應用正、余弦定理別“任性”

李紅

正、余弦定理及其應用問題綜合性強、解題有一定的技巧，不少同學在解題時，經常因為審題不仔細、考慮不周、方法不當等原因而錯解題目.下面就同學們在解題中出現的錯誤分類剖析如下，供大家參考.

一、審題不細致誤

例1在不等邊△ABC中，a為最大邊，如果a2

錯解：∵a20.

則cosA=b2+c2-a22bc>0，由于cosA在（0°，180°）上為減函數，

且cos90°=0，∴A<90°.又∵A為△ABC的內角，∴0°

剖析：錯因是審題不細，已知條件弱用.題設是a為最大邊，而錯解中只把a看做是三角形的普通一條邊，造成解題錯誤.

正解：由上面的解法，可得A<90°.又∵a為最大邊，∴A>60°.

因此得A的取值范圍是（60°，90°）.

二、方法不當致誤

例2在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=3，求a+b+csinA+sinB+sinC的值.

錯解：∵A=60°，b=1，S△ABC=3，

又S△ABC=12bcsinA，

∴3=12csin60°，解得c=4.

由余弦定理，得a=b2+c2-2bccosA

=1+16-8cos60°=13.

又由正弦定理，得sinC=639，sinB=3239.

∴a+b+csinA+sinB+sinC=13+1+432+3239+639.

辨析：如此復雜的算式，計算困難.其原因是公式不熟、方法不當造成的.

正解：由已知可得c=4，a=13.

由正弦定理，得2R=asinA=13sin60°=2393.

∴a+b+csinA+sinB+sinC=2R=2393.

三、忽視制約條件致誤

例3在△ABC中，c=6+2，C=30°，求a+b的最大值.

錯解：∵C=30°，∴A+B=150°，B=150°-A.

由正弦定理，得asinA=bsin（150°-A）=6+2sin30°，

∴a=2（6+2）sinA，

B=2（6+2）sin（150°-A）.

又∵sinA≤1，sin（150°-A）≤1，

∴a+b≤2（6+2）+2（6+2）=4（6+2）.故a+b的最大值為4（6+2）.

剖析：錯因是未弄清A與150°-A之間的關系.這里A與150°-A是相互制約的，不是相互獨立的兩個量，sinA與sin（150°-A）不能同時取最大值1，因此所得的結果是錯誤的.

正解：∵C=30°，∴A+B=150°，B=150°-A.

由正弦定理，得asinA=bsin（150°-A）=6+2sin30°.

因此a+b=2（6+2）·[sinA+sin（150°-A）]=（8+43）·cos（A-75°）≤8+43.

∴a+b的最大值為8+43.

四、未挖掘隱含條件致誤

例4在△ABC中，若C=3B，求cb的取值范圍.

錯解：由正弦定理可知

cb=sin3BsinB=sinBcos2B+cosBsin2BsinB

=cos2B+2cos2B=4cos2B-1.

由0≤cos2B≤1，得-1≤4cos2B-1≤3，故-1≤cb≤3.

剖析：上述解法中，忽視了B的取值范圍及a，b，c均為正的條件而致錯.

正解：cb=4cos2B-1.（過程同錯解）

又∵A+B+C=180°，C=2B，

∴0

∴1<4cos2B-1<3，故1

評注：在解決解三角形問題時，經常因忽視三角形中的隱含條件而出現解題錯誤.同學們在解題時一定要“擦亮慧眼”，否則極容易產生錯解.

五、用錯邏輯聯結詞致誤

例5在△ABC中，acosA=bcosB，判斷△ABC的……