多準則MEMS陀螺隨機誤差在線建模與實時濾波*

代金華，張麗杰（.內蒙古工業大學信息工程學院，呼和浩特0005；2.內蒙古工業大學電力學院，呼和浩特0005）

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多準則MEMS陀螺隨機誤差在線建模與實時濾波*

代金華1，張麗杰2*
（1.內蒙古工業大學信息工程學院，呼和浩特010051；2.內蒙古工業大學電力學院，呼和浩特010051）

摘要：針對隨機誤差相關性較弱的MEMS陀螺儀，提出采用多準則曲線方法辨識其帶有截距項的隨機誤差時間序列模型。采用該模型可直接對MEMS陀螺儀的實測量數據進行在線建模，而無需零均值化離線處理?；谠撃Ｐ筒⒉捎脿顟B擴增的方法設計卡爾曼濾波器，實現了MEMS陀螺儀隨機誤差的實時濾波。實驗結果表明，針對某MEMS陀螺儀帶有截距項的AR（2）模型可以作為其隨機誤差模型，經過在線建模和實時濾波后，MEMS陀螺儀隨機誤差的標準差降低了50%，有效抑制了MEMS陀螺儀的隨機誤差。

關鍵詞：MEMS陀螺儀；時間序列模型；在線建模；卡爾曼濾波

MEMS（Micro-Electro-Mechanical Systems）陀螺儀具有成本低、尺寸小、重量輕、可靠性高等優點，在低成本慣性系統中獲得越來越廣泛的應用。但是MEMS陀螺儀的測量精度等性能指標卻遠低于傳統的陀螺儀，制約了其在高精度姿態控制中的應用［1-2］。通過對MEMS陀螺儀隨機漂移誤差信號進行有效的建模和補償來提高測量精度的方法越來越受到重視［3］。常用的MEMS陀螺儀隨機誤差建模方法包括神經網絡技術、小波分析、時間序列法、一階高斯—馬爾柯夫隨機過程等［4-5］。神經網絡和小波分析隨機誤差建模方法得到的模型通常具有較高的階次，并不十分適合于低成本系統隨機誤差的實時在線估計［6-9］。采用一階高斯—馬爾可夫隨機誤差建模方法的缺點是由于自相關序列判定的不精確帶來慣性敏感器隨機誤差建模的不精確［10-11］。時間序列分析法直接對隨機序列建立差分方程，與一階高斯—馬爾可夫過程相比，其具有更好的建模靈活性和穩定性，計算得到的參數值不會隨著樣本長度的改變而改變。對MEMS陀螺儀隨機漂移誤差信號進行時間序列建模和補償來提高測量精度的方法越來越受到重視［12］。

本文以實驗室已開發的MIMU模塊的角速率測量輸出為實驗對象［13］，研究基于時間序列分析的誤差建模和補償方法。提出采用多準則曲線方法辨識MEMS陀螺儀隨機誤差的時間序列模型，該模型不要求對序列進行零均值化預處理，將序列均值作為一個未知參數，在ARMA模型中加上一個截距項，以保證建模的準確性和實時性。采用該模型可直接對MEMS陀螺儀測量噪聲進行在線建模，進而基于該模型并采用狀態擴增的方法設計卡爾曼濾波器，可使濾波器對數據無零均值要求，有效減小MEMS陀螺儀的隨機誤差。

1　MEMS陀螺儀隨機誤差的時間序列模型

1.1具有截距項的時間序列模型

時間序列ARMA（p，q）模型要求信號為平穩、正態分布和零均值時間序列。統計檢驗證明MEMS陀螺儀測量輸出數據可以看作平穩、正態時間序列，但是由于其零偏的存在，需要離線進行零均值化預處理才能建模。為了可以直接對MEMS陀螺儀靜態輸出信號在線建模，本文考慮將MEMS陀螺儀隨機序列的均值μ作為模型的一個未知參數。

平穩、正態、非零均值時間序列｛Xt｝的ARMA（p，q）模型可寫為［14］：

其中，?1，?2，L，?p稱為自回歸參數，θ1，θ2，L，θq稱為滑動平均參數，μ是時間序列{Xt}的均值。若滑動平均參數為零，則ARMA（p，q）變為AR（p）模型；若自回歸參數為零，則ARMA（p，q）變為MA（q）模型。

式（1）可變形為

令c=(1-?1-?2-L-?p)μ，則式（2）可寫為，

由式（3）可知，序列均值對模型的影響體現在多了一個參數c。因此，在MEMS陀螺儀隨機誤差模型識別階段，可對其隨機誤差序列的均值是否為零不予考慮，只需給ARMA模型增加一個截距項，在參數估計階段進行在線估計即可，從而保證建模實時性。

1.2基于相關性分析的MEMS陀螺儀隨機誤差模型辨識

通常，可依據隨機序列自相關函數（ACF）和偏相關函數（PACF）的“拖尾”和“截尾”性質辨識時間序列的模型結構（ARMA、AR、MA）［14］。自相關函數和偏相關函數特性見表1。

