在探究中構建關系模型

周信國　李海東

關系模型就是表示數量之間關系的模型。小學數學中常見的數量關系包括速度、時間和路程關系，單價、數量和總價關系，工作時間、工作效率和工作總量關系，正比例關系和反比例關系等。如果學生能熟練應用這些數量關系解決實際問題，他們的學習就會事半功倍。因此，教師要注重引導學生自主建構數量關系模型。江蘇省優質課比賽一等獎獲得者顧憲聰老師執教的“常見的數量關系”為我們做了很好的示范。他大膽放手，引導學生用數學眼光尋找數量關系，分析數量關系。學生在觀察、比較和歸納活動過程中理解并掌握了數量關系，自主構建了數量關系的模型，發展了數學思維，提升了數學探究能力。顧老師的課堂幽默、風趣、富有感染力，整節課洋溢著濃濃的數學味。

一、初步探究中構建關系模型

師（出示情境圖）：你能很快整理出圖中的條件嗎？

生：把鋼筆買幾支和每支幾元放在一起，把5本練習本和每本3元放在一起，這樣整理才有條理。

師：每支12元可以寫成12元/支，讀作十二元每支，它表示什么意思？

生：一支鋼筆12元。

師：你能把每本3元寫成這樣的形式嗎？

生：3元/本，表示1本練習本3元，讀作三元每本。

師：經過整理，你能很快求出什么問題？

生：買鋼筆要12×4=48元，買練習本要3×5=15元。

師：你是怎樣想的？

生：每支鋼筆12元，4支就是4個12；每本練習本3元，5本就是5個3。

師：如果文件夾的價錢是4元/個，想買2個文件夾。老師要問什么問題？

生：文件夾要多少錢？

師：這兒的12元/支、3元/本、4元/個，我們都可以稱為商品的單價。

師：買的4支、5本、2個叫作——

生：數量。

師：買每種文具一共用的錢數其實就是——

生：總價。

師：怎么求總價？

生：數量×單價=總價。

師：求鋼筆總價是用鋼筆單價乘以鋼筆數量，那么求練習本的總價呢？

生：練習本的單價×練習本的數量=練習本的總價。

師：文件夾呢？

生：文件夾的單價×文件夾的數量=文件夾的總價。

師：關于這三個數量之間的關系，你還想到了什么？

生：總價÷數量=單價。

師：能結合這里的例子說一說嗎？

生：練習本一共要15元，練習本的單價是3元，用練習本的總價÷單價=數量。

師：已知三個量中其中的——（兩個）就可以求出——（另一個量）

師：像單價的這種表示形式在生活中還有很多。看！水果店中奇異果的單價是——

生：4元/個。

師：牛肉店里五香牛肉的單價是——

生：20元/盒。

師：茶餐廳中香蕉奶昔的單價是——

生：32元/份。

師：選一個你最感興趣的單價介紹一下。

生：五香牛肉的單價是一盒20元。

師：如果買2盒五香牛肉，總價是多少？

生：20×2=40（元）。

師：如果買3盒呢？

生：20×3=60（元）。

師：現在想買5盒呢？

生：5×20=100（元）。

師：可以寫成20×5嗎？

生：可以。

師：看這些算式——20×2=40（元）、20×3=60（元）和20×5=100（元），你有什么發現？

生：都是單價×數量=總價。單價不變，數量變，總價跟著變。

師：如果現在老師想買2個奇異果、2盒五香牛肉和2份香蕉奶昔，誰的總價最多？為什么？

生：香蕉奶昔單價是32元/份，單價最大。它們的數量一樣，單價越大，總價越多。

【賞析】數學來源于生活。在教學中，顧老師引導學生用數學眼光觀察生活中購物的實際問題，在初步認識單價后，引導學生學會改寫單價、讀出單價，然后學生根據已知條件提出問題，再在問題解決中認識數量和總價后，直至自主發現“數量、單價和總價”三者之間的關系，構建“數量×單價=總價”的計算模型，并舉一反三地發現“總價÷數量=單價”以及“總價÷單價=數量”。三個數量中，最核心、最重要的是單價，顧老師通過奇異果、五香牛肉和香蕉奶昔等商品信息幫助學生進一步認識單價，促進學生在隨機應用中進一步理解并掌握“數量×單價=總價”這個基本數學模型。學生在模型構建中不但發現了積的變化規律（單價不變，數量變，總價跟著變），而且初步感悟了模型思想和變與不變的數學思想，還在分析和對比中梳理了“數量、單價和總價”三者之間的關系，增進了學生對數量關系的認識，增強了學生數學學習中的探究意識和模型意識。

