信號(hào)與系統(tǒng)課程中有關(guān)離散傅里葉級(jí)數(shù)問題的研究

諸葛霞　袁紅星　李俊　王敬蕊

摘 要：信號(hào)與系統(tǒng)課程是一門專業(yè)基礎(chǔ)課，電信、自動(dòng)化、網(wǎng)絡(luò)等專業(yè)的本科生在大二的時(shí)候都要學(xué)習(xí)這門課程。本文就其中相關(guān)離散傅里葉級(jí)數(shù)問題進(jìn)行研究，以圖文結(jié)合的形式對(duì)離散傅里葉級(jí)數(shù)的時(shí)域信號(hào)和頻域信號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系做了詳細(xì)分析。

關(guān)鍵詞：信號(hào)與系統(tǒng)；MATLAB；離散傅里葉級(jí)數(shù)

一、緒言

信號(hào)與系統(tǒng)課程是電子信息類專業(yè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，其內(nèi)容涵蓋了信號(hào)處理、系統(tǒng)分析的基本概念和基本方法，在整個(gè)專業(yè)學(xué)習(xí)中起著舉足輕重的作用，它為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)信號(hào)處理、網(wǎng)絡(luò)理論、通信理論、控制理論等課程奠定基礎(chǔ)。

鑒于信號(hào)與系統(tǒng)課程十分重要，多年來一線的教育工作者對(duì)其進(jìn)行了一系列改革，使該課程從原先的純理論性發(fā)展到理論和實(shí)踐并重。理論和實(shí)踐結(jié)合使得信號(hào)與系統(tǒng)課程不再那么乏味，尤其是實(shí)踐的加入，使學(xué)生明確了學(xué)習(xí)方向和學(xué)習(xí)目的，開闊了學(xué)習(xí)思路。為了更靈活地應(yīng)用信號(hào)與系統(tǒng)的理論知識(shí)指導(dǎo)實(shí)踐，必須指導(dǎo)學(xué)生打牢理論知識(shí)的基本功。

二、信號(hào)與系統(tǒng)課程中有關(guān)離散傅里葉級(jí)數(shù)問題的研究

信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析是信號(hào)與系統(tǒng)課程的重點(diǎn)部分，它既是一種分析方法，又具有自身的物理意義，在頻域中可以看到信號(hào)在時(shí)域中看不到的一些特點(diǎn)。信號(hào)與系統(tǒng)的很多應(yīng)用都是基于對(duì)頻域的分析，如信號(hào)的調(diào)制解調(diào)、信號(hào)的濾波等。信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析包括離散信號(hào)與離散系統(tǒng)的頻域分析和連續(xù)信號(hào)與連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析，其中包括周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開和非周期信號(hào)的傅里葉變換。下文就離散周期信號(hào)即周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)展開進(jìn)行討論。

周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)展開式及其傅里葉系數(shù)定義如下，其中N是序列的周期。

1.如何使用MATALAB正確計(jì)算離散傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)

要想使用MATLAB正確計(jì)算出周期信號(hào)的離散傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)，必須正確理解離散傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)的含義，并且熟記巴塞瓦爾能量恒等定理。例如，要計(jì)算和顯示如圖1所示的周期序列的三個(gè)周期的傅里葉級(jí)數(shù)的頻域特性及其逆變換，可以使用兩種方法對(duì)其進(jìn)行操作：第一種方法，先計(jì)算序列一個(gè)周期中傅里葉級(jí)數(shù)的幅值和相位及其逆變換，再顯示三個(gè)周期的頻域特性及其逆變換（結(jié)果見圖2）；第二種方法，直接計(jì)算序列三個(gè)周期的傅里葉級(jí)數(shù)的幅值和相位及其逆變換，再顯示（結(jié)果見圖3）。

如表1的兩個(gè)程序所示，第一種方法比較直觀易懂，計(jì)算過程也不容易出錯(cuò)，只是每次在顯示結(jié)果圖的時(shí)候都要列寫出三個(gè)周期；第二種方法只需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行一次三周期拓展，代碼簡(jiǎn)單，但是計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù)的過程不是很直觀，學(xué)生在使用這種方法的時(shí)候容易出錯(cuò)。第二種方法是對(duì)信號(hào)的三個(gè)周期同時(shí)進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開的，求解逆變換的時(shí)候也是如此，為了保持能量守恒，在計(jì)算它的頻譜和逆變換的時(shí)候一定要在原有公式的基礎(chǔ)上除以3。

2.離散周期序列的重復(fù)周期對(duì)頻譜特性的影響

圖4為周期N=10的序列的不同重復(fù)周期對(duì)幅頻特性的影響，由圖可以看出當(dāng)重復(fù)周期數(shù)越來越多時(shí)，頻譜特性越來越集中到某些頻率值上，并趨向于離散化。

如表2中程序所示，為了得到圖4的正確結(jié)果，在計(jì)算頻譜特性時(shí)要保持能量守恒，在原有公式的基礎(chǔ)上必須除以序列的重復(fù)周期數(shù)。同理，在計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù)的逆變換時(shí)，必須要乘以重復(fù)周期數(shù)以保證時(shí)域和頻域的能量守恒，此處也是學(xué)生比較容易出錯(cuò)的地方。

三、結(jié)論

離散傅里葉級(jí)數(shù)是信號(hào)與系統(tǒng)頻域分析的重要部分，離散傅里葉級(jí)數(shù)變換對(duì)的公式給出的僅僅只是一個(gè)周期的對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們要從本質(zhì)上對(duì)它們進(jìn)行透徹的理解以及挖掘隱藏在它們背后的能量守恒定理。通過MATLAB的計(jì)算和顯示，有利于我們更直觀地觀察離散傅里葉級(jí)數(shù)變換對(duì)之間的關(guān)系，更好地掌握離散信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)，在頻域中更靈活地對(duì)離散信號(hào)和離散系統(tǒng)進(jìn)行分析。

參考文獻(xiàn)：

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基金項(xiàng)目：本文受“寧波工程學(xué)院重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)”資金資助。