表1　自相關函數和偏相關函數特性

對MEMS陀螺儀進行相關性分析，結果如圖1所示。由圖1可知，MEMS陀螺儀隨機誤差序列的ACF和PACF都具有1階截尾特性，無法判斷其屬于哪種時間序列模型結構。產生這種現象的原因是MEMS陀螺儀的隨機序列相關性較弱，因此不能完全依據ACF和PACF“拖尾”和“截尾”的性質來判定MEMS陀螺儀隨機序列的模型結構及階次，還需采用其他方法進行模型的識別。

圖1　陀螺的自相關和偏相關

2　MEMS陀螺儀隨機誤差模型的多準則曲線辨識

2.1多準則曲線辨識性能函數的定義

常用的時間序列模型辨識方法包括AIC準則、BIC準則、FPE準則以及殘差值等［13］。不同準則對擬合殘差與參數個數之間進行不同的權衡，因此不同準則挑選出的最優模型，其漸進性是不同的［14］。為了減小建模誤差，提高誤差補償精度，本文取殘差方差>、FPE函數、AIC函數、BIC函數同時達到最小時的p，q值作為適用模型的階數。定義此時的性能函數為

J(p，q)=min(FPE(p，q)，AIC(p，q)，BIC(p，q)，)（4）由式（3）可知，MEMS陀螺儀時間序列模型含有p+ q+1個參數，因此需將、AIC函數、BIC函數、及FPE函數的計算公式改為

其中，N為觀測序列樣本個數。考慮到函數曲線的直觀性，可根據多個準則函數的曲線趨勢直接確定J取最小值時階次p和q的值。

2.2多準則曲線辨識模型的步驟

根據式（3）和式（4），MEMS陀螺儀的ARMA（p，q）模型的多準則曲線辨識模型的步驟如下，

①設定一個合適的模型階數上限值L。通常MEMS陀螺儀的時間序列模型的階數較低，一般不超過3階，對于實際的隨機系統，隨機ARMA模型的自回歸階數大于或等于滑動平均階數［15-16］，并且通過ARMA模型和AR模型辨識可以間接確定MA模型是否合適，所以僅需針對ARMA模型和AR模型進行辨識。

②依據式（3），采用最小二乘法估計參數

?1，?2，L，?p，c，θ1，θ2，L，θq(0≤p≤L，0≤q≤L)。

④對隨機誤差模型進行適用性和顯著性檢驗。若殘差序列為白噪聲序列說明該擬合模型能夠提取觀測序列中幾乎所有的樣本相關信息，說明該擬合模型是適用的［14］；顯著性檢驗是通過假設檢驗方法［14］，檢驗模型參數是否顯著非零，剔除不顯著的參數所對應的變量，達到精簡隨機誤差模型的目的。

3　卡爾曼濾波器的設計

根據式（3）帶有截距項的ARMA（p，q）模型，采用狀態擴增法設計卡爾曼濾波器，將截距項c也列為狀態，對其進行在線估計，則可直接對MEMS陀螺儀的實測信號進行卡爾曼濾波。

不妨以ARMA（2，1）為例（其他階次模型同理），擴增狀態后的系統狀態方程和測量方程可表示為

其中，擴增后的狀態變量Xk=[xkxk-1c]T，系統過程噪聲，系數矩陣，Vk是測量誤差，Wk和Vk為互不相關的零均值白噪聲序列。

Xk的估計量可以根據以下卡爾曼濾波遞推方程求解：

狀態的一步預測方程為

濾波狀態估計方程為

濾波增益方程為

估計協方差陣的一步預測方程為

估計協方差陣的更新方程為

狀態變量初始值X0選為角速度測量序列的初值；實際測量數據作為觀測量Ζk，其協方差為測量噪聲的正定方差陣Qk，經過ARMA模型擬合后的殘差信號的協方差為系統噪聲協方差陣Rk，隨機誤差序列的方差作為初始誤差協方差陣P0。

4　實驗驗證

為了驗證誤差模型的準確性和濾波器的有效性，針對實驗室研制的無人機項目中應用的MIMU模塊進行了實驗，該MIMU模塊包括：3個單軸陀螺ADXRS610，其靈敏度是6 mV/（°/s），噪聲密度是一個三軸MEMS加速度計MMA7260，其靈敏度是800 mV/gn（1.5 gn），噪聲密度是4.7 mV/（rms）［13，17］。

在室溫條件下，首先加電預熱60 min，利用STM32F103MCU采集陀螺儀的靜態角速率輸出，且外部轉臺輸入量為零。此處僅給出單軸陀螺儀的實驗結果。

4.1多準則曲線模型辨識實驗

4.1.1定階和參數估計

對于ARMA（p，q）模型，取L=2，即0≤p≤2，0≤q≤2；對于AR（p）模型，取L=5，即0≤p≤5。以100 Hz采樣頻率采集并保存1min的測量輸出數據，進行離線分析。分別作出AR模型和ARMA模型的、FPE函數、AIC函數和BIC函數的曲線，如圖2所示，其中圖2（a）中的橫坐標為1和2時分別表示ARMA（1，1）和ARMA（2，1）模型的和FPE、AIC、BIC函數的值。根據不同準則的數量級和相應曲線的變化趨勢，將AIC和BIC準則的曲線繪制在一張圖上，將和FPE準則的曲線繪制在一張圖上。

