利用“基本不等式”求最值時(shí)的常見(jiàn)錯(cuò)誤剖析

利用基本不等式求最值是高中數(shù)學(xué)求最值的基本方法之一.在運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)應(yīng)注意以下三個(gè)方面：（1）表達(dá)式中含變量的各項(xiàng)均為正；（2）表達(dá)式中含變量的各項(xiàng)之和（或積）應(yīng)為定值；（3）表達(dá)式中含變量的各項(xiàng)可以相等.許多同學(xué)由于對(duì)基本不等式的使用條件理解不透徹，導(dǎo)致解題過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤.下面我們首先簡(jiǎn)要回顧基本不等式的內(nèi)容：

1.基本不等式：a+b2≥ab

（1）基本不等式成立的條件：a>0，b>0；

（2）等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).

2.利用基本不等式求最值問(wèn)題：已知x>0，y>0，則

（1）如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，x+y有最小值是2p.（簡(jiǎn)記積定和最小）

（2）如果和x+y是定值q，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，xy有最大值是q24.（簡(jiǎn)記和定積最大）

這三個(gè)條件簡(jiǎn)稱為“一正，二定，三相等”.其次我們就以例題的形式指出同學(xué)們?cè)谑褂没静坏仁綍r(shí)常常出現(xiàn)的錯(cuò)誤.

一、忽視取“正”條件

基本不等式的兩個(gè)變量都必須是正實(shí)數(shù).如果兩個(gè)變量異號(hào)或同為負(fù)實(shí)數(shù)，不等式要么不成立，要么不等號(hào)的方向會(huì)改變.

例1已知實(shí)數(shù)x≠0，求y=x+4x的取值范圍.

錯(cuò)解：由基本不等式得，y=x+4x≥2x·4x=4，故y=x+4x的最小值是4，即取值范圍是[4，+∞）.

錯(cuò)因分析：因?yàn)閤，4x未必是正數(shù)，故不能直接用基本不等式來(lái)解題.

正解：當(dāng)x>0時(shí)，y=x+4x≥2x·4x=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=4x，即x=2時(shí)取等號(hào)；

當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，-4x>0，則-x+（-4x）≥2（-x）·（-4x）=4，當(dāng)且僅當(dāng)-x=-4x，即x=-2時(shí)取等號(hào)，即y=x+4x=-[（-x）+（-4x）]≤-4.

故y=x+4x的取值范圍為（-∞，-4]∪[4，+∞）.

二、忽視“定值”情況

用基本不等式求最值時(shí)必須滿足和為定值或積為定值.如果不具備“定值”條件時(shí)，需進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹芭錅悺睂⑵錁?gòu)造成定值.

例2求y=4x+2x-1（x>1）的最小值.

錯(cuò)解：∵x>1，∴4x>0，2x-1>0，∴y=4x+2x-1≥24x·2x-1=42xx-1，

當(dāng)且僅當(dāng)4x=2x-1，即x=1+32（x=1-32舍……