(jié)果。

總之，分類討論思想的應(yīng)用非常廣泛，需要深入到問題本質(zhì)，展開思想方法的研究，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，將研究對(duì)象有效分類。基于不遺漏、不重復(fù)的原則，展開合理、科學(xué)的分類討論，并歸納總結(jié)分類結(jié)果，進(jìn)行驗(yàn)證思考，繼而得出問題的答案。分類討論思想是初中數(shù)學(xué)重點(diǎn)學(xué)習(xí)的思想方法，也是能夠有效培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維、想象能力的關(guān)鍵因素，教師要重視對(duì)學(xué)生分類討論思想方法的引導(dǎo)教學(xué)，并讓學(xué)生在長(zhǎng)期的實(shí)踐練習(xí)中，提升解決問題的能力。

（責(zé)編 林 劍）