二、深入探究中構建關系模型

師：老師從南京開車來學校，每小時行90千米；徐老師騎自行車來學校，每分鐘行200米。這些都可以稱為速度。2小時、10分鐘就是——

生：時間。

師：一共行多長的路就是——

生：路程。

師：速度在生活中很常見，舉個例子吧。

生：徐老師騎車每分鐘行200米就是速度。

生：顧老師開車每小時行90千米也是速度。

師：烏龜的速度是每分2米，可以改寫成2米/分；聲音的速度是每秒340米，能改寫嗎？

生：340米/秒。

師：表示什么意思？

生：聲音的速度是每秒340米。

師：真好。還能說說其他速度嗎？

生：公路限速120千米/時。

生：一輛汽車的速度是100千米/時。

師：當前的速度是100千米/時。如果一輛車行駛在這條路上，超速嗎？

生：不超速。

師：像這兒的每分、每秒、每時行的路程，我們都把它稱為——

生：速度。

師：速度、時間和路程三者之間有什么關系？

（課件出示研究提示：1.寫：把速度改寫成另外一種形式；2.算：分別求出汽車和自行車行駛的路程；3.想：速度、時間和路程之間有什么關系？學生完成后展示交流。）

生：汽車速度是90千米/時，自行車速度是200米/分。

師：表示什么意思？

生：90千米/時就是汽車行90千米要1小時。

生：汽車速度90千米/時×時間2時=路程180千米；自行車速度200米/分×時間10分=路程2 000米。

師：你發現了——

生：路程=速度×時間。

師：感謝你們幫老師算出南京到江陰的路程是180千米。如果現在老師改騎摩托車，需要多少時間？（出示：摩托車速度是60千米/時。）

生：180÷60=3（時）。

師：如果以后從南京到江陰開通動車要多少時間？（出示：動車速度是180千米/時。）

生：1個小時。

師：怎么求時間？

生：路程÷速度=時間。

師：如果要求速度呢？

生：路程÷時間=速度。

師：你還有什么發現？

生：動車最快，摩托車最慢。

生：路程不變，速度越快，時間越少。

師：說得真好。隨著交通工具的發展，速度越來越快，時間卻越來越少。這三者之間的關系有沒有變？

生：沒有，都是路程=速度×時間。

【賞析】路程、時間和速度三個數量中，速度是核心。顧老師先根據實際情況引導學生初步認識速度、時間和路程，學習速度的改寫、讀法和意義，接著引導學生認識“超速”，再引導學生通過自主寫、算、讀和交流，合作發現了這三種數量之間的關系——“路程=速度×時間”“路程÷速度=時間”“路程÷時間=速度”，從而建立了三個新的數學模型。學生在構建數學模型的過程中發現“路程不變，速度越快，時間越少”的規律，但三者之間的關系不變，都是“路程=速度×時間”。把實際問題抽象成數學模型的過程中，學生不僅深刻理解了速度的內涵，還理清了路程、速度和時間之間的數量關系。鮮活、多樣、由淺入深的探究練習，不僅幫助學生在解決簡單實際問題中進一步理解并掌握了所建構的數學模型，而且幫助學生在建?；顒又畜w會到數學學習的價值，感知了聯系和發展的觀點，進一步感悟了數學模型思想和變與不變的數學思想。

三、溝通聯系中深化關系模型

師：總價=單價×數量、路程=速度×時間，都是我們生活中常見的數量關系。能不能用自己的方式表示這兩個數量關系呢？

生：總數=每份數×份數。

師：這兒的每份數、份數和總數指什么呢？

生：總數在這兒指總價，每份數指單價，份數指數量。

生：每份數×份數=總數?？倲稻褪强們r和路程，每份數就是單價和速度，份數就是數量和時間。

師：真厲害，把兩個都說進去了。

師：你能編一道關于總價、單價、數量或者路程、速度、時間的數學問題嗎？

生：買一個杯子要10元，買3個杯子一共要多少錢？

師：誰能回答？

生：三個杯子一共要30元。一個杯子10元，3個杯子就是3個10，用乘法算。

師：用的什么數量關系？

生：單價×數量=總價。

生：買3瓶可樂，每瓶要3元。一共要多少元？3×3=9（元）。

師：用的是什么數量關系？

生：單價×數量=總價。

生：一輛動車每小時能行300千米，行了3小時。行了多少千米？每小時行300千米，行了3小時，3個300，就是900千米。

師：用了什么數量關系？

生：速度×時間=路程。

【賞析】數學模型最重要的作用就是用數學語言解釋現實世界。史寧中教授認為，在小學數學“數與代數”部分，本質上只有“總量=部分量+部分量”和“總數=每份數×份數”兩種模型。從這種意義上說，學生所發現的數量關系其實是乘法意義的一種具體化。在教學中，顧老師引導學生嘗試用自己的話總結數量關系式與乘法意義的聯系，溝通了數量關系之間的聯系。學生把兩個似乎不同的數量關系融為一體，從而使所學知識真正具有了數學模型的價值。編題不僅培養了學生的數學語言表達能力，而且培養了學生應用數學模型的能力。學生在應用中不僅加深了對所構建模型的理解和認識，而且在加深理解中內化了數學模型。

整節課，顧老師把教學重點放在“數量關系”的教學上，通過呈現數學味的現實情境，引導學生經歷知識的“生長”過程，促使學生在現實背景中和問題解決過程中，透過現象看本質，發現數量之間的內在聯系，體會和抽象出數學模型，探索了更深層次的數學規律，提升了學生的綜合數學素養。