圖2　陀螺儀的AR模型和ARMA模型的多準則函數曲線

采用最小二乘法估計得到的AR（2）模型和ARMA（1，1）模型見表2。

表2　陀螺時間序列模型

4.1.2隨機誤差模型的適用性和顯著性檢驗

利用Matlab中的函數lbqtes對表2中的模型殘差序列進行Q檢驗可知，模型殘差序列不具有相關性，滿足白噪聲序列的要求，即AR（2）模型和ARMA（1，1）模型是適用的。

臨界值取標準正態分布的上側a=0.025分位數1.96，對于表2中的模型進行參數的顯著性檢驗，t檢驗的結果見表3。

表3　模型參數的顯著性檢驗

由表3可知，ak-1項對模型影響很小，剔除該項后，ARMA（1，1）模型精簡為AR（2）模型，則參數顯著性檢驗結果可確定MEMS陀螺儀的隨機誤差模型為

4.2卡爾曼濾波實驗

根據4.1得到的AR（2）模型結構，編寫在線建模和卡爾曼濾波程序。

卡爾曼濾波遞推方程中狀態變量初值X0=[x2x1c]T，其中x1，x2是角速率測量輸出序列的前兩個值。估計協方差陣初值

將MEMS陀螺儀的靜態輸出信號直接作為上述卡爾曼濾波器的輸入，在前2 min內完成建模，然后開始濾波。

圖3　陀螺儀的靜態測量數據卡爾曼濾波

表4　卡爾曼濾波前后陀螺數據的均值和標準差

陀螺儀測量輸出數據卡爾曼濾波結果如圖3，濾波前后的數據均值和標準差見表4。由圖3和表4可知，陀螺靜態輸出信號曲線的均值沒有明顯改變，但標準差減小了50%。說明卡爾曼濾波可以有效降低陀螺的隨機噪聲，從而驗證了將具有均值估計的AR（2）隨機誤差模型用于濾波算法對于減小噪聲是有效的，同時說明將信號均值作為卡爾曼濾波狀態變量也是合理的。

5　結論

為了解決MEMS陀螺儀零偏影響隨機誤差建模實時性的問題，本文將信號的均值作為時間序列模型中的一個參數進行估計，同時針對隨機誤差序列的相關性較弱的MEMS陀螺儀，本文提出了一種多準則曲線辨識方法對MEMS陀螺儀的隨機誤差模型進行辨識。并在此基礎上設計卡爾曼濾波器，對MEMS陀螺儀的測量輸出進行隨機誤差補償。實驗結果表明，具有截距項的AR（2）模型適合用作MEMS陀螺儀隨機誤差序列的數學模型，用在線得到的參數值直接進行卡爾曼濾波，可以有效降低信號的噪聲。

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代金華（1980-），女，蒙古族，內蒙古赤峰人，碩士，講師，研究方向為檢測與控制、導航等，djh19@126.com；

張麗杰（1973-），女，遼寧省康平縣人，博士，副教授，研究方向為檢測與控制、導航等。

Energy-Consumption Balancing Routing Protocol Based on Regions*

ZHAI Chunjie1，XU Jianmin2，LIU Yonggui1*
（1.School of Automation Science and Engineering，South China University of Technology，Guangzhou 510641，China；2.School of Civil Engineering and Transportation，South China University of Technology，Guangzhou 510641，China）

Abstract：An energy-consumption balancing routing protocol based on regions is proposed to balance the energy consumption of wireless sensor network and enhance the network stability. The protocol designs an optimized regiondivided algorithm which divides sensor nodes into clusters based on the regions to solve the random problem of clus?ters’number and distribution in previous protocols. In selecting clusters，a three-level selectional mechanism of clus?ter heads is adopted after taking consideration the factors of the residual energy of sensor nodes，the cluster topology and the internal total energy consumption of cluster. In forwarding the data，general nodes can choose the nearest cluster head which can select the next hop one in a two-upper level within the threshold of communication distance. Simulation results suggest，compared with DREEM-ME and MEET protocols，the proposed protocol can better bal?ance the nodes’energy consumption，enhance the network stability and improve the quality of network service.

Key words：wireless sensor network；balancing energy-consumption；region-divided algorithm；selectional mecha?nism of cluster heads

doi：EEACC：6150P；723010.3969/j.issn.1004-1699.2016.01.015

收稿日期：2015-07-22修改日期：2015-10-15

中圖分類號：V241.5

文獻標識碼：A

文章編號：1004-1699（2016）01-0075-05

項目來源：內蒙古自然科學基金面上項目（2012MS0924）;內蒙古自治區重大基礎研究開放課題項目（內蒙古工業大學內蒙古自治區機電控制重點實驗室）