巧思妙解一元二次方程

□李培華

巧思妙解一元二次方程

□李培華

同學(xué)們都知道，解一元二次方程的常見方法有直接開平方法、配方法、公式法以及因式分解法.但是，對(duì)于某些陌生、抽象和繁雜的一元二次方程，倘若僅用以上這四種方法往往難以奏效.下面介紹六種解一元二次方程的新穎有效方法，供同學(xué)們借鑒.

方法1：妙用韋達(dá)定理法

對(duì)于一元二次方程ax2+bx+ c=0（a≠0），若a+b+c=0，則此方程必有一根為1，另一根為若 a-b+c=0，則此方程必有一根為-1，另一根為

例1解方程：9406x2-8289x-1117=0.

分析：雖然這個(gè)方程各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值都比較大，但仔細(xì)觀察原方程，則能發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)系數(shù)之和為零，從而知原方程有一根為1，于是可利用韋達(dá)定理求解.

解：∵9406-8289-1117=0，

∴原方程必有一根為x=1，

由韋達(dá)定理得另一根為x2=

分析：仔細(xì)觀察原方程發(fā)現(xiàn)，-1是原方程的根，再結(jié)合韋達(dá)定理求解.

∴原方程必有一根為x=-1，

再由韋達(dá)定理得另一根為x2=

方法2：妙用“a2+b2=（a+b）2→ab=0”法

若a2+b2=（a+b）2，即題設(shè)等式（方程）兩邊的次數(shù)相同，且左邊的兩項(xiàng)冪的底數(shù)a與b的和等于右邊冪的底數(shù)a+b，則有ab=0.

例3解方程：（4-x）2+x2=16.

分析：仔細(xì)觀察原方程兩邊的次數(shù)和底數(shù)的特點(diǎn)，妙用“a2+b2=（a+b）2→ab=0”法進(jìn)行求解.

解：原方程可化為

（4-x）2+x2=42，

∵（4-x）+x=4，

∴（4-x）x=0，

解得x1=0，x2=4.

方法3：妙用換元法

例4解方程：144x2-36x+ 2=0.

分析：仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)原方程的二次項(xiàng)144x2=（12x）2，一次項(xiàng)-36x= -3（12x），于是將12x作整體換元，則可以把問(wèn)題化難為易.

解：設(shè)y=12x，

則原方程可化為y2-3y+2=0，

解得y1=2或y2=1，

即12x=2或12x=1，

方法4：妙用零點(diǎn)分段討論法

例5解方程：x2-|2x-1|-4=0.

分析：由于本題是含絕對(duì)值符號(hào)的一元二次方程問(wèn)題，所以一般應(yīng)利用0作臨界值對(duì)絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)行分段討論.

故原方程的根為x1=3或x2=

方法5：妙用“x2=|x|2”法

例6解方程：x2-6|x|+9=0.

分析：此題的一般解法是對(duì)絕對(duì)值進(jìn)行討論，但比較繁瑣.若注意到“x2=|x|2”，則可以化繁為簡(jiǎn).

解：∵x2=|x|2，

∴|x|2-6|x|+9=0，

即（|x|-3）2=0，

從而有|x|=3，解得x=±3.

方法6：妙配方巧構(gòu)造

例7解方程：x2-4x-5|x-2|+10=0.

分析：由“x2-4x”聯(lián)想到完全平方差公式的展開式，利用配方法構(gòu)造完全平方差公式，再結(jié)合“x2= |x|2”法，把原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于絕對(duì)值“|x-2|”的一元二次方程問(wèn)題.

解：原方程可化為

（x-2）2-5|x-2|+6=0，

|x-2|2-5|x-2|+6=0，

∴|x-2|=2或|x-2|=3，

即x-2=±2或x-2=±3，

解得x1=4，x2=0，x3=5，x4=-1.